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首先是皮亚诺的自然数公理 意大利数学家皮亚诺提出的关于自然数的 5 5 5 条公理如下#xff08;定义 S ( x ) S(x) S(x) 为自然数 x x x 的后继#xff09;#xff1a; 0 0 0 是自然数每一个自然数 n n n 都有一个自然数后继记为 S ( n ) S(n) S(n) 0 0 0 不是…1 1 2
首先是皮亚诺的自然数公理 意大利数学家皮亚诺提出的关于自然数的 5 5 5 条公理如下定义 S ( x ) S(x) S(x) 为自然数 x x x 的后继 0 0 0 是自然数每一个自然数 n n n 都有一个自然数后继记为 S ( n ) S(n) S(n) 0 0 0 不是任何自然数的后继这一条定义了自然数的起始如果两个自然数的后继相等那么这两个自然数相等显而易见如果有一个数学性质在 0 0 0 上成立并且对于任何自然数 n n n 这条数学性质在 n n n 和 S ( x ) S(x) S(x) 上成立那么这个性质对于所有自然数成立这就是数学归纳法
然后是加法的定义 一下是加法的定义共两条我把乘法的定义也写上来了 qwq ∀ x x 0 x \forall xx 0 x ∀xx0x ∀ x , y x S ( y ) S ( x y ) \forall x,yx S(y) S(x y) ∀x,yxS(y)S(xy) ∀ x x ⋅ 0 0 \forall xx \cdot 0 0 ∀xx⋅00 ∀ x , y x ⋅ S ( y ) ( x ⋅ y ) x \forall x, yx \cdot S(y) (x \cdot y) x ∀x,yx⋅S(y)(x⋅y)x 上面这些定义都非常显而易见很显然这些定义满足我们对自然数的认知。
最后是极其简单的证明 证明过程非常简单 首先我们把式子列出来 1 1 1 1 11 然后我们知道 S ( 0 ) 1 S(0) 1 S(0)1 所以 1 1 1 S ( 0 ) 1 1 1 S(0) 111S(0) 又因为 ∀ x , y x S ( y ) S ( x y ) \forall x,yx S(y) S(x y) ∀x,yxS(y)S(xy)所以 1 1 1 S ( 0 ) S ( 1 0 ) 1 1 1 S(0) S(1 0) 111S(0)S(10) 又因为 ∀ x x 0 x \forall xx 0 x ∀xx0x所以 1 1 1 S ( 0 ) S ( 1 0 ) S ( 1 ) 1 1 1 S(0) S(1 0) S(1) 111S(0)S(10)S(1) 最后因为 1 1 1 的后继是 2 2 2 所以 1 1 1 S ( 0 ) S ( 1 0 ) S ( 1 ) 2 1 1 1 S(0) S(1 0) S(1) 2 111S(0)S(10)S(1)2 证毕
