案例学习网站建设方案摸摸学校,领取流量网站,高端网站制作多少钱,乐清企业网站建设文章目录 从数学上证明1. 计算乘积 z 1 ⋅ z 2 z_1 \cdot z_2 z1⋅z22. 应用三角恒等式3. 得出结果 从几何角度证明1.给出待乘的复数 u i u_i ui2.给出任意复数 l l l3.复数 l l l 在不同坐标轴下的表示图 首先说结论#xff1a;
在复平面中#xff0c;两个复数
在复平面中两个复数即向量相乘时满足模长相乘角度相加的性质。
从数学上证明
假设两个复数 ( z 1 z_1 z1 ) 和 ( z 2 z_2 z2 ) 表示为 z 1 r 1 ( cos θ 1 i sin θ 1 ) z_1 r_1 (\cos \theta_1 i \sin \theta_1) z1r1(cosθ1isinθ1) z 2 r 2 ( cos θ 2 i sin θ 2 ) z_2 r_2 (\cos \theta_2 i \sin \theta_2) z2r2(cosθ2isinθ2)
其中
( r 1 ∣ z 1 ∣ r_1 |z_1| r1∣z1∣ ) 和 ( r 2 ∣ z 2 ∣ r_2 |z_2| r2∣z2∣ ) 分别是 ( z 1 z_1 z1 ) 和 ( z 2 z_2 z2 ) 的模长( θ 1 \theta_1 θ1 ) 和 ( θ 2 \theta_2 θ2 ) 分别是 ( z 1 z_1 z1 ) 和 ( z 2 z_2 z2 ) 的辐角即相对于实轴的角度。
1. 计算乘积 z 1 ⋅ z 2 z_1 \cdot z_2 z1⋅z2
我们将 ( z 1 z_1 z1 ) 和 ( z 2 z_2 z2 ) 相乘得到 z 1 ⋅ z 2 r 1 ( cos θ 1 i sin θ 1 ) ⋅ r 2 ( cos θ 2 i sin θ 2 ) z_1 \cdot z_2 r_1 (\cos \theta_1 i \sin \theta_1) \cdot r_2 (\cos \theta_2 i \sin \theta_2) z1⋅z2r1(cosθ1isinθ1)⋅r2(cosθ2isinθ2)
使用分配律展开 z 1 ⋅ z 2 r 1 r 2 [ ( cos θ 1 cos θ 2 − sin θ 1 sin θ 2 ) i ( cos θ 1 sin θ 2 sin θ 1 cos θ 2 ) ] z_1 \cdot z_2 r_1 r_2 \left[ (\cos \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2) i (\cos \theta_1 \sin \theta_2 \sin \theta_1 \cos \theta_2) \right] z1⋅z2r1r2[(cosθ1cosθ2−sinθ1sinθ2)i(cosθ1sinθ2sinθ1cosθ2)]
2. 应用三角恒等式
根据加法公式的三角恒等式有 cos ( θ 1 θ 2 ) cos θ 1 cos θ 2 − sin θ 1 sin θ 2 \cos(\theta_1 \theta_2) \cos \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2 cos(θ1θ2)cosθ1cosθ2−sinθ1sinθ2 sin ( θ 1 θ 2 ) cos θ 1 sin θ 2 sin θ 1 cos θ 2 \sin(\theta_1 \theta_2) \cos \theta_1 \sin \theta_2 \sin \theta_1 \cos \theta_2 sin(θ1θ2)cosθ1sinθ2sinθ1cosθ2
将这些恒等式代入到上面的表达式中我们得到 z 1 ⋅ z 2 r 1 r 2 ( cos ( θ 1 θ 2 ) i sin ( θ 1 θ 2 ) ) z_1 \cdot z_2 r_1 r_2 \left( \cos(\theta_1 \theta_2) i \sin(\theta_1 \theta_2) \right) z1⋅z2r1r2(cos(θ1θ2)isin(θ1θ2))
3. 得出结果
根据复数的极坐标形式这个结果可以写成 z 1 ⋅ z 2 r 1 r 2 ⋅ e i ( θ 1 θ 2 ) z_1 \cdot z_2 r_1 r_2 \cdot e^{i (\theta_1 \theta_2)} z1⋅z2r1r2⋅ei(θ1θ2) 因此我们得出结论两个复数相乘时其模长是各自模长的乘积辐角是各自辐角的和即满足“模长相乘角度相加”的性质。
从几何角度证明
本质上就是坐标轴的变换
1.给出待乘的复数 u i u_i ui { u a b i u i − b a i \left\{\begin{array}{l} uab i \\ u i-ba i \end{array}\right. {uabiui−bai ( a , b ) ⋅ ( − b , a ) 0 (a,b)\cdot(-b,a)0 (a,b)⋅(−b,a)0由于内积为0故u与ui正交
2.给出任意复数 l l l
所以 ∀ l x y i \forall lxy_{i} ∀lxyi与u相乘可以在新的坐标轴u、ui下表示其与坐标轴角度与在原先坐标轴下相同。 所以两个复数即向量相乘时满足角度相加的性质。 { ∀ l x y i l ⋅ u ( x y i ) ⋅ u x u y u i \left\{\begin{array}{l} \forall lxy_{i} \\ l \cdot u\left(xy_{i}\right) \cdot ux uy u i \end{array}\right. {∀lxyil⋅u(xyi)⋅uxuyui
3.复数 l l l 在不同坐标轴下的表示图
