贵阳网站开发公司,网站托管服务适用于,彩票网站建设方案,门户网站的发展趋势索引 微分中值定理极值定义4.1 极大(小)值定理4.1 Fermat引理定理4.2 Rolle定理 Lagrange中值定理定理4.3 Lagrange中值定理定理4.4 Cauchy中值定理 导数对函数性质的刻画Jensen不等式 微分中值定理
极值
定义4.1 极大(小)值
若存在 x 0 x_{0} x0的邻域 U ( x 0 , δ ) U\… 索引 微分中值定理极值定义4.1 极大(小)值定理4.1 Fermat引理定理4.2 Rolle定理 Lagrange中值定理定理4.3 Lagrange中值定理定理4.4 Cauchy中值定理 导数对函数性质的刻画Jensen不等式 微分中值定理
极值
定义4.1 极大(小)值
若存在 x 0 x_{0} x0的邻域 U ( x 0 , δ ) U\left ( x_{0}, \delta \right ) U(x0,δ),使得 ∀ x ∈ U ( x 0 ) , δ \forall x\in U\left ( x_{0}\right), \delta ∀x∈U(x0),δ, f ( x ) ≤ f ( x 0 ) f\left(x\right ) \le f\left(x_{0}\right ) f(x)≤f(x0),则称 x 0 x_{0} x0是函数 f ( x ) f\left(x\right ) f(x)的一个极大值点。 若存在 x 0 x_{0} x0的邻域 U ( x 0 , δ ) U\left ( x_{0}, \delta \right ) U(x0,δ),使得 ∀ x ∈ U ( x 0 ) , δ \forall x\in U\left ( x_{0}\right), \delta ∀x∈U(x0),δ, f ( x ) ≥ f ( x 0 ) f\left(x\right ) \ge f\left(x_{0}\right ) f(x)≥f(x0),则称 x 0 x_{0} x0是函数 f ( x ) f\left(x\right ) f(x)的一个极小值点。
定理4.1 Fermat引理
设 x 0 x_{0} x0是函数 f ( x ) f\left(x\right ) f(x)的一个极值点,且函数 f ( x ) f\left(x\right ) f(x)在点 x 0 x_{0} x0处可导,则 f ′ ( x 0 ) 0 f^{\prime }\left ( x_{0} \right )0 f′(x0)0。
不妨设 x 0 x_{0} x0是函数 f ( x ) f\left(x\right ) f(x)的一个极大值点。 令 Δ x ∈ ( 0 , δ ) \Delta x\in \left ( 0,\delta \right ) Δx∈(0,δ),则 f ( x 0 Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x ≤ 0 \frac{f\left ( x_{0}\Delta x \right )-f\left ( x_{0} \right ) }{\Delta x} \le 0 Δxf(x0Δx)−f(x0)≤0, 根据函数极限的保不等号性, f ′ ( x 0 ) lim x 0 → 0 f ( x 0 Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x ≤ 0 f^{\prime } _{}\left ( x_{0} \right ) \lim_{x_{0}^{} \to 0} \frac{f\left ( x_{0}\Delta x \right )-f\left ( x_{0} \right ) }{\Delta x}\le 0 f′(x0)limx0→0Δxf(x0Δx)−f(x0)≤0; 同理令 Δ x ∈ ( − δ , 0 ) \Delta x\in \left ( -\delta,0 \right ) Δx∈(−δ,0),则 f − ′ ( x 0 ) lim x 0 − → 0 f ( x 0 Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x ≥ 0 f^{\prime } _{-}\left ( x_{0} \right ) \lim_{x_{0}^{-} \to 0} \frac{f\left ( x_{0}\Delta x \right )-f\left ( x_{0} \right ) }{\Delta x}\ge 0 f−′(x0)limx0−→0Δxf(x0Δx)−f(x0)≥0, 因为函数 f ( x ) f\left(x\right ) f(x)在点 x 0 x_{0} x0处可导,所以函数 f ( x ) f\left(x\right ) f(x)在点 x 0 x_{0} x0处 f ′ ( x 0 ) f − ′ ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) 0 f^{\prime } _{}\left ( x_{0} \right ) f^{\prime } _{-}\left ( x_{0} \right ) f^{\prime }\left ( x_{0} \right )0 f′(x0)f−′(x0)f′(x0)0。
定理4.2 Rolle定理
函数 f ( x ) f\left ( x \right ) f(x)在闭区间 [ a , b ] \left [ a,b \right ] [a,b]上连续,在开区间 ( a , b ) \left ( a,b \right ) (a,b)上可导, f ( a ) f ( b ) f\left ( a \right )f\left ( b \right ) f(a)f(b),则 ∃ ξ ∈ ( a , b ) \exists \xi \in \left ( a,b \right ) ∃ξ∈(a,b): f ′ ( ξ ) 0 f^{\prime }\left ( \xi \right )0 f′(ξ)0。
根据最值定理, f ( x ) f\left ( x \right ) f(x)在 [ a , b ] \left [ a,b \right ] [a,b]上必有最大值 M M M和最小值 m m m,也就是 ∃ η \exists \eta ∃η, ξ ∈ [ a , b ] \xi \in \left [ a,b \right ] ξ∈[a,b]: ∀ x ∈ [ a , b ] \forall x\in \left [ a,b \right ] ∀x∈[a,b], f ( η ) m min f ( x ) f\left ( \eta \right )m \min f\left ( x \right ) f(η)mminf(x), f ( ξ ) M max f ( x ) f\left ( \xi \right )M\max f\left ( x \right ) f(ξ)Mmaxf(x)。 不妨设函数 f ( x ) f\left ( x \right ) f(x)在闭区间 [ a , b ] \left [ a,b \right ] [a,b]上有最大值 M f ( ξ ) Mf\left ( \xi \right ) Mf(ξ)。 1 M f ( a ) ( f ( b ) ) Mf\left ( a \right )(f\left ( b \right )) Mf(a)(f(b)) 此时函数 f ( x ) f\left ( x \right ) f(x)为常数函数,显然 ∃ ξ ∈ ( a , b ) \exists \xi \in \left ( a,b \right ) ∃ξ∈(a,b): f ′ ( ξ ) 0 f^{\prime }\left ( \xi \right )0 f′(ξ)0。 2 M ≠ f ( a ) ( f ( b ) ) M\neq f\left ( a \right )(f\left ( b \right )) Mf(a)(f(b)) 此时 M f ( ξ ) Mf\left ( \xi \right ) Mf(ξ)为 f ( x ) f\left ( x \right ) f(x)在 [ a , b ] \left [ a,b \right ] [a,b]上的一个极大值, ξ \xi ξ是函数 f ( x ) f\left(x\right ) f(x)的一个极大值点, 根据Fermat引理, f ′ ( ξ ) 0 f^{\prime }\left ( \xi \right )0 f′(ξ)0。
Lagrange中值定理
定理4.3 Lagrange中值定理
函数 y f ( x ) yf\left ( x \right ) yf(x)在闭区间 [ a , b ] \left [ a,b \right ] [a,b]上连续,在开区间 ( a , b ) \left ( a,b \right ) (a,b)上可导,则 ∃ ξ ∈ ( a , b ) \exists \xi \in \left ( a,b \right ) ∃ξ∈(a,b): f ′ ( ξ ) f ( b ) − f ( a ) b − a f^{\prime } \left ( \xi \right )\frac{f\left ( b\right ) -f\left ( a \right ) }{b-a} f′(ξ)b−af(b)−f(a)。
任取 t ∈ ( a , b ) t \in \left ( a,b \right ) t∈(a,b), x t xt xt处切线斜率为 f ′ ( t ) f^{\prime } \left ( t \right ) f′(t)。 另外连接闭区间 [ a , b ] \left [ a,b \right ] [a,b]端点的割线斜率为 k f ( b ) − f ( a ) b − a k\frac{f\left ( b \right )-f\left ( a \right ) }{b-a} kb−af(b)−f(a),割线方程为 y − f ( a ) ( f ( b ) − f ( a ) b − a ) ( x − a ) y-f\left ( a \right )\left ( \frac{f\left ( b \right )-f\left ( a \right ) }{b-a} \right )\left ( x-a \right ) y−f(a)(b−af(b)−f(a))(x−a), 而点 ( t , f ( t ) ) \left (t ,f\left (t \right ) \right ) (t,f(t))到割线 y ( f ( b ) − f ( a ) b − a ) ( x − a ) y\left ( \frac{f\left ( b \right )-f\left ( a \right ) }{b-a} \right )\left ( x-a \right ) y(b−af(b)−f(a))(x−a)的距离函数为 d ( t ) ∣ k ( t − a ) f ( a ) − f ( t ) ∣ 1 k 2 d\left ( t \right )\frac{\left | k\left ( t-a \right )f\left ( a \right ) -f\left ( t \right )\right | }{\sqrt{1k^{2} } } d(t)1k2 ∣k(t−a)f(a)−f(t)∣, d ′ ( t ) ∣ k − f ′ ( t ) ∣ 1 k 2 d^{\prime } \left ( t \right ) \frac{\left | k-f^{\prime } \left ( t \right ) \right | }{\sqrt{1k^{2} } } d′(t)1k2 ∣k−f′(t)∣, 因为 d ( t ) d\left ( t \right ) d(t)在闭区间 [ a , b ] \left [ a,b \right ] [a,b]上连续,在开区间 ( a , b ) \left ( a,b \right ) (a,b)上可导,且 d ( a ) d ( b ) 0 d \left ( a \right ) d \left ( b \right )0 d(a)d(b)0,所以根据Rolle定理, ∃ ξ ∈ ( a , b ) \exists \xi \in \left ( a,b \right ) ∃ξ∈(a,b): d ′ ( ξ ) 0 d^{\prime }\left ( \xi \right )0 d′(ξ)0, 解方程 d ′ ( ξ ) ∣ k − f ′ ( ξ ) ∣ 1 k 2 0 d^{\prime }\left ( \xi \right )\frac{\left | k-f^{\prime } \left ( \xi \right ) \right | }{\sqrt{1k^{2} } }0 d′(ξ)1k2 ∣k−f′(ξ)∣0,可得 f ′ ( ξ ) k f ( b ) − f ( a ) b − a f^{\prime } \left ( \xi \right ) k\frac{f\left ( b \right )-f\left ( a \right ) }{b-a} f′(ξ)kb−af(b)−f(a)。 从几何意义出发,同样根据距离函数 d ( t ) d\left ( t \right ) d(t)的分子部分,可以构造函数 φ ( x ) f ( x ) − f ( a ) − f ( b ) − f ( a ) b − a ( x − a ) f ( x ) − f ( a ) − k ( x − a ) \varphi \left ( x \right )f\left ( x \right )-f\left ( a \right )-\frac{f\left ( b \right )-f\left ( a \right ) }{b-a}\left ( x-a \right ) f\left ( x \right )-f\left ( a \right )-k\left ( x-a \right ) φ(x)f(x)−f(a)−b−af(b)−f(a)(x−a)f(x)−f(a)−k(x−a), φ ( x ) \varphi \left ( x \right ) φ(x)仍然满足Rolle定理, ∃ ξ ∈ ( a , b ) \exists \xi \in \left ( a,b \right ) ∃ξ∈(a,b): φ ′ ( ξ ) 0 \varphi^{\prime } \left ( \xi \right )0 φ′(ξ)0,代数方法与几何方法实质上殊途同归。
定理4.4 Cauchy中值定理
函数 y f ( x ) yf\left ( x \right ) yf(x)在闭区间 [ a , b ] \left [ a,b \right ] [a,b]上连续,在开区间 ( a , b ) \left ( a,b \right ) (a,b)上可导,则 ∃ ξ ∈ ( a , b ) \exists \xi \in \left ( a,b \right ) ∃ξ∈(a,b): f ′ ( ξ ) g ′ ( ξ ) f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) ( g ′ ( ξ ) ≠ 0 ) \frac{f^{\prime }\left ( \xi \right ) }{g^{\prime }\left ( \xi \right ) }\frac{f\left ( b \right )-f\left ( a \right ) }{g\left ( b \right )-g\left ( a \right ) }\left ( g^{\prime}\left ( \xi \right ) \neq 0 \right ) g′(ξ)f′(ξ)g(b)−g(a)f(b)−f(a)(g′(ξ)0)。
联立参数方程: { y f ( t ) x g ( t ) \left\{\begin{matrix} yf\left ( t \right ) \\ xg\left ( t \right ) \end{matrix}\right. {yf(t)xg(t) 参考Lagrange中值定理,可构造函数 φ ( x ) f ( x ) − f ( a ) − ( f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) ) ( g ( x ) − g ( a ) ) \varphi \left ( x \right )f\left ( x \right )-f\left ( a \right )-\left ( \frac{f\left ( b \right )-f\left ( a \right ) }{g\left ( b \right )-g\left ( a \right ) } \right ) \left ( g\left ( x \right ) -g\left ( a \right ) \right ) φ(x)f(x)−f(a)−(g(b)−g(a)f(b)−f(a))(g(x)−g(a)),后续过程与Lagrange中值定理一致。
导数对函数性质的刻画
Jensen不等式
