网站设计哪家最好,wordpress商店团购主题,做网站能接到项目工程吗,珠海市住房和城乡建设局网站线性代数的基本问题是求解个未知数的个线性方程#xff1b;
例如#xff1a;#xff08;方程1#xff09;。
在线性代数的第一讲中#xff0c;我们从Row Picture、Column Picture、Matrix Picture三个角度来看这个问题。
上面的系统是二维的。通过添加第三个变量#…线性代数的基本问题是求解个未知数的个线性方程
例如方程1。
在线性代数的第一讲中我们从Row Picture、Column Picture、Matrix Picture三个角度来看这个问题。
上面的系统是二维的。通过添加第三个变量我们可以将其扩展到三维。
1. Row Picture行图像
行图像是通过将线性方程组看作是平面或空间中直线、平面等几何对象的交集来理解。例如对于一个二元一次方程组方程1可以将每个方程在二维平面上表示为一条直线。通过求解这两条直线的交点就得到了方程组的解。 查看图 1我们看到这个方程组的解是。 图 1直线 2x - y 0 和 -x 2y 3 相交于点 (1, 2)
我们将这个解代入原始方程组来检查我们的工作 如果是三元一次方程组则可以在三维空间中用平面来表示每个方程方程组的解就是这些平面的交点。
2.Column Picture列图像 列图像是将线性方程组中的系数矩阵的列向量看作是基本向量方程组的解是这些基本向量的线性组合。
线性组合给定一组向量和一组标量实数或复数则向量称为向量组的线性组合。
对于线性方程组 可以将系数矩阵的列向量表示为那么方程组可以写成。这里向量是由向量线性组合得到的求解方程组就是确定线性组合的系数。
在列图像中我们通过将方程组列中的系数转换为向量将线性方程组重写为一个单一方程 给定两个向量和以及标量和和被称为和的线性组合。线性组合在线性代数是中非常重要。份的向量加上份的向量等于向量。从几何角度看我们要找到和的值使得份的向量加上份的向量等于向量。如图2所示且这与图2中的行图像一致。 图 2列向量的线性组合等于向量 b
在三维空间中列图像要求我们找到三个三维向量的线性组合使其等于向量。
3. Matrix Picture矩阵图像
矩阵图像主要是从矩阵的角度来整体看待线性方程组。 将线性方程组用矩阵形式表示为其中是系数矩阵是未知向量是常数向量。可以通过矩阵的运算和性质来求解方程组比如利用矩阵的逆、高斯消元法等方法。矩阵图像更侧重于从整体的矩阵结构和运算规则来分析和解决线性代数问题。 我们将方程组写为一个单一方程通过使用矩阵和向量矩阵被称为系数矩阵。向量是未知数向量。方程右边的值形成向量。 三维矩阵图像与二维的非常相似只是向量和矩阵的大小增加了。
4.矩阵乘法
我们如何将矩阵乘以向量呢 一种方法是将的元素看作是矩阵列向量线性组合的系数 这种方法表明是列向量的线性组合。
你也可以通过计算的每一行与向量的点积来计算 矩阵乘法设A是一个m×n的矩阵B是一个的n×p矩阵那么矩阵A与B的乘积AB是一个m×p的矩阵。其(i,j)位置的元素是A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和。
例如 设
则
5.线性无关性
在列图像和矩阵图像中方程右边是一个向量。给定一个矩阵我们能否对每一个可能的向量求解呢
换句话说列向量的线性组合是否填满平面在三维情况下是空间呢 如果答案是“否”我们说是一个奇异矩阵。在这种奇异情况下它的列向量是线性相关的这些向量的所有线性组合位于一个点或一条直线上在二维情况下或位于一个点、一条直线或一个平面上在三维情况下。这些组合不能填满整个空间。 线性无关 :对于一组向量如果只有当所有的标量时等式才成立那么称这组向量是线性无关的否则如果存在不全为零的标量使得上述等式成立则称这组向量是线性相关的。
例如在三维空间中向量是线性无关的。因为如果即则必然有。而向量是线性相关的因为这里不全为零。
参考线性代数 |数学 |MIT 开放课件
