做好网站买了空间域名,怎么做电玩网站,wordpress 免费外贸,wordpress文章发送代码块目录 证明#xff1a;切平面过定点的曲面是锥面. 证明#xff1a;切平面过定点的曲面是锥面.
证明#xff1a;
方法一#xff1a;
设曲面 S : r r ( u , v ) S:\mathbf{r}\mathbf{r}(u,v) S:rr(u,v)的切平面过定点 P 0 P_0 P0,其位置向量为 p 0 . \mathbf{p}_0. p0… 目录 证明切平面过定点的曲面是锥面. 证明切平面过定点的曲面是锥面.
证明
方法一
设曲面 S : r r ( u , v ) S:\mathbf{r}\mathbf{r}(u,v) S:rr(u,v)的切平面过定点 P 0 P_0 P0,其位置向量为 p 0 . \mathbf{p}_0. p0.则 r ( u , v ) − p 0 λ ( u , v ) r u μ ( u , v ) r v , \mathbf{r}(u,v)-\mathbf{p}_0\lambda(u,v)\mathbf{r}_u\mu(u,v)\mathbf{r}_v, r(u,v)−p0λ(u,v)ruμ(u,v)rv,
其中 λ ( u , v ) , μ ( u , v ) \lambda(u,v),\mu(u,v) λ(u,v),μ(u,v) 是光滑函数.从而 r u λ u r u λ r u u μ u r v μ r u v , r v λ v r u λ r u v μ v r v μ r v v . \mathbf{r}_u\lambda_u\mathbf{r}_u\lambda\mathbf{r}_{uu}\mu_u\mathbf{r}_v\mu\mathbf{r}_{uv},\quad\mathbf{r}_v\lambda_v\mathbf{r}_u\lambda\mathbf{r}_{uv}\mu_v\mathbf{r}_v\mu\mathbf{r}_{vv}. ruλuruλruuμurvμruv,rvλvruλruvμvrvμrvv. 将以上两式与 n 作内积有 λ L μ M 0 , λ M μ N 0. \lambda L\mu M0,\\\lambda M\mu N0. λLμM0,λMμN0. 故 λ ( L N − M 2 ) 0 , μ ( L N − M 2 ) 0. \lambda(LN-M^2)0,\\\mu(LN-M^2)0. λ(LN−M2)0,μ(LN−M2)0. 由于 λ ( u , v ) , μ ( u , v ) \lambda(u,v),\mu(u,v) λ(u,v),μ(u,v)只在一点同时为0故 L N − M 2 0. LN-M^20. LN−M20.从而Gauss 曲率 K L N − M 2 E G − F 2 0. K\frac{LN-M^2}{EG-F^2}0. KEG−F2LN−M20. 设 S S S上的点 P P P是非脐点则在它的一个小邻域内 S S S无脐点.
对应于两个主方向量场在更小的邻域内 S S S 有正交参数仍记为 ( u , v ) . ( u, v) . (u,v). (对应的参数曲线是正交曲率线)
而由 K 0 K0 K0,此小邻域内每点都是严格抛物点(非平点), 只沿一个方向法曲率为 0. 故其中一族参数曲线是曲率线且是渐近线.
而沿着方向 r ( u , v ) − p 0 \mathbf{r}(u,v)-\mathbf{p}_0 r(u,v)−p0,法曲率 k n ( r ( u , v ) − p 0 ) L λ 2 2 M λ μ N μ 2 E λ 2 2 F λ μ G μ 2 0. k_n(\mathbf{r}(u,v)-\mathbf{p}_0)\frac{L\lambda^22M\lambda\muN\mu^2}{E\lambda^22F\lambda\muG\mu^2}0. kn(r(u,v)−p0)Eλ22FλμGμ2Lλ22MλμNμ20.
因此这族曲率渐近线的切方向都过同一定点 P 0 . P_0. P0.由习题二 9 (1),它们必是一束直线.
现在设 S S S上点 P P P是脐点则它是平点.若存在 P P P的一个邻域 S S S上每点都是平点.则 S S S在此邻域内是平面的一部分.若 P P P不存在这样的邻域则在 P P P的附近脐点的轨迹至多是一些曲线不能决定曲面的形状。 综上所述曲面 S S S上每点都在曲面上的一条直线上且所有这些直线过定点
即 : S :S :S 是锥面.
方法二
设曲面 S S S的所有切平面过定点 P 0 . P_0. P0.取曲面上任意点 P ≠ P 0 . P\neq P_0. PP0.设点 P 0 P_0 P0与过点 P P P法线张成的平面为 Π \Pi Π,而曲面 S S S与平面 Π \Pi Π的相交曲线为 C . C. C.对于 C C C上任意一点 Q Q Q,直线 P ‾ 0 Q \overline P_0Q P0Q在平面 II 中.
而由假设 S S S的切平面都过 P 0 P_0 P0,故在 Q Q Q点附近曲线 C C C只在直线 P ‾ 0 Q \overline P_0Q P0Q的一侧.,点 Q Q Q是平面 Π \Pi Π中曲线 C C C的高度函数的极小值点故直线 P ‾ 0 Q \overline P_{0}Q P0Q是曲线 C C C在点 Q Q Q的切线.因此曲线 C C C 必是直线.因此 , S ,S ,S 由过定点的直线构成是锥面.
