社保官方网站登录入口,自己在家做网站,宣传片制作合同模板,贪玩传奇在一条长度为 1 1 1 的线段上随机取两个点#xff0c;则以这两个点为端点的线段的期望长度是#xff08; #xff09;。
考虑将一个线段上平均分布有 n ( n ≥ 2 ) n(n\geq 2) n(n≥2) 个节点#xff0c;其中首尾均有一个节点#xff0c;那么我们就将一个线段均分为 n… 在一条长度为 1 1 1 的线段上随机取两个点则以这两个点为端点的线段的期望长度是 。
考虑将一个线段上平均分布有 n ( n ≥ 2 ) n(n\geq 2) n(n≥2) 个节点其中首尾均有一个节点那么我们就将一个线段均分为 n − 1 n-1 n−1 份。
不妨令第一个点取在第 i i i 个节点上第二个点取在 j j j 上。不妨令 i ≤ j i \leq j i≤j因为调换 i , j i,j i,j 对题意没有任何影响显而易见。
对于 i , j i,j i,j我们共有 n ( n 1 ) 2 \dfrac{n(n1)}{2} 2n(n1) 种取法。
假设 i 1 i1 i1,则对于 j j j长度总和为 ( n − 1 ) n 2 ( n − 1 ) \dfrac{(n-1)n}{2(n-1)} 2(n−1)(n−1)n
同理对于 i 2 i2 i2则总和为 ( n − 2 ) ( n − 1 ) 2 ( n − 1 ) \dfrac{(n-2)(n-1)}{2(n-1)} 2(n−1)(n−2)(n−1)。
因此对于所有 i i i总和为 0 × 1 1 × 2 ⋯ ( n − 1 ) n 2 ( n − 1 ) \dfrac{0\times11\times2\dots(n-1)n}{2(n-1)} 2(n−1)0×11×2⋯(n−1)n
证明对于任意正整数 N N N有 ∑ i 1 N i ( i 1 ) N ( N 1 ) ( N 2 ) 3 \sum_{i1}^{N}i(i1) \dfrac{N(N1)(N2)}{3} ∑i1Ni(i1)3N(N1)(N2)。
考虑数学归纳法对于 N 1 N1 N1 显而易见等式成立。若 N N N 时成立则对于 N 1 N1 N1有 ∑ i 1 N 1 i ( i 1 ) N ( N 1 ) ( N 2 ) 3 ( N 1 ) ( N 2 ) ( N 1 ) ( N 2 ) ( N 3 ) 3 \sum_{i1}^{N 1}i(i1) \dfrac{N(N1)(N2)}{3} (N1)(N2) \dfrac{(N1)(N2)(N3)}{3} ∑i1N1i(i1)3N(N1)(N2)(N1)(N2)3(N1)(N2)(N3)因此如果当 N N N 成立 N 1 N1 N1 时等式也成立得证。
因此原式 ( n − 1 ) n ( n 1 ) 6 ( n − 1 ) n ( n 1 ) 6 \dfrac{(n-1)n(n1)}{6(n-1)} \dfrac{n(n1)}{6} 6(n−1)(n−1)n(n1)6n(n1)
所以期望值 n ( n 1 ) 6 n ( n 1 ) 2 1 3 \dfrac{\dfrac{n(n1)}{6}}{\dfrac{n(n1)}{2}} \dfrac{1}{3} 2n(n1)6n(n1)31
原题即为当 n n n 接近正无穷大时的期望值显而易见也是 1 3 \dfrac{1}{3} 31。
