php 网站开发框架,互联网裁员,东莞网络推广外包,如何制作自己的微信公众号SS-MUSIC 相干信号源带来的缺秩问题什么是中心对称阵列什么是前后向平均技术什么是 SS-MUSIC 算法SS-MUSIC 能解相干的原因SS-MUSIC 改进算法总结参考文献 本文讨论针对一维均匀线阵#xff08;ULA#xff0c;Uniform Linear Array#xff09;的空间平滑 MUSIC#xff08;S… SS-MUSIC 相干信号源带来的缺秩问题什么是中心对称阵列什么是前后向平均技术什么是 SS-MUSIC 算法SS-MUSIC 能解相干的原因SS-MUSIC 改进算法总结参考文献 本文讨论针对一维均匀线阵ULAUniform Linear Array的空间平滑 MUSICSS-MUSICSpatial Smoothing MUSIC算法12同时为了方便公式推导后续的模型建立在无噪环境下。
相干信号源带来的缺秩问题 假设 K 1 K1 K1 个信号源为同一组完全相干的信号源即 s k ( t ) c k s 1 ( t ) s_k(t) c_ks_1(t) sk(t)cks1(t)其中 k 2 , ⋯ , K k 2,\cdots,K k2,⋯,K 以及 t 1 , ⋯ , T t 1,\cdots,T t1,⋯,T。令 c [ 1 , c 2 , ⋯ , c K ] T ∈ C K × 1 \mathbf{c} [1,c_2,\cdots,c_K]^T\in\mathbb{C}^{K\times 1} c[1,c2,⋯,cK]T∈CK×1 可得到 R s 1 T S S H 1 T c s 1 s 1 H c H σ 1 2 c c H \begin{aligned} \mathbf{R}_{\mathrm{s}}\frac{1}{T}\mathbf{S}\mathbf{S}^H\\ \frac{1}{T}\mathbf{c}\mathbf{s}_1\mathbf{s}_1^H\mathbf{c}^H\\ \sigma_1^2\mathbf{c}\mathbf{c}^H \end{aligned} RsT1SSHT1cs1s1HcHσ12ccH 其中 s 1 ∈ C 1 × T \mathbf{s}_1\in\mathbb{C}^{1\times T} s1∈C1×T 代表第一个阵元的采样序列。为了简化后续推导我们令 σ 1 2 1 \sigma_1^21 σ121 即可得到 R s c c H ∈ C K × K \mathbf{R}_{\mathrm{s}} \mathbf{c}\mathbf{c}^H\in\mathbb{C}^{K\times K} RsccH∈CK×K因此 r a n k ( R s ) 1 K \mathrm{rank}(\mathbf{R}_{\mathrm{s}}) 1 K rank(Rs)1K即 R s \mathbf{R}_{\mathrm{s}} Rs 不满秩此时直接对 R A R s A H \mathbf{R} \mathbf{A}\mathbf{R}_{\mathrm{s}}\mathbf{A}^H RARsAH 进行 MUSIC 估计会失效。
什么是中心对称阵列 中心对称阵列Centro-Symmetric Array是指空间中存在一个参考点使得每个阵元在关于该参考点的对称位置上都有另一个相对应的阵元。ULA 就是最经典的一维中心对称阵列对于 ULA 而言该参考点就是阵列的中心点。假设空间中存在一组由 M M M 个阵元组成的 ULA其坐标索引为 { 0 , 1 , ⋯ , M − 1 } \{0,1,\cdots,M-1\} {0,1,⋯,M−1}此时方向矢量 a ( φ ) ∈ C M × 1 \mathbf{a}(\varphi)\in\mathbb{C}^{M\times 1} a(φ)∈CM×1 可表示如下 a ( φ ) [ 1 e − j φ ⋮ e − j ( M − 1 ) φ ] \mathbf{a}(\varphi) \begin{bmatrix} 1 \\ e^{-\mathrm{j}\varphi}\\ \vdots \\ e^{-\mathrm{j}(M-1)\varphi} \end{bmatrix} a(φ) 1e−jφ⋮e−j(M−1)φ 其中 φ 2 π d sin ( θ ) / λ \varphi 2\pi d \sin(\theta)/\lambda φ2πdsin(θ)/λ d d d 为相邻阵元的间距以及 λ \lambda λ 为信号波长。方向矢量矩阵 A ∈ C M × K \mathbf{A}\in\mathbb{C}^{M\times K} A∈CM×K 可表示如下 A [ a ( φ 1 ) , a ( φ 2 ) , ⋯ , a ( φ K ) ] \mathbf{A} [\mathbf{a}(\varphi_1),\mathbf{a}(\varphi_2),\cdots,\mathbf{a}(\varphi_K)] A[a(φ1),a(φ2),⋯,a(φK)] ULA 的方向矢量 a ( φ ) \mathbf{a}(\varphi) a(φ) 满足下式 J a ( φ ) e − j ( M − 1 ) φ a ∗ ( φ ) \mathbf{J}\mathbf{a}(\varphi) e^{-\mathrm{j}(M-1)\varphi}\mathbf{a}^*(\varphi) Ja(φ)e−j(M−1)φa∗(φ) 其中 J ∈ R M × M \mathbf{J}\in\mathbb{R}^{M\times M} J∈RM×M 代表反对角矩阵。不难得出 A \mathbf{A} A 满足下式 J A A ∗ Φ M − 1 \mathbf{J}\mathbf{A} \mathbf{A}^*\Phi^{M-1} JAA∗ΦM−1 其中 Φ ∈ C K × K \Phi\in\mathbb{C}^{K\times K} Φ∈CK×K 为对角矩阵 Φ [ e − j φ 1 ⋱ e − j φ K ] \Phi \begin{bmatrix} e^{-\mathrm{j}\varphi_1} \\ \ddots\\ e^{-\mathrm{j}\varphi_K} \end{bmatrix} Φ e−jφ1⋱e−jφK
什么是前后向平均技术 前后向平均Forward Backward Averaging技术针对中心对称阵列前后向协方差矩阵 R f b \mathbf{R}_{\mathrm{fb}} Rfb 表示如下 R f b 1 2 ( R f R b ) 1 2 ( R J R ∗ J ) \mathbf{R}_{\mathrm{fb}} \frac{1}{2}(\mathbf{R}_{\mathrm{f}}\mathbf{R}_{\mathrm{b}})\frac{1}{2}(\mathbf{R}\mathbf{J}\mathbf{R}^{*}\mathbf{J}) Rfb21(RfRb)21(RJR∗J) 其中 R f R \mathbf{R}_{\mathrm{f}}\mathbf{R} RfR 和 R b J R ∗ J \mathbf{R}_{\mathrm{b}} \mathbf{J}\mathbf{R}^{*}\mathbf{J} RbJR∗J 分别表示为前向协方差矩阵和后向协方差矩阵。代入 R A R s A H \mathbf{R} \mathbf{A}\mathbf{R}_{\mathrm{s}}\mathbf{A}^{H} RARsAH 可得到 R f b 1 2 ( A R s A H J A ∗ R s ∗ A T J ) 1 2 ( A R s A H A Φ M − 1 R s ∗ Φ 1 − M A H ) 1 2 A ( R s Φ M − 1 R s ∗ Φ 1 − M ) A H 1 2 A R f b s A H \begin{aligned} \mathbf{R}_{\mathrm{fb}} \frac{1}{2}(\mathbf{A}\mathbf{R}_{\mathrm{s}}\mathbf{A}^{H}\mathbf{J}\mathbf{A}^{*}\mathbf{R}_{\mathrm{s}}^{*}\mathbf{A}^{T}\mathbf{J})\\ \frac{1}{2}(\mathbf{A}\mathbf{R}_{\mathrm{s}}\mathbf{A}^{H}\mathbf{A}\Phi^{M-1}\mathbf{R}_{\mathrm{s}}^{*}\Phi^{1-M}\mathbf{A}^H)\\ \frac{1}{2}\mathbf{A}(\mathbf{R}_{\mathrm{s}}\Phi^{M-1}\mathbf{R}_{\mathrm{s}}^{*}\Phi^{1-M})\mathbf{A}^H\\ \frac{1}{2}\mathbf{A}\mathbf{R}_{\mathrm{fbs}}\mathbf{A}^H \end{aligned} Rfb21(ARsAHJA∗Rs∗ATJ)21(ARsAHAΦM−1Rs∗Φ1−MAH)21A(RsΦM−1Rs∗Φ1−M)AH21ARfbsAH 其中 R f b s R s Φ M − 1 R s ∗ Φ 1 − M \mathbf{R}_{\mathrm{fbs}}\mathbf{R}_{\mathrm{s}}\Phi^{M-1}\mathbf{R}_{\mathrm{s}}^{*}\Phi^{1-M} RfbsRsΦM−1Rs∗Φ1−M。同理可得到 R f s R s R b s Φ M − 1 R s ∗ Φ 1 − M \begin{aligned} \mathbf{R}_{\mathrm{fs}}\mathbf{R}_{\mathrm{s}} \\ \mathbf{R}_{\mathrm{bs}}\Phi^{M-1}\mathbf{R}_{\mathrm{s}}^{*}\Phi^{1-M} \end{aligned} RfsRbsRsΦM−1Rs∗Φ1−M 从前面相干信号的讨论中已知 r a n k ( R s ) 1 \mathrm{rank}(\mathbf{R}_{\mathrm{s}}) 1 rank(Rs)1即 r a n k ( R f s ) r a n k ( R b s ) 1 \mathrm{rank}(\mathbf{R}_{\mathrm{fs}}) \mathrm{rank}(\mathbf{R}_{\mathrm{bs}}) 1 rank(Rfs)rank(Rbs)1然而 R f b s \mathbf{R}_{\mathrm{fbs}} Rfbs 的秩并不为 1 1 1具体推导如下 R f b s R s Φ M − 1 R s ∗ Φ 1 − M I c c H I Φ M − 1 c c H Φ 1 − M C 1 1 T C H C Φ M − 1 Φ M − 1 H C H C [ 1 Φ M − 1 ] [ 1 T Φ M − 1 H ] C H \begin{aligned} \mathbf{R}_{\mathrm{fbs}}\mathbf{R}_{\mathrm{s}}\Phi^{M-1}\mathbf{R}_{\mathrm{s}}^{*}\Phi^{1-M}\\ \mathbf{I}\mathbf{c}\mathbf{c}^H\mathbf{I} \Phi^{M-1}\mathbf{c}\mathbf{c}^H \Phi^{1-M} \\ \mathbf{C} \mathbf{1} \mathbf{1}^T\mathbf{C}^H \mathbf{C} \varPhi_{M-1} \varPhi_{M-1}^H\mathbf{C}^H \\ \mathbf{C} \begin{bmatrix} \mathbf{1} \varPhi_{M-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{1}^T \\ \varPhi_{M-1}^H \end{bmatrix} \mathbf{C}^H \end{aligned} RfbsRsΦM−1Rs∗Φ1−MIccHIΦM−1ccHΦ1−MC11TCHCΦM−1ΦM−1HCHC[1ΦM−1][1TΦM−1H]CH 其中 C ∈ C K × K \mathbf{C}\in\mathbb{C}^{K\times K} C∈CK×K 代表 c ∈ C K × 1 \mathbf{c}\in\mathbb{C}^{K\times 1} c∈CK×1 的对角形式 Φ M − 1 ∈ C K × 1 \varPhi_{M-1}\in\mathbb{C}^{K\times 1} ΦM−1∈CK×1 代表 Φ M − 1 ∈ C K × K \Phi^{M-1}\in\mathbb{C}^{K\times K} ΦM−1∈CK×K 对角元素的向量形式 I \mathbf{I} I 代表单位矩阵以及 1 \mathbf{1} 1 代表全 1 1 1 向量。显然 [ 1 Φ M − 1 ] ∈ C K × 2 [\mathbf{1}\,\,\,\,\varPhi_{M-1}]\in\mathbb{C}^{K\times 2} [1ΦM−1]∈CK×2 的列线性无关因此 r a n k ( R f b s ) 2 \mathrm{rank}(\mathbf{R}_{\mathrm{fbs}}) 2 rank(Rfbs)2。
什么是 SS-MUSIC 算法 SS-MUSIC 算法提出切分子阵列的方式来解相干首先将原阵列视为阵元数为 M M M 的单个连续阵列则 SS-MUSIC 将原阵列切分为 N N N 个连续子阵列其中每个子阵列有 P P P 个阵元。第一个子阵列包括原阵列中前 1 ∼ P 1\sim P 1∼P 个阵元第二个子阵列包括原阵列中前 2 ∼ P 1 2\sim P1 2∼P1 个阵元。不难看出 M N P − 1 M NP-1 MNP−1。切分阵列后再通过子阵列的互相关矩阵来进行累加即可得到空间平滑结果。 SS-MUSIC 又可以细分为 FSS-MUSIC、BSS-MUSIC 和 FBSS-MUSIC它们分别针对 R f \mathbf{R}_{\mathrm{f}} Rf、 R b \mathbf{R}_{\mathrm{b}} Rb 和 R f b \mathbf{R}_{\mathrm{fb}} Rfb 进行子阵列切分操作通常情况下 FBSS-MUSIC 是最优选择。FSS-MUSIC、BSS-MUSIC 和 FBSS-MUSIC 的空间平滑结果如下 R f s s 1 N ∑ i 1 N [ R f ] i i R b s s 1 N ∑ i 1 N [ R b ] i i R f b s s 1 N ∑ i 1 N [ R f b ] i i \begin{aligned} \mathbf{R}_{\mathrm{fss}} \frac{1}{N}\sum_{i1}^{N} [\mathbf{R}_{\mathrm{f}}]_{ii} \\ \mathbf{R}_{\mathrm{bss}} \frac{1}{N}\sum_{i1}^{N} [\mathbf{R}_{\mathrm{b}}]_{ii} \\ \mathbf{R}_{\mathrm{fbss}} \frac{1}{N}\sum_{i1}^{N} [\mathbf{R}_{\mathrm{fb}}]_{ii} \end{aligned} RfssRbssRfbssN1i1∑N[Rf]iiN1i1∑N[Rb]iiN1i1∑N[Rfb]ii 其中 [ R ] i j ∈ C P × P [\mathbf{R}]_{ij}\in\mathbb{C}^{P\times P} [R]ij∈CP×P 表示第 i i i 个子阵列和第 j j j 个子阵列的相关矩阵 [ R ] i j A P Φ i − 1 R Φ 1 − j A P H [\mathbf{R}]_{ij} \mathbf{A}_{\mathrm{P}}\Phi^{i-1}\mathbf{R}\Phi^{1-j}\mathbf{A}_{\mathrm{P}}^H [R]ijAPΦi−1RΦ1−jAPH 其中 i 1 , ⋯ , N i1,\cdots,N i1,⋯,N j 1 , ⋯ , N j1,\cdots,N j1,⋯,N 且 A P \mathbf{A}_{\mathrm{P}} AP 表示 A \mathbf{A} A 的前 P P P 行。如此得到的 R f s s \mathbf{R}_{\mathrm{fss}} Rfss、 R b s s \mathbf{R}_{\mathrm{bss}} Rbss 和 R f b s s \mathbf{R}_{\mathrm{fbss}} Rfbss 可直接用于 MUSIC 估计。
SS-MUSIC 能解相干的原因 相干信号源带来的问题是信号协方差矩阵 R s \mathbf{R}_{\mathrm{s}} Rs 的秩降低了因此 SS-MUSIC 的工作便是将 R s \mathbf{R}_{\mathrm{s}} Rs 的秩恢复为 K K K以 R f s s \mathbf{R}_{\mathrm{fss}} Rfss 为例 R f s s 1 N ∑ i 1 N [ R f ] i i 1 N ( A P R f s A P H ⋯ A P Φ N − 1 R f s Φ 1 − N A P H ) 1 N A P ( ∑ i 1 N Φ i − 1 R f s Φ 1 − i ) A P H \begin{aligned} \mathbf{R}_{\mathrm{fss}} \frac{1}{N}\sum_{i1}^{N} [\mathbf{R}_{\mathrm{f}}]_{ii} \\ \frac{1}{N} \left(\mathbf{A}_{\mathrm{P}}\mathbf{R}_{\mathrm{fs}}\mathbf{A}_{\mathrm{P}}^H\cdots\mathbf{A}_{\mathrm{P}}\Phi^{N-1}\mathbf{R}_{\mathrm{fs}}\Phi^{1-N}\mathbf{A}_{\mathrm{P}}^H\right) \\ \frac{1}{N} \mathbf{A}_{\mathrm{P}} \left( \sum_{i1}^N \Phi^{i-1}\mathbf{R}_{\mathrm{fs}}\Phi^{1-i}\right)\mathbf{A}_{\mathrm{P}}^H \end{aligned} RfssN1i1∑N[Rf]iiN1(APRfsAPH⋯APΦN−1RfsΦ1−NAPH)N1AP(i1∑NΦi−1RfsΦ1−i)APH 由于 R f s c c H \mathbf{R}_{\mathbf{fs}} \mathbf{c}\mathbf{c}^H RfsccH我们得到 Φ i − 1 R f s Φ 1 − i C Φ i − 1 Φ i − 1 H C H \Phi^{i-1}\mathbf{R}_{\mathrm{fs}}\Phi^{1-i} \mathbf{C}\varPhi_{i-1}\varPhi_{i-1}^H \mathbf{C}^H Φi−1RfsΦ1−iCΦi−1Φi−1HCH 其中 C ∈ C K × K \mathbf{C}\in\mathbb{C}^{K\times K} C∈CK×K 代表 c ∈ C K × 1 \mathbf{c}\in\mathbb{C}^{K\times 1} c∈CK×1 的对角形式 Φ i − 1 ∈ C K × 1 \varPhi_{i-1}\in\mathbb{C}^{K\times 1} Φi−1∈CK×1 代表 Φ i − 1 ∈ C K × K \Phi^{i-1}\in\mathbb{C}^{K\times K} Φi−1∈CK×K 对角元素的向量形式。 进一步化简 R f s s 1 N A P ( ∑ i 1 N Φ i − 1 R f s Φ 1 − i ) A P H 1 N A P C ( ∑ i 1 N Φ i − 1 Φ i − 1 H ) C H A P H 1 N A P C A N H A N C H A P H \begin{aligned} \mathbf{R}_{\mathrm{fss}} \frac{1}{N} \mathbf{A}_{\mathrm{P}} \left( \sum_{i1}^N \Phi^{i-1}\mathbf{R}_{\mathrm{fs}}\Phi^{1-i}\right)\mathbf{A}_{\mathrm{P}}^H \\ \frac{1}{N} \mathbf{A}_{\mathrm{P}} \mathbf{C}\left( \sum_{i1}^N \varPhi_{i-1}\varPhi_{i-1}^H\right) \mathbf{C}^H\mathbf{A}_{\mathrm{P}}^H\\ \frac{1}{N} \mathbf{A}_{\mathrm{P}} \mathbf{C} \mathbf{A}_{\mathrm{N}}^H\mathbf{A}_{\mathrm{N}} \mathbf{C}^H\mathbf{A}_{\mathrm{P}}^H \end{aligned} RfssN1AP(i1∑NΦi−1RfsΦ1−i)APHN1APC(i1∑NΦi−1Φi−1H)CHAPHN1APCANHANCHAPH 其中 A N ∈ C N × K \mathbf{A}_{\mathrm{N}}\in\mathbb{C}^{N\times K} AN∈CN×K 代表 A \mathbf{A} A 的前 N N N 行。通过对 R f s s \mathbf{R}_{\mathrm{fss}} Rfss 的推导我们不难得出结论每一次的累加均使得 R f s s \mathbf{R}_{\mathrm{fss}} Rfss 的秩恢复 r a n k ( R f s ) 1 \mathrm{rank}(\mathbf{R}_{\mathrm{fs}}) 1 rank(Rfs)1 个故而最后 r a n k ( R f s s ) min ( P − 1 , N , K ) \mathrm{rank}(\mathbf{R}_{\mathrm{fss}}) \min(P-1,N,K) rank(Rfss)min(P−1,N,K)。因此为了让 R f s s \mathbf{R}_{\mathrm{fss}} Rfss 的秩恢复为 K K K需要保证 N ≥ K N\geq K N≥K 和 P K PK PK 成立。结合 M N P − 1 M NP-1 MNP−1 我们将得到 K ≤ 1 2 M K\leq\frac{1}{2}M K≤21M 即 FSS-MUSIC 至多能估计 1 2 M \frac{1}{2}M 21M 个同组的相干信号源。同理 BSS-MUSIC 也一样。 相比于 FSS-MUSIC 和 BSS-MUSICFBSS-MUSIC 有更高的自由度。每一次的累加均使得 R f b s s \mathbf{R}_{\mathrm{fbss}} Rfbss 的秩恢复 r a n k ( R f b s ) 2 \mathrm{rank}(\mathbf{R}_{\mathrm{fbs}}) 2 rank(Rfbs)2 个故而最后 r a n k ( R f b s s ) min ( P − 1 , 2 N , K ) \mathrm{rank}(\mathbf{R}_{\mathrm{fbss}}) \min(P-1,2N,K) rank(Rfbss)min(P−1,2N,K)。因此为了让 R f b s s \mathbf{R}_{\mathrm{fbss}} Rfbss 的秩恢复为 K K K需要保证 2 N ≥ K 2N\geq K 2N≥K 和 P K PK PK 成立。结合 M N P − 1 M NP-1 MNP−1 我们将得到 K ≤ 2 3 M K\leq\frac{2}{3}M K≤32M 即 FBSS-MUSIC 至多能估计 2 3 M \frac{2}{3}M 32M 个同组的相干信号源。
SS-MUSIC 改进算法 实质上SS-MUSIC 将协方差矩阵 R \mathbf{R} R 进行分块并取属于对角位置的子矩阵进行累加只要累加的次数足够即可将内部信号协方差的秩恢复为 K K K。IFBSS-MUSIC3Improved FBSS-MUSIC利用非对角位置的子矩阵进行计算 R i f b s s 1 N 2 ∑ i 1 N ∑ j 1 N [ R f b ] i j [ R f b ] j i \mathbf{R}_{\mathrm{ifbss}} \frac{1}{N^2}\sum_{i1}^{N}\sum_{j1}^{N} [\mathbf{R}_{\mathrm{fb}}]_{ij}[\mathbf{R}_{\mathrm{fb}}]_{ji} RifbssN21i1∑Nj1∑N[Rfb]ij[Rfb]ji 进一步可得到 R i f b s s 1 N 2 A P [ ∑ i 1 N Φ i − 1 R f b s ( ∑ j 1 N Φ 1 − j A P H A P Φ j − 1 ) R f b s Φ 1 − i ] A P H \begin{aligned} \mathbf{R}_{\mathrm{ifbss}} \frac{1}{N^2}\mathbf{A}_{\mathrm{P}}\left[\sum_{i1}^{N} \Phi^{i-1} \mathbf{R}_{\mathrm{fbs}}\left( \sum_{j1}^{N} \Phi^{1-j}\mathbf{A}_{\mathrm{P}}^H\mathbf{A}_{\mathrm{P}}\Phi^{j-1}\right)\mathbf{R}_{\mathrm{fbs}}\Phi^{1-i}\right]\mathbf{A}_{\mathrm{P}}^H \end{aligned} RifbssN21AP[i1∑NΦi−1Rfbs(j1∑NΦ1−jAPHAPΦj−1)RfbsΦ1−i]APH
总结 总的来说SS-MUSIC 针对于 ULA 实现而 ULA 属于中心对称阵列因此结合前后向平均技术可以进一步提升自由度。从上面的讨论可得知当 K 1 K1 K1 个信号源同属一组相干源即原协方差矩阵秩为 1 1 1前后向平均技术可以实现一定的解相干即将协方差矩阵的秩恢复为 2 2 2但解相干能力有限。SS-MUSIC 牺牲了阵列孔径但能实现完全解相干。
参考文献 Shan T J, Wax M, Kailath T. On spatial smoothing for direction-of-arrival estimation of coherent signals[J]. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 1985, 33(4): 806-811. ↩︎ Pillai S U, Kwon B H. Forward/backward spatial smoothing techniques for coherent signal identification[J]. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 1989, 37(1): 8-15. ↩︎ Du W, Kirlin R L. Improved spatial smoothing techniques for DOA estimation of coherent signals[J]. IEEE Transactions on signal processing, 1991, 39(5): 1208-1210. ↩︎
