郑州网站建设找哪家好,seo百度关键词优化软件,大连市,seo查询网址微分方程的基本概念可分离变量的微分方程齐次方程一阶线性微分方程 线性方程 可降阶的高阶微分方程 y(n)f(x) y ( n ) f ( x ) 型的微分方程 y″f(x,y′) y ″ f ( x , y ′ ) 型的微分方程 y″f(y,y′) y ″ f ( y , y ′ ) 型的微分方程 高阶线性微分方程 二阶线性微分方程… 微分方程的基本概念可分离变量的微分方程齐次方程一阶线性微分方程 线性方程 可降阶的高阶微分方程 y(n)f(x) y ( n ) f ( x ) y^{(n)}=f(x)型的微分方程 y″f(x,y′) y ″ f ( x , y ′ ) y''=f(x,y')型的微分方程 y″f(y,y′) y ″ f ( y , y ′ ) y''=f(y,y')型的微分方程 高阶线性微分方程 二阶线性微分方程举例线性微分方程的解的结构 微分方程的基本概念
表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫做微分方程有时也简称方程微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶如 x3y‴x2y″−4xy′3x2 x 3 y ‴ x 2 y ″ − 4 x y ′ 3 x 2 x^3y'''+x^2y''-4xy'=3x^2是三阶微分方程 y(4)−4y‴10y″−12y′5ysin2x y ( 4 ) − 4 y ‴ 10 y ″ − 12 y ′ 5 y sin 2 x y^{(4)}-4y'''+10y''-12y'+5y=\sin 2x是四阶微分方程一般的 n n n阶微分方程的形式是F(x,y,y#x2032;...,y(n))=0" role="presentation">F(x,y,y′...,y(n))=0F(x,y,y′...,y(n))=0F(x,y,y'...,y^{(n)})=0其中 y(n) y ( n ) y^{(n)}必须出现而 x,y,y′,...,y(n−1) x , y , y ′ , . . . , y ( n − 1 ) x,y,y',...,y^{(n-1)}等变量则可以不出现例如 n n n阶微分方程y(n)+1=0" role="presentation">y(n)+1=0y(n)+1=0y^{(n)}+1=0首先建立微分方程然后找出满足微分方程的函数解微分方程把这函数代入微分方程能使该方程称为恒等式。这个函数就叫做该微分方程的解如果微分方程的解中含有任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同这样的解叫做微分方程的通解。如 yx2C y x 2 C y=x^2+C是 dydx2x d y d x 2 x \frac{dy}{dx}=2x的通解确定了通解中的任意常数以后就得到微分方程的特解。例如 yx21 y x 2 1 y=x^2+1是 dydx2x d y d x 2 x \frac{dy}{dx}=2x满足条件 x1 x 1 x=1时 y2 y 2 y=2的特解求微分方程 y′f(x,y) y ′ f ( x , y ) y'=f(x,y)满足初始条件 y|xx0y0 y | x x 0 y 0 y|_{x=x_0}=y_0的特解这样一个问题叫做一阶微分方程的初值问题记作 {y′f(x,y)y|xx0y0 { y ′ f ( x , y ) y | x x 0 y 0 \left\{ \begin{aligned} y'=f(x,y) \\ y|_{x=x_0}=y_0 \end{aligned} \right. 微分方程的解的图形是一条曲线叫做微分方程的积分曲线。上述初值问题的几何意义就是求微分方程的通过点 (x0,y0) ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0)的那条积分曲线。二阶微分方程的初值问题 {y″f(x,y,y′)y|xx0y0,y′|xx0y′0 { y ″ f ( x , y , y ′ ) y | x x 0 y 0 , y ′ | x x 0 y 0 ′ \left\{ \begin{aligned} y''=f(x,y,y') \\ y|_{x=x_0}=y_0,y'|_{x=x_0}=y_0'\end{aligned}\right.的几何意义是求微分方程的通过点 (x0,y0) ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0)且在该点处的切线斜率为 y′0 y 0 ′ y_0'的那条积分曲线
可分离变量的微分方程
一般的如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dyf(x)dx g ( y ) d y f ( x ) d x g(y)dy=f(x)dx的形式就是说能把微分方程写成一端只含 y y y的函数和dy" role="presentation">dydydy另一端只含 x x x的函数和dx" role="presentation">dxdxdx那么原方程就称为可分离变量的微分方程例求微分方程 dydx2xy(1) (1) d y d x 2 x y \frac{dy}{dx}=2xy \tag{1}的通解 上述方程式可分离变量的分离变量后得 dyy2xdx d y y 2 x d x \frac{dy}{y}=2xdx两端积分 ∫dyy∫2xdx ∫ d y y ∫ 2 x d x \int \frac{dy}{y}=\int 2xdx得 ln|y|x2C1 ln | y | x 2 C 1 \ln|y|=x^2+C_1从而 y±ex2C1±eC1ex2 y ± e x 2 C 1 ± e C 1 e x 2 y=\pm e^{x^2+C_1}=\pm e^{C_1}e^{x^2}。因为 ±eC1 ± e C 1 \pm e^{C_1}是任意非零常数又 y≡0 y ≡ 0 y \equiv0也是方程1的解故得方程7的通解 yCex2 y C e x 2 y=Ce^{x^2}
齐次方程
如果一阶微分方程可化为 dydxφ(yx)(1) (1) d y d x φ ( y x ) \frac{dy}{dx}=\varphi (\frac{y}{x}) \tag{1}的形式那么就称这方程为齐次方程。例如 (xy−y2)dx−(x2−2xy)dy0 ( x y − y 2 ) d x − ( x 2 − 2 x y ) d y 0 (xy-y^2)dx-(x^2-2xy)dy=0是齐次方程因为它可化成 dydxyx−(yx)21−2(yx) d y d x y x − ( y x ) 2 1 − 2 ( y x ) \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{y}{x}-(\frac{y}{x})^2}{1-2(\frac{y}{x})}例解方程 y2x2dydxxydydx y 2 x 2 d y d x x y d y d x y^2+x^2\frac{dy}{dx}=xy\frac{dy}{dx}原方程可写成 dydxy2xy−x2(yx)2yx−1 d y d x y 2 x y − x 2 ( y x ) 2 y x − 1 \frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{xy-x^2}=\frac{(\frac{y}{x})^2}{\frac{y}{x}-1}因此是齐次方程令 yxu y x u \frac{y}{x}=u则 yuxdydxuxdudx y u x d y d x u x d u d x y=ux，\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}于是原方程变为 xdudxuu−1 x d u d x u u − 1 x\frac{du}{dx}=\frac{u}{u-1}分离变量得 u−ln|u|Cln|x| u − ln | u | C ln | x | u-\ln|u|+C=\ln|x|或写为 ln|xu|uC ln | x u | u C \ln|xu|=u+C将 yx y x \frac{y}{x}代入上式中的 u u u，便得到所给方程的通解为ln#x2061;|y|=yx+C" role="presentation">ln|y|=yx+Cln|y|=yx+C\ln|y|=\frac{y}{x}+C
一阶线性微分方程
线性方程
方程 dydxP(x)yQ(x)(1) (1) d y d x P ( x ) y Q ( x ) \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) \tag{1}叫做一阶线性微分方程因为它对于未知函数 y y y及其导数是一次方程。如果Q(x)#x2261;0" role="presentation">Q(x)≡0Q(x)≡0Q(x)\equiv 0则方程1称为齐次的如果 Q(x)≠0 Q ( x ) ≠ 0 Q(x)\not=0则方程1称为非齐次的设1为非齐次线性方程为了求出非齐次线性方程1的解先把 Q(x) Q ( x ) Q(x)换成零而写出方程 dydxP(x)y0(2) (2) d y d x P ( x ) y 0 \frac{dy}{dx}+P(x)y=0\tag{2}方程2叫做对应于非齐次线性方程1的齐次线性方程。方程2是可分离变量的分离变量后得 dyy−P(x)dx d y y − P ( x ) d x \frac{dy}{y}=-P(x)dx两端积分得 ln|y|0∫P(x)dxC1 ln | y | 0 ∫ P ( x ) d x C 1 \ln|y|=0\int P(x)dx+C_1或 yCe−∫P(x)dxC±eC1 y C e − ∫ P ( x ) d x C ± e C 1 y=Ce^{-\int P(x)dx}（C=\pm e^{C_1}）这是对应的齐次线性方程2的通解使用常数变易法来求非齐次线性方程1的通解将2的通解中的 C C C换成x" role="presentation">xxx的未知函数 u(x) u ( x ) u(x)即作变换 yue−∫P(x)dx(3) (3) y u e − ∫ P ( x ) d x y=ue^{-\int P(x)dx} \tag{3}于是 dydxu′e−∫P(x)dx−uP(x)e−∫P(x)dx(4) (4) d y d x u ′ e − ∫ P ( x ) d x − u P ( x ) e − ∫ P ( x ) d x \frac{dy}{dx}=u'e^{-\int P(x)dx}-uP(x)e^{-\int P(x)}dx \tag{4}将3和4代入方程1得 u′e−∫P(x)dx−uP(x)e−∫P(x)dxP(x)ue−∫P(x)dxQ(x) u ′ e − ∫ P ( x ) d x − u P ( x ) e − ∫ P ( x ) d x P ( x ) u e − ∫ P ( x ) d x Q ( x ) u'e^{-\int P(x)dx}-uP(x)e^{-\int P(x)dx}+P(x)ue^{-\int P(x)dx}=Q(x)即 u′e−∫P(x)dxQ(x)u′Q(x)e∫P(x)dx u ′ e − ∫ P ( x ) d x Q ( x ) u ′ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x u'e^{-\int P(x)dx}=Q(x)，u'=Q(x)e^{\int P(x)dx}两端积分得 u∫Q(x)e∫P(x)dxdxC u ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x C u=\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C把上式代入3便得非齐次线性方程1的通解 ye−∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdxC)(5) (5) y e − ∫ P ( x ) d x ( ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x C ) y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C) \tag{5}把5式改写成两项之和 yCe−∫P(x)dxe−∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dxdx y C e − ∫ P ( x ) d x e − ∫ P ( x ) d x ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x y=Ce^{-\int P(x)dx}+e^{-\int P(x)dx}\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx由此可知一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和例求方程 dydx−2yx1(x1)52 d y d x − 2 y x 1 ( x 1 ) 5 2 \frac{dy}{dx}-\frac{2y}{x+1}=(x+1)^{\frac{5}{2}}的通解. 解这是一个非齐次线性方程先求对应的齐次方程的通解. dydx−2x1y0 d y d x − 2 x 1 y 0 \frac{dy}{dx}-\frac{2}{x+1}y=0， dyy2dxx1 d y y 2 d x x 1 \frac{dy}{y}=\frac{2dx}{x+1}， ln|y|2ln|x1|ln|C1| ln | y | 2 ln | x 1 | ln | C 1 | \ln|y|=2\ln|x+1|+\ln|C_1|， yC(x1)2(6) (6) y C ( x 1 ) 2 y=C_(x+1)^2 \tag{6}那么 dydxu′(x1)22u(x1) d y d x u ′ ( x 1 ) 2 2 u ( x 1 ) \frac{dy}{dx}=u'(x+1)^2+2u(x+1)代入所给非齐次方程得 u′(x1)12 u ′ ( x 1 ) 1 2 u'=(x+1)^{\frac{1}{2}}两端积分得 u23(x1)32C u 2 3 ( x 1 ) 3 2 C u=\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}+C再把上式代入6式即得所求方程的通解为 y(x1)2[23(x1)32C] y ( x 1 ) 2 [ 2 3 ( x 1 ) 3 2 C ] y=(x+1)^2[\frac{2}{3}(x+1)^\frac{3}{2}+C]
可降阶的高阶微分方程
二阶及二阶以上的微分方程即所谓高阶微分方程 y(n)f(x) y ( n ) f ( x ) y^{(n)}=f(x)型的微分方程
微分方程 y(n)f(x)(2) (2) y ( n ) f ( x ) y^{(n)}=f(x) \tag{2}的右端仅含有自变量 x x x，容易看出，只要把y(n#x2212;1)" role="presentation">y(n−1)y(n−1)y^{(n-1)}作为新的未知函数那么2式就是新未知函数的一阶微分方程。两边积分就得到一个 n− n − n-阶的微分方程 y(n−1)∫f(x)dxC1 y ( n − 1 ) ∫ f ( x ) d x C 1 y^{(n-1)}=\int f(x)dx+C_1同理可得 y(n−2)∫[∫f(x)dxC1]dxC2 y ( n − 2 ) ∫ [ ∫ f ( x ) d x C 1 ] d x C 2 y^{(n-2)}=\int[\int f(x)dx+C_1]dx+C_2依此法继续进行接连积分 n n n次，便得到方程（2）的含有n" role="presentation">nnn个任意常数的通解例求微分方程 y‴e2x−cosx y ‴ e 2 x − cos x y'''=e^{2x}-\cos x的通解 解对所给方程接连积分三次得 y″12e2x−sinxC y ″ 1 2 e 2 x − sin x C y''=\frac{1}{2}e^{2x}-\sin x+C y′14e2xcosxCxC2 y ′ 1 4 e 2 x cos x C x C 2 y'=\frac{1}{4}e^{2x}+\cos x+Cx+C_2 y18e2xsinxC1x2C2xC3C1C2 y 1 8 e 2 x sin x C 1 x 2 C 2 x C 3 C 1 C 2 y=\frac{1}{8}e^{2x}+\sin x+C_1x^2+C_2x+C_3（C_1=\frac{C}{2}）这就是所求的通解 y″f(x,y′) y ″ f ( x , y ′ ) y''=f(x,y')型的微分方程
方程 y″f(x,y′)(7) (7) y ″ f ( x , y ′ ) y''=f(x,y') \tag{7}的右端不显含未知函数 y y y。如果我们设y#x2032;=p" role="presentation">y′=py′=py'=p那么 y″dpdxp′ y ″ d p d x p ′ y''=\frac{dp}{dx}=p'而方程7就成为 p′f(x,p) p ′ f ( x , p ) p'=f(x,p)。这是一个关于变量 x、p x 、 p x、p的一阶微分方程设其通解为 pφ(x,C1) p φ ( x , C 1 ) p=\varphi(x,C_1)但是 pdydx p d y d x p=\frac{dy}{dx}因此又得到一个一阶微分方程 dydxφ(x,C1) d y d x φ ( x , C 1 ) \frac{dy}{dx}=\varphi(x,C_1)对它进行积分便得到方程7的通解为 y∫φ(x,C1)dxC2 y ∫ φ ( x , C 1 ) d x C 2 y=\int \varphi(x,C_1)dx+C_2例求微分方程 (1x2)y″2xy′ ( 1 x 2 ) y ″ 2 x y ′ (1+x^2)y''=2xy'满足初始条件 y|x01y′|x03 y | x 0 1 y ′ | x 0 3 y|_{x=0}=1，y'|_{x=0}=3的特解 解所给方程式 y″f(x,y′) y ″ f ( x , y ′ ) y''=f(x,y')型的设 y′p y ′ p y'=p代入方程并分离变量后有 dpp2x1x2dx d p p 2 x 1 x 2 d x \frac{dp}{p}=\frac{2x}{1+x^2}dx两端积分得 ln|p|ln(1x2)C ln | p | ln ( 1 x 2 ) C \ln|p|=\ln(1+x^2)+C，即 py′C1(1x2)C1±eC p y ′ C 1 ( 1 x 2 ) C 1 ± e C p=y'=C_1(1+x^2)（C_1=\pm e^C）由条件 y′|x03 y ′ | x 0 3 y'|_{x=0}=3得 C13 C 1 3 C_1=3，所以 y′3(1x2) y ′ 3 ( 1 x 2 ) y'=3(1+x^2)，两端再积分得 yx33xC2 y x 3 3 x C 2 y=x^3+3x+C_2。又由条件 y|x01 y | x 0 1 y|_{x=0}=1得 C21 C 2 1 C_2=1于是所求的特解为 yx33x1 y x 3 3 x 1 y=x^3+3x+1 y″f(y,y′) y ″ f ( y , y ′ ) y''=f(y,y')型的微分方程
方程 y″f(y,y′)(11) (11) y ″ f ( y , y ′ ) y''=f(y,y') \tag{11}中不明显地含自变量 x x x，为了求出它的解，我们令y#x2032;=p" role="presentation">y′=py′=py'=p并利用复合函数的求导法则把 y″ y ″ y''化为对 y y y的导数，即y#x2033;=dpdx=dpdy#x22C5;dydx=pdpdy" role="presentation">y″=dpdx=dpdy⋅dydx=pdpdyy″=dpdx=dpdy⋅dydx=pdpdyy''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}这样方程11就成为 pdpdyf(y,p) p d p d y f ( y , p ) p\frac{dp}{dy}=f(y,p)这是一个关于变量 y、p y 、 p y、p的一阶微分方程设它的通解为 y′pφ(y,C1) y ′ p φ ( y , C 1 ) y'=p=\varphi(y,C_1)分离变量并积分便得方程11的通解为 ∫dyφ(y,C1)xC2 ∫ d y φ ( y , C 1 ) x C 2 \int\frac{dy}{\varphi(y,C_1)}=x+C_2例求微分方程 yy″−y′20(12) (12) y y ″ − y ′ 2 0 yy''-y'^2=0 \tag{12}的通解 解方程12不明显地含自变量 x x x，设y#x2032;=p#xFF0C;#x5219;y#x2033;=pdpdy#xFF0C;" role="presentation">y′=p，则y″=pdpdy，y′=p，则y″=pdpdy，y'=p，则y''=p\frac{dp}{dy}，代入方程12得 ypdpdy−p20 y p d p d y − p 2 0 yp\frac{dp}{dy}-p^2=0在 y≠0、p≠0 y ≠ 0 、 p ≠ 0 y\not=0、p\not=0时约去 p p p并分离变量，得dpp=dyy" role="presentation">dpp=dyydpp=dyy\frac{dp}{p}=\frac{dy}{y}。两端积分得 ln|p|ln|y|C ln | p | ln | y | C \ln|p|=\ln|y|+C即 pC1y或y′C1yC1±eC p C 1 y 或 y ′ C 1 y C 1 ± e C p=C_1y，或y'=C_1y（C_1=\pm e^C）再分离变量并两端积分便得方程12的通解为 ln|y|C1xC′2 ln | y | C 1 x C 2 ′ \ln|y|=C_1x+C_2'或 yC2eC1xC2±eC′2 y C 2 e C 1 x C 2 ± e C 2 ′ y=C_2e^{C_1x}（C_2=\pm e^{C_2'}）
高阶线性微分方程
二阶线性微分方程举例
如方程 d2ydx2P(x)dydxQ(x)yf(x) d 2 y d x 2 P ( x ) d y d x Q ( x ) y f ( x )
\frac{d^2y}{dx^2}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y=f(x)叫做二阶线性微分方程当方程右端 f(x)≡0 f ( x ) ≡ 0 f(x)\equiv0时方程叫做齐次的当 f(x)≠0 f ( x ) ≠ 0 f(x)\not= 0时方程叫做非齐次的 线性微分方程的解的结构
对于二阶齐次线性方程 y″P(x)y′Q(x)y0(6) (6) y ″ P ( x ) y ′ Q ( x ) y 0
y''+P(x)y'+Q(x)y=0 \tag{6} 1. 如果函数 y′1(x) y 1 ′ ( x ) y_1'(x)与 y2(x) y 2 ( x ) y_2(x)是方程6的两个解那么 yC1y1(x)C2y2(x)(7) (7) y C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x )
y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) \tag{7}也是6的解其中 C1、C2 C 1 、 C 2 C_1、C_2是任意常数 2. 设 y1(x),y2(x),...,yn(x) y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , . . . , y n ( x ) y_1(x),y_2(x),...,y_n(x)为定义在区间 I I I上的n" role="presentation">nnn个函数如果存在 n n n个不全为零的常数k1,k2,...,kn" role="presentation">k1,k2,...,knk1,k2,...,knk_1,k_2,...,k_n使得当 x∈I x ∈ I x\in I时有恒等式 k1y1k2y2...knyn≡0 k 1 y 1 k 2 y 2 . . . k n y n ≡ 0
k_1y_1+k_2y_2+...+k_ny_n\equiv 0成立那么称这 n n n个函数在区间I" role="presentation">III上线性相关否则称线性无关 3. 如果 y1(x) y 1 ( x ) y_1(x)与 y2(x) y 2 ( x ) y_2(x)是方程6的两个线性无关的特解那么 yC1y1(x)C2y2(x)C1、C2是任意常数 y C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x ) C 1 、 C 2 是 任 意 常 数
y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)（C_1、C_2是任意常数）就是方程6的通解 4. 如果 y1(x),y2(x),...,yn(x) y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , . . . , y n ( x ) y_1(x),y_2(x),...,y_n(x)是 n n n阶齐次线性方程y(n)+a1(x)y(n#x2212;1)+...+an#x2212;1(x)y#x2032;+an(x)y=0" role="presentation">y(n)+a1(x)y(n−1)+...+an−1(x)y′+an(x)y=0y(n)+a1(x)y(n−1)+...+an−1(x)y′+an(x)y=0y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+...+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0的 n n n个线性无关的解，那么，此方程的通解为y=C1y1(x)+C2y2(x)+...+Cnyn(x)" role="presentation">y=C1y1(x)+C2y2(x)+...+Cnyn(x)y=C1y1(x)+C2y2(x)+...+Cnyn(x)y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+...+C_ny_n(x)其中 C1,C2,...,Cn C 1 , C 2 , . . . , C n C_1,C_2,...,C_n为任意常数 5. 设 y∗(x) y ∗ ( x ) y^*(x)是二阶非齐次线性方程 y″P(x)y′Q(x)yf(x)(5) (5) y ″ P ( x ) y ′ Q ( x ) y f ( x )
y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x) \tag{5}的一个特解 Y(x) Y ( x ) Y(x)是与5对应的齐次方程6的通解那么 yY(x)y∗(x)(8) (8) y Y ( x ) y ∗ ( x )
y=Y(x)+y^*(x)\tag{8}是二阶非齐次线性微分方程5的通解 6. 设非齐次线性方程5的右端 f(x) f ( x ) f(x)是两个函数之和即 y″P(x)y′Q(x)yf1(x)f2(x)(9) (9) y ″ P ( x ) y ′ Q ( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x )
y''+P(x)y'+Q(x)y=f_1(x)+f_2(x)\tag{9}，而 y∗1(x) y 1 ∗ ( x ) y_1^*(x)与 y2∗(x) y 2 ∗ ( x ) y_2*(x)分别是方程 y″P(x)y′Q(x)yf1(x) y ″ P ( x ) y ′ Q ( x ) y f 1 ( x )
y''+P(x)y'+Q(x)y=f_1(x)与 y″P(x)y′Q(x)yf2(x) y ″ P ( x ) y ′ Q ( x ) y f 2 ( x )
y''+P(x)y'+Q(x)y=f_2(x)的特解那么 y∗1(x)y∗2(x) y 1 ∗ ( x ) y 2 ∗ ( x ) y_1^*(x)+y_2^*(x)就是原方程的特解
