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数学上#xff0c;高斯记号#xff08;Gauss mark#xff09;是指对取整符号和取小符号的统称#xff0c;用于数论等领域。
设 x∈Rx \in \textbf{R}x∈R#xff0c;用 [x][x][x] 表示不超过 xxx 的最大整数。也可记作 [x][x][x]。设 x∈Rx \in \textbf{R}x∈R高斯记号Gauss mark是指对取整符号和取小符号的统称用于数论等领域。
设 x∈Rx \in \textbf{R}x∈R用 [x][x][x] 表示不超过 xxx 的最大整数。也可记作 [x][x][x]。设 x∈Rx \in \textbf{R}x∈R用 {x}\{x\}{x} 表示 xxx 的非负纯小数即 {x}x[x]\{x\}x[x]{x}x[x]。
例如
[1]1[0]0[-1]-1[-1.2]-2{1.5}0.5{-1.5}0.5{-1.2}0.8
性质
对于任意实数 xx[x]{x}x-1[x]≤x[x]1[nx]n[x]n 为整数[x][y]≤[xy]≤[x][y]1
例题
解方程 x2{x}3[x]x2\{x\}3[x]x2{x}3[x]
思路
使用定义 x[x]{x}
解题
根据定义 x[x]{x}带入原方程变为 [x]3{x}3[x] 2[x]3{x} ∵0≤{x}1\because 0≤\{x\}1∵0≤{x}1 ∴0≤3{x}3\therefore 0≤3\{x\}3∴0≤3{x}3 ∵[x]\because [x]∵[x] 一定是一个整数。 ∴3{x}0,1,2\therefore 3\{x\}0,1,2∴3{x}0,1,2 ∵2[x]\because 2[x]∵2[x] 一定是一个偶数。 ∴3{x}0,2\therefore 3\{x\}0,2∴3{x}0,2 带入原式进行讨论。
当 3{x}03\{x\}03{x}0 的时候{x}0\{x\}0{x}0对应 [x]0[x]0[x]0即 x0x0x0。当 3{x}23\{x\}23{x}2 的时候{x}23\{x\}\frac{2}{3}{x}32对应 [x]1[x]1[x]1即 x53x\frac{5}{3}x35。
解方程 [x]{x}x2{x}10[x]\{x\}x2\{x\}10[x]{x}x2{x}10
思路
根据性质可得 0≤{x}10≤\{x\}10≤{x}1。 我们可以将方程变成 {x}...\{x\}...{x}... 形式。
解题
根据定义 x[x]{x}带入原方程变为 [x]{x}[x]{x}2{x}10 合并同类项 [x]{x}-{x}10-[x] {x}([x]-1)10-[x] {x}10−[x][x]−1\{x\} \frac{10-[x]}{[x]-1}{x}[x]−110−[x] ∵0≤{x}1\because 0≤\{x\}1∵0≤{x}1 ∴0≤10−[x][x]−11\therefore 0≤\frac{10-[x]}{[x]-1}1∴0≤[x]−110−[x]1 由于分子分母都含有 [x][x][x]因此需要对分母进行配方。 10−[x][x]−191−[x][x]−19−([x]−1)[x]−1\frac{10-[x]}{[x]-1}\frac{91-[x]}{[x]-1}\frac{9-([x]-1)}{[x]-1}[x]−110−[x][x]−191−[x][x]−19−([x]−1) 0≤9−([x]−1)[x]−110≤\frac{9-([x]-1)}{[x]-1}10≤[x]−19−([x]−1)1 0≤9[x]−1−110≤\frac{9}{[x]-1}-110≤[x]−19−11 1≤9[x]−121≤\frac{9}{[x]-1}21≤[x]−192 1≥[x]−19121\ge \frac{[x]-1}{9}\frac{1}{2}1≥9[x]−121 9≥[x]−14.59 \ge [x]-1 4.59≥[x]−14.5 10≥[x]5.510 \ge [x] 5.510≥[x]5.5 ∴[x]6,7,8,9,10\therefore [x]6,7,8,9,10∴[x]6,7,8,9,10 带入原式进行讨论。
当 [x]6[x]6[x]6 时候原方程为 x10−66−145{x}\frac{10-6}{6-1}\frac{4}{5}x6−110−654即 x6.8x6.8x6.8。当 [x]7[x]7[x]7 时候原方程为 x(10−7)/(7−1)3/6{x}(10-7)/(7-1)3/6x(10−7)/(7−1)3/6即 x7.5x7.5x7.5。当 [x]8[x]8[x]8 时候原方程为 x(10−8)/(8−1)2/7{x}(10-8)/(8-1)2/7x(10−8)/(8−1)2/7即 x82/7x82/7x82/7。当 [x]9[x]9[x]9 时候原方程为 x(10−9)/(9−1)1/8{x}(10-9)/(9-1)1/8x(10−9)/(9−1)1/8即 x9.125x9.125x9.125。当 [x]10[x]10[x]10 时候原方程为 x(10−10)/(10−1)0{x}(10-10)/(10-1)0x(10−10)/(10−1)0即 x10x10x10。
关于 x 的方程 [x2][x3]k[\frac{x}{2}][\frac{x}{3}]k[2x][3x]k 无解的自然数 k 排成一行其前 2018 个 k 值之和等于多少
思路
看到 x2\frac{x}{2}2x 和 x3\frac{x}{3}3x自然想到了周期问题。
解题
222 和 333 的最小公倍数为 2×362 \times 362×36。因此对周期 666 进行枚举。 为了让大家更容易看出周期问题的套路我们对 0∼110 \sim 110∼11 进行枚举。
x012345k[x2][x3]k[\frac{x}{2}][\frac{x}{3}]k[2x][3x]001233x67891011k[x2][x3]k[\frac{x}{2}][\frac{x}{3}]k[2x][3x]556788
如上图。
x0x0x0 与 x6x6x6 是同周期的。x1x1x1 与 x7x7x7 是同周期的。.........x5x5x5 与 x11x11x11 是同周期的。
这样我们可以轻易发现周期的规律。
k5×nr,r∈[0,1,2,3]k5\times nr,\ r \in [0,1,2,3]k5×nr, r∈[0,1,2,3] 方程有解。k5×nr,r∈[4]k5\times nr,\ r \in [4]k5×nr, r∈[4] 方程无解。
这样我们可以构造出所有解的序列为 k5×n4,n∈[0,1,2,...]k5 \times n4,\ n \in [0,1,2,...]k5×n4, n∈[0,1,2,...]。
这样前 201820182018 个 kkk 序列即为 4,9,14,...,5×2017410,0894,9,14,...,5 \times 2017410,0894,9,14,...,5×2017410,089。
本题答案即为 ∑S4914...10089\sum S4914...10089∑S4914...10089。
根据等差数列求和公式可得首项为 444公差为 d5d5d5项数为 201820182018。
∑S4×20182018×2017×5210,183,837\sum S4 \times 2018\frac{2018 \times 2017 \times 5}{2}10,183,837∑S4×201822018×2017×510,183,837
