做自媒体与做网站,网站管理和维护,百度统计api,wordpress 文章8小时一、放缩技巧
技巧1 例题 证明#xff1a;Sn#xff1c;1 解#xff1a; 变形 解#xff1a; 由于第一种情况#xff0c;我们证明了Sn#xff1c;1#xff0c;n≥1#xff0c;是从第一项就开始放缩的。 发现#xff0c;无法精确到 3 4 \frac{3}{4} 43
这时Sn1 解 变形 解 由于第一种情况我们证明了Sn1n≥1是从第一项就开始放缩的。 发现无法精确到 3 4 \frac{3}{4} 43
这时我们就从第二项开始放缩最终得解。 如果第二项不行从第三项。以此类推。最终可得解。 总结 本题我们知道前两项和是 1 4 1 9 13 36 \frac{1}{4}\frac{1}{9}\frac{13}{36} 41913613 那么我们可以将题目改成 S n 23 36 S_n\frac{23}{36} Sn3623 这个时候放缩就要从第三项开始放缩。
技巧2
在1的基础上提高放缩精确度。 利用平方差公式进行放缩。
例题 解析 这里有两个不等号所以要证明两次 对于左边的不等号我们可以采用技巧1的方式 放缩后结合二次函数的性质求出单调性发范围从而得证 而对于右边的不等号我们采用技巧1就不行了。 分析原因 技巧1中 n 2 n ∗ ( n − 1 ) n 2 − n 可以看出误差是一个 n 。 n^2n*(n-1)n^2-n可以看出误差是一个n。 n2n∗(n−1)n2−n可以看出误差是一个n。 那么我们如何放缩了 这里含有一个 n 2 n^2 n2所以我们可以想到平方差公式写成两项乘积的形式 从而可以使用裂项求和法。 可以这样放缩 4 4 n 2 4 2 n ∗ 2 n 4 4 n 2 − 1 4 ( 2 n − 1 ) ( 2 n 1 ) \frac{4}{4n^2}\frac{4}{2n*2n}\frac{4}{4n^2-1}\frac{4}{(2n-1)(2n1)} 4n242n∗2n44n2−14(2n−1)(2n1)4 或者 1 n 2 1 n 2 − 1 1 ( n − 1 ) ( n 1 ) \frac{1}{n^2}\frac{1}{n^2-1}\frac{1}{(n-1)(n1)} n21n2−11(n−1)(n1)1 这两种放缩方式都可以解决第二个不等号 放缩技巧都是利用平方差公式 放缩原则减小误差范围。单项从误差为n降到误差为常数C
左边不等号 右边不等号 换放缩方案 从第二项开始放缩 总结 上面我们试了4中放缩方式现在来说明一下他们之间的精确度 比较他们的大小关系如下 1 n 2 − n 1 n 2 − 1 4 4 n 2 − 1 1 n 2 \frac{1}{n^2-n}\frac{1}{n^2-1}\frac{4}{4n^2-1}\frac{1}{n^2} n2−n1n2−114n2−14n21 可以发现 4 4 n 2 − 1 \frac{4}{4n^2-1} 4n2−14 距离 1 n 2 \frac{1}{n^2} n21 更近所以这个放缩更精确。 以此类推
二、数列不等式放缩原则
1、提高放缩通项公式的精确度。 2、从后几项开始放缩。
