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高斯消元法
客观世界最简单的数量关系是均匀变化的关系。在均匀变化问题中#xff0c;列出的方程组是一次方程组#xff0c;我们称之为线性方程组(Linea… 文章目录 线性方程组高斯消元法初等行变换线性方程组的解向量方程齐次线性方程组的解非齐次线性方程组的解 线性方程组
高斯消元法
客观世界最简单的数量关系是均匀变化的关系。在均匀变化问题中列出的方程组是一次方程组我们称之为线性方程组(Linear system of equations)。 n n n元线性方程组的一般形式为 { a 11 x 1 a 12 x 2 ⋯ a 1 n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 ⋯ a 2 n x n b 2 ⋯ ⋯ a m 1 x 1 a m 2 x 2 ⋯ a m n x n b m \begin{cases} a_{11}x_1a_{12}x_2\cdotsa_{1n}x_nb_1 \\ a_{21}x_1a_{22}x_2\cdotsa_{2n}x_nb_2 \\ \cdots\quad\cdots \\ a_{m1}x_1a_{m2}x_2\cdotsa_{mn}x_nb_m \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a11x1a12x2⋯a1nxnb1a21x1a22x2⋯a2nxnb2⋯⋯am1x1am2x2⋯amnxnbm 如果存在 n n n个常数 x 1 s 1 , x 2 s 2 , ⋯ , x n s n x_1s_1,x_2s_2,\cdots,x_ns_n x1s1,x2s2,⋯,xnsn 满足线性方程组的所有方程则称为线性方程组的一个解(solution)。方程组的所有解组成的集合称为这个方程组的解集。
解线性方程组的一般方法是把方程组用一个更容易解的等价方程组 (即有相同解集的方程组)代替。用来化简线性方程组的三种基本变换是
(1) 互换两个方程的位置 (2) 把某一个方程的所有项乘以一个非零常数 (3) 把某一个方程加上另一个方程的常数倍
以上三种变换称为高斯消元法(Gaussian Elimination)。
例如解方程组 { 2 x 2 − x 3 7 x 1 x 2 2 x 3 0 x 1 x 2 − x 3 − 6 x 1 3 x 2 − 2 x 3 1 \begin{cases} \begin{alignedat}{4} \quad 2x_2-\ \ x_3 7 \\ x_1\ x_22x_3 0 \\ x_1\ x_2-\ \ x_3 -6 \\ x_13x_2-2x_31 \end{alignedat} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1x1x12x2 x2 x23x2− x32x3− x3−2x370−61 经过基本变换把线性方程组化成阶梯形方程组 { x 1 x 2 − x 3 − 6 2 x 2 − x 3 7 3 x 3 6 0 0 \begin{cases} \begin{alignedat}{4} x_1x_2-x_3 -6 \\ \quad 2x_2-x_3 7 \\ \quad \quad 3x_3 6 \\ \quad \quad 0 0 \end{alignedat} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1x22x2−x3−x33x30−6760 还可以进一步变换为简化阶梯形方程组 { x 1 − 9 x 2 5 x 3 2 0 0 \begin{cases} x_1 -9 \\ x_2 5 \\ x_3 2 \\ 0 0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1x2x30−9520 上面的简单例子代表了用消元法解线性方程组的一般方法和计算格式。
初等行变换
根据矩阵与向量的乘法定义线性方程组可写为矩阵形式 A x b A\mathbf x\mathbf b Axb 其中 A [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] , x [ x 1 x 2 ⋮ x n ] , b [ b 1 b 2 ⋮ b n ] A\begin{bmatrix} a_{11}a_{12}\cdotsa_{1n} \\ a_{21}a_{22}\cdotsa_{2n} \\ \vdots\vdots\ddots\vdots \\ a_{m1}a_{m2}\cdotsa_{mn} \\ \end{bmatrix},\quad \mathbf x\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{bmatrix},\quad \mathbf b\begin{bmatrix} b_1\\b_2\\\vdots\\b_n \end{bmatrix} A a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn ,x x1x2⋮xn ,b b1b2⋮bn 矩阵 A A A 称为系数矩阵 x \mathbf x x 为未知数向量 b \mathbf b b 为常数向量。
从上节求解线性方程组的过程中不难发现只是对线性方程组的系数和常数项进行了运算。因此线性方程组可以用它的系数和常数项来求解。
为求解方便把常数向量添加到系数矩阵最后一列构成的矩阵 A ˉ [ A ∣ b ] [ a 11 ⋯ a 1 n b 1 a 21 ⋯ a 2 n b 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 ⋯ a m n b m ] \bar A[A\mid b]\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc:c} a_{11}\cdotsa_{1n}b_1 \\ a_{21}\cdotsa_{2n}b_2 \\ \vdots\vdots\ddots\vdots \\ a_{m1}\cdotsa_{mn}b_m \\ \end{array}\end{bmatrix} Aˉ[A∣b] a11a21⋮am1⋯⋯⋮⋯a1na2n⋱amnb1b2⋮bm 称为方程组的增广矩阵(augmented matrix)。
初等行变换上节所讲的三种基本变换对应于矩阵的下列变换
(1) 行互换变换对调矩阵的第 i i i行和第 j j j行 记为 r i ↔ r j r_i\lrarr r_j ri↔rj (2) 行倍乘变换矩阵的第 i i i行乘以非零常数 k k k记为 k r i kr_i kri (3) 行倍加变换将第 j j j行的元素倍加到第 i i i行记作 r i k r j r_ikr_j rikrj
称为矩阵的初等行变换(elementary row transformation)。
矩阵消元法在解线性方程组时把它的增广矩阵经过初等行变换化成行阶梯形矩阵写出相应的阶梯形方程组 进行求解或者一直化成简化行阶梯形矩阵写出它表示的简化阶梯形方程组从而立即得出解。
上节例子中增广矩阵经过初等行变换可简化为 A ˉ [ 0 2 − 1 7 1 1 2 0 1 1 − 1 − 6 1 3 − 2 1 ] → [ 1 1 − 1 − 6 0 2 − 1 7 0 0 3 6 0 0 0 0 ] B 1 \bar A\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc:c} 0 2 -1 7 \\ 1 1 2 0\\ 1 1 -1 -6 \\ 1 3 -2 1 \end{array}\end{bmatrix}\to \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc:c} 1 1 -1 -6 \\ 0 2 -1 7\\ 0 0 3 6 \\ 0 0 0 0 \end{array}\end{bmatrix}B_1 Aˉ 01112113−12−1−270−61 → 10001200−1−130−6760 B1 称形如 B 1 B_1 B1 的矩阵为行阶梯形矩阵(Row Echelon FormREF)。其特点是
(1) 若有零行(元素全为零的行)零行均在非零行的下方 (2) 非零行第一个非零元素(称为主元pivot)以下的元素全为零。
使用初等行变换对行阶梯形矩阵进一步化简 B 1 [ 1 1 − 1 − 6 0 2 − 1 7 0 0 3 6 0 0 0 0 ] → [ 1 0 0 − 9 0 1 0 5 0 0 1 2 0 0 0 0 ] B 2 B_1\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc:c} 1 1 -1 -6 \\ 0 2 -1 7\\ 0 0 3 6 \\ 0 0 0 0 \end{array}\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc:c} 1 0 0 -9 \\ 0 1 0 5\\ 0 0 1 2 \\ 0 0 0 0 \end{array}\end{bmatrix}B_2 B1 10001200−1−130−6760 → 100001000010−9520 B2 称形如 B 2 B_2 B2 的矩阵为简化行阶梯形矩阵(Reduced Row Echelon FormRREF)。其特点是
(1) 每个非零行主元都是1 (2) 主元所在列的其他元素都是零。
通过简化行阶梯形矩阵我们可以直接写出解 x 1 − 9 , x 2 5 , x 3 2 x_1-9,x_25,x_32 x1−9,x25,x32。
使用矩阵消元法我们可以知道任何矩阵都可以经过有限次初等行变换化成行阶梯形矩阵任何矩阵也可进一步化成简化行阶梯形矩阵。
从最后的简化行阶梯形矩阵可以直接写出一般解但注意把自由变量的系数变号移到等式右边。
线性方程组的解
假设某方程组的增广矩阵行已变换为阶梯形矩阵 [ 1 0 − 5 1 0 1 1 4 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc:c} 1 0 -5 1 \\ 0 1 1 4\\ 0 0 0 0 \end{array}\end{bmatrix} 100010−510140 对应的线性方程组是 { x 1 − 5 x 3 1 x 2 x 3 4 0 0 \begin{cases} \begin{alignedat}{4} x_1-5x_3 1 \\ \quad\ x_2x_3 4 \\ \quad \quad 0 0 \end{alignedat} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1 x2−5x3x30140 方程组的解可显示表示为 x 1 1 5 x 3 , x 2 4 − x 3 x_115x_3,\ x_24-x_3 x115x3, x24−x3 显然有无穷多组解。
把 n n n 元线性方程组的增广矩阵化成行阶梯形矩阵后若有 r r r 个非零行则行阶梯形矩阵有 r r r 个主元。以主元为系数的末知量称为主变量剩下的 n − r n-r n−r 个未知量称为自由变量其值可任取。
假设某方程组的增广矩阵行已变换为阶梯形矩阵 [ 2 − 3 2 1 0 1 − 4 8 0 0 0 15 ] \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc:c} 2 -3 2 1 \\ 0 1 -4 8\\ 0 0 0 15 \end{array}\end{bmatrix} 200−3102−401815 对应的线性方程组是 { 2 x 1 − 3 x 2 2 x 3 1 x 2 − 4 x 3 8 0 15 \begin{cases} \begin{alignedat}{4} 2x_1-3x_22x_3 1 \\ \quad\ x_2-4x_3 8 \\ \quad \quad 0 15 \end{alignedat} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧2x1−3x2 x22x3−4x301815 这个阶梯形方程组显然是矛盾的故原方程组无解。
解的情况线性方程组有解的充要条件是增广矩阵的增广列不是主元列即行阶梯形方程组不包含矛盾方程。若线性方程组有解则解有两种情况(1) 当没有自由变量时有唯 一解(2) 当有自由变量是有无穷多解。
向量方程
应用向量加法和数乘运算线性方程组 A x b A\mathbf x\mathbf b Axb 可以写成向量方程 x 1 a 1 x 2 a 2 ⋯ x n a n b x_1\mathbf a_1x_2\mathbf a_2\cdotsx_n\mathbf a_n\mathbf b x1a1x2a2⋯xnanb 其中 a 1 , a 2 , ⋯ , a n \mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_n a1,a2,⋯,an 为系数矩阵 A A A 的列向量组 b \mathbf b b 为常数向量。它的一组解 s ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) T s(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T s(x1,x2,⋯,xn)T 称为方程组的解向量。
例如方程组 { 2 x 1 − x 2 x 3 4 4 x 1 2 x 2 − x 3 − 1 \begin{cases} \begin{alignedat}{4} 2x_1-x_2x_3 4 \\ 4x_12x_2-x_3 -1 \end{alignedat} \end{cases} {2x14x1−x22x2x3−x34−1 可以表述为 [ 2 4 ] x 1 [ − 1 2 ] x 2 [ 1 − 1 ] x 3 [ 4 − 1 ] \begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}x_1 \begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}x_2 \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}x_3 \begin{bmatrix}4\\-1\end{bmatrix} [24]x1[−12]x2[1−1]x3[4−1] 既然可表示为向量的形式那么就可以从向量的角度分析。向量方程是否有解的问题等价于判断常数向量 b \mathbf b b 能否由系数矩阵列向量组线性表示即向量 b \mathbf b b 是否属于系数矩阵的列空间 col A span { a 1 , a 2 , ⋯ , a n } \text{col }A\text{span}\{\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_n\} col Aspan{a1,a2,⋯,an}。
结论方程 A x b A\mathbf x\mathbf b Axb有解的充要条件是 b \mathbf b b 是 A A A 的各列的线性组合。
以线性变换的角度理解希望找出未知向量 x \mathbf x x 使得该向量在线性变换 A A A 的作用下变成已知向量 b \mathbf b b。因此我们可以从逆变换的角度获得未知向量。显然如果变换后维度压缩方程不一定有解。即列空间的维度低于未知向量维度。
齐次线性方程组的解
常数项都为零的线性方程组 A x 0 A\mathbf{x}0 Ax0 称为齐次线性方程组。向量方程为 x 1 a 1 x 2 a 2 ⋯ x n a n 0 x_1\mathbf a_1x_2\mathbf a_2\cdotsx_n\mathbf a_n0 x1a1x2a2⋯xnan0
齐次线性方程组显然有一组解 x 1 x 2 ⋯ x n 0 x_1x_2\cdotsx_n0 x1x2⋯xn0 这组解称为零解或平凡解。除此之外的其他解称为非零解或非平凡解。
方程 A m × n x 0 A_{m\times n}\mathbf{x}0 Am×nx0 有非零解等价于 A A A 的列向量组线性相关即 rank ( A ) n \text{rank}(A)n rank(A)n
齐次线性方程组的解有如下性质
如果 s 1 , s 2 s_1,s_2 s1,s2 是齐次线性方程组的两个解向量则 s 1 s 2 s_1s_2 s1s2 也是方程组的解向量。如果 s s s 是齐次线性方程组的解向量则对任意常数 k k k k s ks ks 也是方程组的解向量。 这两条性质只要直接代入向量方程进行验证就可以。 显然系数矩阵为 A A A 的齐次线性方程组的解集 ker A { x ∣ A x 0 } \ker A\{\mathbf x|A\mathbf{x}0\} kerA{x∣Ax0} 满足向量空间的条件 称为零空间(nullspace)或核(kernel)。解空间的一组基 s 1 , s 2 , ⋯ , s n − r s_1,s_2,\cdots,s_{n-r} s1,s2,⋯,sn−r 称为该方程组的基础解系。零空间的维数即为自由变量的个数。
如果能找到基础解系就能描述整个解空间。
定理
方程 A m × n x 0 A_{m\times n}\mathbf{x}0 Am×nx0 有非零解的充要条件是 rank ( A ) n \text{rank}(A)n rank(A)n。方程 A m × n x 0 A_{m\times n}\mathbf{x}0 Am×nx0 基础解系中自由变量的个数等于 n − rank ( A ) n-\text{rank}(A) n−rank(A)。设 A A A 是向量空间 V V V 内的线性变换 dim V dim ( range A ) dim ( ker A ) \dim V\dim(\text{range }A)\dim(\ker A) dimVdim(range A)dim(kerA)
可以用系数矩阵的初等行变换来求基础解系。
示例求下列齐次线性方程组的解集。 { x 2 − x 3 x 4 − x 5 0 x 1 x 3 2 x 4 − x 5 0 x 1 x 2 3 x 4 − 2 x 5 0 2 x 1 2 x 2 6 x 4 − 3 x 5 0 \begin{cases} x_2-x_3x_4-x_50 \\ x_1x_32x_4-x_50 \\ x_1x_23x_4-2x_50 \\ 2x_12x_26x_4-3x_50 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x2−x3x4−x50x1x32x4−x50x1x23x4−2x502x12x26x4−3x50 解先做矩阵消元法获得阶梯形矩阵和简化阶梯形矩阵 A [ 0 1 − 1 1 − 1 1 0 1 2 − 1 1 1 0 3 − 2 2 2 0 6 − 3 ] → [ 1 0 1 2 − 1 0 1 − 1 1 − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ] → [ 1 0 1 2 0 0 1 − 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ] A\begin{bmatrix} 01-11-1 \\ 1012-1 \\ 1103-2 \\ 2206-3 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1012-1 \\ 01-11-1 \\ 00001 \\ 00000 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 10120 \\ 01-110 \\ 00001 \\ 00000 \end{bmatrix} A 01121012−11001236−1−1−2−3 → 100001001−1002100−1−110 → 100001001−10021000010 因此 { x 1 − x 3 − 2 x 4 x 2 x 3 − x 4 x 5 0 \begin{cases} x_1-x_3-2x_4 \\ x_2x_3-x_4 \\ x_50 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1−x3−2x4x2x3−x4x50 可写为解向量的形式 [ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ] x 3 [ − 1 1 1 0 0 ] x 4 [ − 2 − 1 0 1 0 ] \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5\end{bmatrix} x_3\begin{bmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} x_4\begin{bmatrix}-2\\-1\\0\\1\\0\end{bmatrix} x1x2x3x4x5 x3 −11100 x4 −2−1010
非齐次线性方程组的解
对于非齐次线性方程组 A x 0 A\mathbf{x}0 Ax0 。判断向量方程 x 1 a 1 x 2 a 2 ⋯ x n a n b x_1\mathbf a_1x_2\mathbf a_2\cdotsx_n\mathbf a_n\mathbf b x1a1x2a2⋯xnanb 是否有解等价于判断常数向量 b \mathbf b b 是否属于 span { a 1 , a 2 , ⋯ , a n } \text{span}\{\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_n\} span{a1,a2,⋯,an}。
判别定理线性方程组有解的充要条件是其系数矩阵 A A A与增广矩阵 A ˉ \bar A Aˉ的秩相等 rank ( A ) rank ( A ˉ ) \text{rank}(A)\text{rank}(\bar A) rank(A)rank(Aˉ)。 通俗理解就是变换后的阶梯形方程组不存在 0 b 0b 0b 的矛盾方程。 解的结构设 n n n 元非齐次线性方程组 rank ( A ) rank ( A ˉ ) \text{rank}(A)\text{rank}(\bar A) rank(A)rank(Aˉ)
(1) 若 rank ( A ) n \text{rank}(A)n rank(A)n方程组有唯一解 (2) 若 rank ( A ) n \text{rank}(A)n rank(A)n方程组有无穷多解。
非齐次线性方程组 A x b A\mathbf x\mathbf b Axb 对应的齐次线性方程组 A x 0 A\mathbf x0 Ax0 称为导出方程组。解的关系 A x b A\mathbf x\mathbf b Axb 的任意两个解向量之差是 A x 0 A\mathbf x0 Ax0 的一个解向量 A x b A\mathbf x\mathbf b Axb 的通解是其任一解向量与 A x b A\mathbf x\mathbf b Axb 通解之和。
如下图 示例求下列线性方程组的全部解 { x 1 4 x 2 − 5 x 3 0 2 x 1 − x 2 8 x 3 9 \begin{cases} \begin{alignedat}{4} x_14x_2-5x_3 0 \\ 2x_1-x_28x_3 9 \end{alignedat} \end{cases} {x12x14x2−x2−5x38x309 解对方程组的增广矩阵做初等行变换获得阶梯形矩阵和简化阶梯形矩阵 A ˉ [ 1 4 − 5 0 2 − 1 8 9 ] → [ 1 4 − 5 0 0 − 9 18 9 ] → [ 1 0 3 4 0 1 − 2 1 ] \bar A\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc:c} 14-50 \\ 2-189 \end{array}\end{bmatrix}\to \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc:c} 14-50 \\ 0-9189 \end{array}\end{bmatrix}\to \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc:c} 1034 \\ 01-21 \end{array}\end{bmatrix} Aˉ[124−1−5809]→[104−9−51809]→[10013−241] 因此 { x 1 4 − 3 x 3 x 2 1 2 x 3 \begin{cases} x_14-3x_3 \\ x_212x_3 \end{cases} {x14−3x3x212x3 解向量的形式为 [ x 1 x 2 x 3 ] [ 4 1 0 ] x 3 [ − 3 2 1 ] \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}4\\1\\0\end{bmatrix} x_3\begin{bmatrix}-3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} x1x2x3 410 x3 −321
