湖北网站开发培训,wordpress挂钩,2023一般纳税人企业所得税怎么算,汉中建设工程招标信息网文章目录 点估计和估计量的求法点估计概念矩估计法极大似然估计法 参考文献 参数估计是数理统计中重要的基本问题之一。通常#xff0c;称参数的可容许值的全体为参数空间#xff0c;并记为 Θ \Theta Θ。所谓参数估计就是由样本对总体分布所含的未知参数做出估计。另外称参数的可容许值的全体为参数空间并记为 Θ \Theta Θ。所谓参数估计就是由样本对总体分布所含的未知参数做出估计。另外在有些实际问题中由于事先并不知道总体 X X X 的分布类型而要对其某些数字特征如均值、方差等做出估计习惯上也把这些数字特征称为参数对它们进行估计也属于参数估计范畴。 点估计和估计量的求法
点估计概念
设总体 X X X 的分布函数是 F ( x ; θ 1 , . . . , θ l ) F(x;\theta_1,...,\theta_l) F(x;θ1,...,θl)其中 θ 1 , . . . , θ l \theta_1,...,\theta_l θ1,...,θl 是未知参数 X 1 , . . . , X n X_1,...,X_n X1,...,Xn 是来自总体 X X X 的样本 x 1 , . . . , x n x_1,...,x_n x1,...,xn 是相应的样本值参数点估计就是研究如何构造适当的统计量 θ ^ i ( X 1 , . . . , X n ) \hat{\theta}_i(X_1,...,X_n) θ^i(X1,...,Xn)并分别用观察值 θ ^ i ( x 1 , . . . , x n ) \hat{\theta}_i(x_1,...,x_n) θ^i(x1,...,xn) 作为未知参数 θ i \theta_i θi 的估计。
通常称用作估计的统计量 θ ^ i ( X 1 , . . . , X n ) \hat{\theta}_i(X_1,...,X_n) θ^i(X1,...,Xn) 为估计量称其观察值 θ ^ i ( x 1 , . . . , x n ) \hat{\theta}_i(x_1,...,x_n) θ^i(x1,...,xn) 为估计值。
由于对不同的样本值得到的参数估计值往往不同因此点估计问题的关键在于构造估计量的方法。下面介绍求估计量的一些常用方法。
矩估计法
设总体 X X X 的分布中含有 l l l 个未知参数 θ 1 , . . . , θ l \theta_1,...,\theta_l θ1,...,θl又设总体 X X X 的前 l l l 阶原点矩 α k E ( X k ) ( k 1 , . . . , l ) \alpha_kE(X^k)(k1,...,l) αkE(Xk)(k1,...,l) 存在且是 θ 1 , . . . , θ l \theta_1,...,\theta_l θ1,...,θl 的函数即 α k α k ( θ 1 , . . . , θ l ) \alpha_k\alpha_k(\theta_1,...,\theta_l) αkαk(θ1,...,θl)令 α k ( θ ^ 1 , . . . , θ ^ l ) A k , k 1 , . . . , l \alpha_k(\hat{\theta}_1,...,\hat{\theta}_l)A_k,\quad k1,...,l αk(θ^1,...,θ^l)Ak,k1,...,l 解此方程组可得 θ ^ 1 , . . . , θ ^ l \hat{\theta}_1,...,\hat{\theta}_l θ^1,...,θ^l并将它们分别作为 θ 1 , . . . , θ l \theta_1,...,\theta_l θ1,...,θl 的估计量。这种求估计量的方法称为矩估计法用矩估计法求得的估计量称为矩估计量。
例设总体 X X X 的二阶矩存在 X 1 , . . . , X n X_1,...,X_n X1,...,Xn 为总体 X X X 的样本求总体均值 μ \mu μ 与总体方差 σ 2 \sigma^2 σ2 的矩估计。
解因 α 1 μ , α 2 σ 2 μ 2 \alpha_1\mu, \alpha_2\sigma^2\mu^2 α1μ,α2σ2μ2令 { μ ^ A 1 X ˉ σ ^ 2 μ ^ 2 A 2 1 n ∑ i 1 n X i 2 \begin{cases} \hat{\mu}A_1\bar{X} \\ \hat{\sigma}^2\hat{\mu}^2A_2\frac{1}{n}\sum_{i1}^n X_i^2 \end{cases} {μ^A1Xˉσ^2μ^2A2n1∑i1nXi2 解得 μ \mu μ 与 σ 2 \sigma^2 σ2 的矩估计分别为 μ ^ X ˉ \hat{\mu}\bar{X} μ^Xˉ σ ^ 2 A 2 − X ˉ 2 S 2 \hat{\sigma}^2A_2-\bar{X}^2S^2 σ^2A2−Xˉ2S2
极大似然估计法
以下用 X ( X 1 , . . . , X n ) T \boldsymbol{X}(X_1,...,X_n)^T X(X1,...,Xn)T 表示样本 x ( x 1 , . . . , x n ) T \boldsymbol{x}(x_1,...,x_n)^T x(x1,...,xn)T 表示样本点 f ( x ; θ ) f(\boldsymbol{x};\theta) f(x;θ) 表示样本分布。
极大似然法的提出是基于如下的想法
当给定 θ \theta θ 时 f ( x ; θ ) f(\boldsymbol{x};\theta) f(x;θ) 度量样本 X \boldsymbol{X} X 在 x \boldsymbol{x} x 点发生的可能性。对于样本空间中的两个不同样本点 x 1 , x 2 ∈ X \boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2 \in \mathcal{X} x1,x2∈X如果有 f ( x 1 ; θ ) f ( x 2 ; θ ) f(\boldsymbol{x}_1;\theta) f(\boldsymbol{x}_2;\theta) f(x1;θ)f(x2;θ)自然会认为样本 X \boldsymbol{X} X 更可能在 x 1 \boldsymbol{x}_1 x1 点发生。
现在换个角度来看待 f ( x ; θ ) f(\boldsymbol{x};\theta) f(x;θ)。当给定样本点 x \boldsymbol{x} x 时对参数空间中的两个不同参数 θ 1 , θ 2 ∈ Θ \theta_1,\theta_2 \in \Theta θ1,θ2∈Θ如果有 f ( x ; θ 1 ) f ( x ; θ 2 ) f(\boldsymbol{x};\theta_1) f(\boldsymbol{x};\theta_2) f(x;θ1)f(x;θ2)那么会认为样本点 x \boldsymbol{x} x 更像是来自总体 f ( X ; θ 1 ) f(\boldsymbol{X};\theta_1) f(X;θ1)所以数 f ( x ; θ ) f(\boldsymbol{x};\theta) f(x;θ) 的大小可作为参数 θ \theta θ 对产生样本观察值 x \boldsymbol{x} x 有多大似然性的一种度量。
当给定样本点 x \boldsymbol{x} x 时称 f ( x ; θ ) f(\boldsymbol{x};\theta) f(x;θ) 为 θ \theta θ 的似然函数记为 L ( θ ; x ) L(\theta;\boldsymbol{x}) L(θ;x)即 L ( θ ; x ) f ( x ; θ ) { ∏ i 1 n p ( x i ; θ ) , 总体 X 为离散型随机变量 ∏ i 1 n f ( x i ; θ ) , 总体 X 为连续型随机变量 L(\theta;\boldsymbol{x})f(\boldsymbol{x};\theta)\begin{cases} \prod_{i1}^np(x_i;\theta), 总体 X 为离散型随机变量 \\ \prod_{i1}^nf(x_i;\theta), 总体 X 为连续型随机变量 \end{cases} L(θ;x)f(x;θ){∏i1np(xi;θ),∏i1nf(xi;θ),总体X为离散型随机变量总体X为连续型随机变量 而称 ln f ( x ; θ ) \ln f(\boldsymbol{x};\theta) lnf(x;θ) 为对数似然函数记为 ln L ( θ ; x ) \ln L(\theta;\boldsymbol{x}) lnL(θ;x)。
若有统计量 θ ^ ≏ θ ^ ( X ) \hat{\theta}\bumpeq \hat{\theta}(\boldsymbol{X}) θ^≏θ^(X)使得 L ( θ ^ ( x ) ; x ) sup θ ∈ Θ { L ( θ ; x ) } L(\hat{\theta}(\boldsymbol{x});\boldsymbol{x})\sup_{\theta \in \Theta}\{L(\theta;\boldsymbol{x})\} L(θ^(x);x)θ∈Θsup{L(θ;x)} 或等价的使得 ln L ( θ ^ ( x ) ; x ) sup θ ∈ Θ { ln L ( θ ; x ) } \ln L(\hat{\theta}(\boldsymbol{x});\boldsymbol{x})\sup_{\theta \in \Theta}\{\ln L(\theta;\boldsymbol{x})\} lnL(θ^(x);x)θ∈Θsup{lnL(θ;x)} 则称 θ ^ ( X ) \hat{\theta}(\boldsymbol{X}) θ^(X) 为参数 θ \theta θ 的极大似然估计量Maximum Likelihood Estimators, MLE。
例设总体 X ∼ P ( λ ) , λ 0 X \sim P(\lambda),\lambda0 X∼P(λ),λ0试求参数 λ \lambda λ 的极大似然估计量。
解 X X X 的概率函数为 P { X x } λ x x ! e − λ , x 0 , 1 , 2 , . . . P\{Xx\}\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda},\quad x0,1,2,... P{Xx}x!λxe−λ,x0,1,2,... 故 λ \lambda λ 的似然函数为 L ( λ ) ∏ i 1 n ( λ x i x i ! e − λ ) e − n λ λ ∑ i 1 n x i ∏ i 1 n ( x i ! ) L(\lambda)\prod_{i1}^n (\frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}e^{-\lambda})e^{-n\lambda}\frac{\lambda^{\sum_{i1}^nx_i}}{\prod_{i1}^n(x_i!)} L(λ)i1∏n(xi!λxie−λ)e−nλ∏i1n(xi!)λ∑i1nxi 对数似然函数为 ln L ( λ ) − n λ ln λ ∑ i 1 n x i − ∑ i 1 n ln ( x i ! ) \ln L(\lambda)-n\lambda\ln \lambda \sum_{i1}^nx_i-\sum_{i1}^n \ln(x_i!) lnL(λ)−nλlnλi1∑nxi−i1∑nln(xi!) 令 ∂ ln L ( λ ) ∂ λ − n 1 λ ∑ i 1 n x i 0 \frac{\partial \ln L(\lambda)}{\partial \lambda}-n\frac{1}{\lambda}\sum_{i1}^nx_i0 ∂λ∂lnL(λ)−nλ1i1∑nxi0 该似然方程有唯一解 λ ^ 1 n ∑ i 1 n x i x ˉ \hat{\lambda}\frac{1}{n}\sum_{i1}^nx_i\bar{x} λ^n1∑i1nxixˉ又因 ∂ 2 ln L ( λ ) ∂ λ 2 ∣ λ x ˉ 0 \frac{\partial^2 \ln L(\lambda)}{\partial \lambda^2}|_{\lambda\bar{x}}0 ∂λ2∂2lnL(λ)∣λxˉ0 故 λ \lambda λ 的极大似然估计量为 λ ^ X ˉ \hat{\lambda}\bar{X} λ^Xˉ。
参考文献
[1] 《应用数理统计》施雨西安交通大学出版社。
