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本文是我学习高等数学几何、物理应用的一些笔记和心得#xff0c;希望可以与考研路上的小伙伴一起努力上岸~~#x1f95d;#x1f95d;
第1版#xff1a;查资料、画导图~#x1f9e9;#x1f9e9;
参考资料#xff1a;《高等数学 基础篇》武… 图源文心一言
本文是我学习高等数学几何、物理应用的一些笔记和心得希望可以与考研路上的小伙伴一起努力上岸~~
第1版查资料、画导图~
参考资料《高等数学 基础篇》武忠祥 目录
目录
思维导图
向量代数
数量积【数字】
向量积【向量】
混合积【数字】
空间解析几何
平面空间与直线
曲面与空间曲线
积分学的几何应用
单积分、二重积分
三重积分
曲线积分
曲面积分
多元积分应用
场论初步
结语 思维导图 思维导图为整理武老师基础教材所列内容时间关系有些仓促请多包涵~博文后面会以大纲的形式复述一遍面向复习不会写得很详细且可能有误较为重要的内容有从网络找相关配图并给出大佬博文链接~ 向量代数 数量积【数字】 几何表示代数表示几何应用 求夹角判定垂直 图源线性代数~数量积 - 知乎 向量积【向量】 几何表示 模方向右手法则代数表示矩阵【首行基坐标次行向量a的分量尾行向量b的分量】 图源向量外积的坐标形式_向量外积的坐标表示-CSDN博客 运算规律【模不变方向相反】几何应用 求同时垂直于 a 和 b 的向量判定平行求以a和b为邻边的平行四边形的面积 图源向量的数量积与向量积 - 童趣PBL 混合积【数字】 几何表示代数表示矩阵【首行向量a的分量次行向量b的分量尾行向量c的分量】 图源1272. 如何计算混合积?-高等数学-专业词典 运算规律 轮换对称性交换变号原理矩阵交换1次行列变正负号几何应用 求以a、b、c为邻边的平行六边体的面积求向量共面(abc)0【等式中任意两个向量平行则3个向量必共面】 图源混合积的几何意义 空间解析几何 平面空间与直线 概要 平面方程 一般式 点法式平面上1点(x0,y0,z0)和法线向量(A,B,C)表示直线 截距式经过坐标轴的3个交点表示平面 图源平面方程_百度百科 (baidu.com) 直线方程 一般式2个平面的交线表示直线 对称式直线上1点(x0,y0,z0)和方向向量(l,m,n)表示直线 参数式直线上1点(x0,y0,z0)和方向向量(l,m,n)表示直线 图源不可不知的——直线的参数方程 (qq.com) 点到平面的距离 距离为M1M0在平面法向量的投影长度 代入点M1与MO点乘为分子M0满足平面方程化简平面法向量的模为分母 图源点到平面距离_百度百科 (baidu.com) 点到直线的距离 平行四边形满足等式 代入方向向量Sl,m,nBx1,x2,x3,Ax0,y0,z0得 题型 求法向量、切线向量建立平面与直线的方程求点到直线的距离 曲面与空间曲线 概要 曲面方程 空间曲线 参数式【螺线】 图源确实没找到... 一般式2个曲面的交线表示空间曲线 常见曲面 旋转面平面曲线绕平面直线旋转 柱面平行与定直线并沿定曲线移动的直线形成的轨迹 图源抛物柱面函数 - 快懂百科 二次曲面 圆柱面 圆锥面 旋转抛物面 椭球面 图源【高等数学】九种标准二次曲面 - 知乎 (zhihu.com) 空间曲线投影 投影柱面曲线一般式联立消去z得到的二元方程即为母线为z轴的投影柱面 投影平面在投影柱面方程的基础上增加限制条件 z 0检查其它变量的取值范围即为曲线在xoy面的投影 图源柱面坐标 - 搜狗百科 (sogou.com) 题型 曲面方程 求柱面方程求旋转面方程求投影曲线方程 解析几何 曲面的切平面与法线核心求法向量曲线的切线与法平面核心求切向量 积分学的几何应用 单积分、二重积分 概念 平面图形的面积 直角坐标 极坐标 旋转体体积 绕x轴旋转 其中体积微元 底面积 x 高 图源单变量微积分-第十六讲-积分的应用一 - 知乎 绕y轴旋转 其中体积微元 环状窄带周长 x 截面积 图源定积分的应用之 柱壳法求旋转体体积_-CSDN博客 绕直线旋转 其中体积微元 环状窄带周长 x 截面积表示点到直线距离 图源高等数学解题常用公式笔记总结 曲线弧长同对弧长的线积分旋转体侧面积 绕x轴旋转 其中面积微元 环状窄带周长 x 高度 图源求曲线绕x轴旋转一周的旋转体的侧面积_360问答 题型 几何应用 定积分求面积绕轴旋转体积 物理应用 容积 底面积 x 高 球1底面积高度微元球1体积微元积分域-1到1/2球1体积代入圆的公式得球2与球1体积相等球1体积×2即为所求 做功 力 x 距离 球1受力微元距离球1做功微元以上球1区域做功同理球2区域做功 压强 压力 x 面积 区域1压力区域1面积区域1压强微元区域1压强区域2压力区域2面积区域2压强微元区域2压强 三重积分 简述区域点的函数值 x 体积微元累加求和性质 奇偶性、轮换对称性不等式性质积分中值定理 计算 先一后二 计算 作垂直于z轴的直线穿过封闭底面z1(x,y)与顶面z2(x,y)即z的积分上下限是xy的函数先计算有关z的积分再转化为求xy的二重积分适合坐标 印象中比较万能... 先二后一 计算 作平行于z轴的截面得到封闭曲线即z的积分上下限是常数先计算有关x,y的二重积分再转化为求z的单积分适合坐标 被积函数这一步可能需要借助奇偶性、对称性转换得到积分域面积较为规则方便计算 柱坐标 与直角坐标的关系 坐标 体积微元 适合坐标 被积函数积分域柱面、锥面 球坐标 与直角坐标的关系 坐标 体积微元 适合坐标 被积函数积分域球面、球壳、锥面 曲线积分 对弧长的线积分 简述函数值 x 弧长微元累加求和计算方法 直接法 体积微元 参数方程直角坐标极坐标积分域从小到大【与方向无关要求结果是正数】奇偶性【x轴、y轴】对称性【直线yx】 图源【高等数学】定积分元素法及应用待续 - 知乎 对坐标的线积分 简述函数值 x 有向线段的投影累加求和计算方法 直接法 被积函数代入直角坐标或极坐标、参数方程积分域从起点到终点【与方向有关逆时针为正向】格林公式 要求 闭区域由分段光滑曲线围成被积函数在积分域上有一节连续偏导数作用平面坐标的线积分转化为二重积分 图源格林公式 - 搜狗百科 斯托克斯公式 要求 闭区域由空间分段光滑曲线围成方向符合右手法则被积函数在积分域上有一节连续偏导数作用空间坐标的线积分转化为二重积分 图源斯托克斯公式的意义? - 知乎 图源怎么记住斯托克斯公式Stokes theorem - 知乎 方法选择 曲线L是否封闭 是格林【平面】/ 斯托克斯【空间】否是否与路径无关 是 改换路径【一般选择平行坐标轴】寻找原函数【偏积分、凑微分】否 直接法【注意方向】补线使用公式 两类线积分的关系 对弧长的线积分 x 曲线在切线方向的余弦 对坐标的线积分 图源多元微积分—— 知乎 曲面积分 对面积的面积分 简述函数值 x 面积微元累加求和计算方法 直接法 体积微元积分域从小到大【与方向无关要求结果是正数】奇偶性【x轴、y轴】轮换对称性 对坐标的面积分 简述函数值 x 有向投影域面积累加求和计算方法 直接法 被积函数代入直角坐标或极坐标、参数方程积分域从起点到终点【与方向有关上、前、右侧为正向】高斯公式 要求 闭区域由分段光滑曲线围成被积函数在积分域上有一节连续偏导数作用空间坐标的面积分转化为三重积分 图源高斯公式 - Bing 方法选择 曲面是否封闭且不存在奇点 是高斯公式否 直接法【注意方向】补面【不封闭】或作辅助面【存在奇点】使用公式 两类面积分的关系 对面积的面积分 x 曲面在切线方向的余弦 对坐标的面积分 多元积分应用 概要 平板面【二重积分】 面积 被积函数1质量 被积函数质心 被积函数转动惯量 被积函数【对y轴】 推广 空间体【三重积分】曲线【一型线积分】曲面【一型面积分】 变力做功【二型线积分】通量【二型面积分】题型 形心质心变力做功 场论初步 方向导数函数在某点对指定方向求导的结果梯度函数在这点方向导数最大的方向散度向量场在某点吸收或散发通量的大小旋度向量场对某点微元造成的旋转程度 详见大佬博文【我实在是打不动公式了...】微积分-13.场论初步 - 知乎 (zhihu.com) 结语
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