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1. 标准几何表示法
标准几何表示法是通过椭圆的几何定义来表示的#xff1a; x 2 a 2 y 2 b 2 1 \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} 1 a2x2b2y21其中#xff0c; a a a 是椭圆的长半轴长度#xff0c; b b b 是椭圆的短半轴长度。
2.…椭圆的矩阵表示法
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1. 标准几何表示法
标准几何表示法是通过椭圆的几何定义来表示的 x 2 a 2 y 2 b 2 1 \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} 1 a2x2b2y21其中 a a a 是椭圆的长半轴长度 b b b 是椭圆的短半轴长度。
2. 线性代数表示法
线性代数表示法是通过椭圆的二次型表示的 x T Σ − 1 x c \mathbf{x}^T \Sigma^{-1} \mathbf{x} c xTΣ−1xc其中 x \mathbf{x} x 是点的向量表示 ( x y ) \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} (xy) Σ \Sigma Σ 是一个正定矩阵协方差矩阵的逆 c c c 是一个常数。
推导两者之间的关系
我们通过具体推导来看这两者之间的关系
假设我们有一个标准形式的椭圆方程 x 2 a 2 y 2 b 2 1 \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} 1 a2x2b2y21 可以将其改写为矩阵形式 ( x y ) ( 1 a 2 0 0 1 b 2 ) ( x y ) 1 \begin{pmatrix} x y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{a^2} 0 \\ 0 \frac{1}{b^2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} 1 (xy)(a2100b21)(xy)1在这里矩阵 ( 1 a 2 0 0 1 b 2 ) \begin{pmatrix} \frac{1}{a^2} 0 \\ 0 \frac{1}{b^2} \end{pmatrix} (a2100b21) 就是 Σ − 1 \Sigma^{-1} Σ−1而常数 c 1 c 1 c1。 因此标准形式的椭圆方程可以被视为线性代数表示法的一种特例其中 Σ − 1 ( 1 a 2 0 0 1 b 2 ) \Sigma^{-1} \begin{pmatrix} \frac{1}{a^2} 0 \\ 0 \frac{1}{b^2} \end{pmatrix} Σ−1(a2100b21) 这也意味着 Σ ( a 2 0 0 b 2 ) \Sigma \begin{pmatrix} a^2 0 \\ 0 b^2 \end{pmatrix} Σ(a200b2)
更一般的情况
如果椭圆不是标准形式的例如旋转过或者平移过的椭圆其线性代数表示法中的矩阵 Σ \Sigma Σ 将不是对角矩阵而是一个包含非零的非对角元素的矩阵。
1. 椭圆的几何定义
设椭圆的两个焦点分别为 F 1 ( − c , 0 ) F_1(-c, 0) F1(−c,0) 和 F 2 ( c , 0 ) F_2(c, 0) F2(c,0)椭圆上的任意一点 P ( x , y ) P(x, y) P(x,y) 满足以下条件 P F 1 P F 2 2 a PF_1 PF_2 2a PF1PF22a 其中 2 a 2a 2a 是椭圆的长轴长度 a a a 是长半轴的长度。
2. 代入距离公式
根据距离公式可以得到 P P P 到 F 1 F_1 F1 和 F 2 F_2 F2 的距离分别为 P F 1 ( x c ) 2 y 2 PF_1 \sqrt{(x c)^2 y^2} PF1(xc)2y2 P F 2 ( x − c ) 2 y 2 PF_2 \sqrt{(x - c)^2 y^2} PF2(x−c)2y2 根据椭圆的定义有 ( x c ) 2 y 2 ( x − c ) 2 y 2 2 a \sqrt{(x c)^2 y^2} \sqrt{(x - c)^2 y^2} 2a (xc)2y2 (x−c)2y2 2a
3. 消除根号
为了简化这个方程我们首先将方程两边平方 ( ( x c ) 2 y 2 ( x − c ) 2 y 2 ) 2 ( 2 a ) 2 \left( \sqrt{(x c)^2 y^2} \sqrt{(x - c)^2 y^2} \right)^2 (2a)^2 ((xc)2y2 (x−c)2y2 )2(2a)2展开左边 ( x c ) 2 y 2 ( x − c ) 2 y 2 2 ( ( x c ) 2 y 2 ) ( ( x − c ) 2 y 2 ) 4 a 2 (x c)^2 y^2 (x - c)^2 y^2 2 \sqrt{((x c)^2 y^2)((x - c)^2 y^2)} 4a^2 (xc)2y2(x−c)2y22((xc)2y2)((x−c)2y2) 4a2
4. 凑平方差
我们先简化左边的前两项 ( x c ) 2 y 2 ( x − c ) 2 y 2 x 2 2 x c c 2 y 2 x 2 − 2 x c c 2 y 2 (x c)^2 y^2 (x - c)^2 y^2 x^2 2xc c^2 y^2 x^2 - 2xc c^2 y^2 (xc)2y2(x−c)2y2x22xcc2y2x2−2xcc2y2 2 x 2 2 y 2 2 c 2 2x^2 2y^2 2c^2 2x22y22c2代入上面的方程得到 2 x 2 2 y 2 2 c 2 2 ( ( x c ) 2 y 2 ) ( ( x − c ) 2 y 2 ) 4 a 2 2x^2 2y^2 2c^2 2 \sqrt{((x c)^2 y^2)((x - c)^2 y^2)} 4a^2 2x22y22c22((xc)2y2)((x−c)2y2) 4a2移项得到 2 ( ( x c ) 2 y 2 ) ( ( x − c ) 2 y 2 ) 4 a 2 − 2 x 2 − 2 y 2 − 2 c 2 2 \sqrt{((x c)^2 y^2)((x - c)^2 y^2)} 4a^2 - 2x^2 - 2y^2 - 2c^2 2((xc)2y2)((x−c)2y2) 4a2−2x2−2y2−2c2 ( ( x c ) 2 y 2 ) ( ( x − c ) 2 y 2 ) 2 a 2 − x 2 − y 2 − c 2 \sqrt{((x c)^2 y^2)((x - c)^2 y^2)} 2a^2 - x^2 - y^2 - c^2 ((xc)2y2)((x−c)2y2) 2a2−x2−y2−c2
5. 消去根号
为了继续消去根号我们再次平方两边 ( ( ( x c ) 2 y 2 ) ( ( x − c ) 2 y 2 ) ) 2 ( 2 a 2 − x 2 − y 2 − c 2 ) 2 \left( \sqrt{((x c)^2 y^2)((x - c)^2 y^2)} \right)^2 (2a^2 - x^2 - y^2 - c^2)^2 (((xc)2y2)((x−c)2y2) )2(2a2−x2−y2−c2)2展开左边 ( ( x c ) 2 y 2 ) ( ( x − c ) 2 y 2 ) ( 2 a 2 − x 2 − y 2 − c 2 ) 2 ((x c)^2 y^2)((x - c)^2 y^2) (2a^2 - x^2 - y^2 - c^2)^2 ((xc)2y2)((x−c)2y2)(2a2−x2−y2−c2)2
6. 简化方程
左边的展开 ( x 2 2 x c c 2 y 2 ) ( x 2 − 2 x c c 2 y 2 ) (x^2 2xc c^2 y^2)(x^2 - 2xc c^2 y^2) (x22xcc2y2)(x2−2xcc2y2) ( x 2 y 2 c 2 ) 2 − ( 2 x c ) 2 (x^2 y^2 c^2)^2 - (2xc)^2 (x2y2c2)2−(2xc)2 ( x 2 y 2 c 2 ) 2 − 4 x 2 c 2 (x^2 y^2 c^2)^2 - 4x^2c^2 (x2y2c2)2−4x2c2右边的展开 ( 2 a 2 − x 2 − y 2 − c 2 ) 2 (2a^2 - x^2 - y^2 - c^2)^2 (2a2−x2−y2−c2)2 4 a 4 − 4 a 2 ( x 2 y 2 c 2 ) ( x 2 y 2 c 2 ) 2 4a^4 - 4a^2(x^2 y^2 c^2) (x^2 y^2 c^2)^2 4a4−4a2(x2y2c2)(x2y2c2)2令左边和右边相等 ( x 2 y 2 c 2 ) 2 − 4 x 2 c 2 4 a 4 − 4 a 2 ( x 2 y 2 c 2 ) ( x 2 y 2 c 2 ) 2 (x^2 y^2 c^2)^2 - 4x^2c^2 4a^4 - 4a^2(x^2 y^2 c^2) (x^2 y^2 c^2)^2 (x2y2c2)2−4x2c24a4−4a2(x2y2c2)(x2y2c2)2相消掉相同项后 − 4 x 2 c 2 4 a 4 − 4 a 2 ( x 2 y 2 c 2 ) - 4x^2c^2 4a^4 - 4a^2(x^2 y^2 c^2) −4x2c24a4−4a2(x2y2c2) x 2 c 2 a 2 ( x 2 y 2 c 2 ) − a 4 x^2c^2 a^2(x^2 y^2 c^2) - a^4 x2c2a2(x2y2c2)−a4由于 c 2 a 2 − b 2 c^2 a^2 - b^2 c2a2−b2我们将其代入上式中 x 2 ( a 2 − b 2 ) a 2 ( x 2 y 2 ( a 2 − b 2 ) ) − a 4 x^2(a^2 - b^2) a^2(x^2 y^2 (a^2 - b^2)) - a^4 x2(a2−b2)a2(x2y2(a2−b2))−a4 x 2 a 2 − x 2 b 2 a 2 x 2 a 2 y 2 a 4 − a 2 b 2 − a 4 x^2a^2 - x^2b^2 a^2x^2 a^2y^2 a^4 - a^2b^2 - a^4 x2a2−x2b2a2x2a2y2a4−a2b2−a4 x 2 a 2 − x 2 b 2 a 2 x 2 a 2 y 2 − a 2 b 2 x^2a^2 - x^2b^2 a^2x^2 a^2y^2 - a^2b^2 x2a2−x2b2a2x2a2y2−a2b2整理后得到 − x 2 b 2 a 2 y 2 − a 2 b 2 -x^2b^2 a^2y^2 - a^2b^2 −x2b2a2y2−a2b2 x 2 b 2 a 2 b 2 − a 2 y 2 x^2b^2 a^2b^2 - a^2y^2 x2b2a2b2−a2y2 x 2 a 2 y 2 b 2 1 \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} 1 a2x2b2y21
最终的标准椭圆方程 x 2 a 2 y 2 b 2 1 \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} 1 a2x2b2y21
