长沙网站优化价格,江津网站建设效果好不好,江苏省工程建设标准站网站,专业的单位网站建设目录 一、如何计算旋转体体积#xff1f;思考一个小例子
二、旋转体体积的二重积分表达式
三、用真题#xff0c;小试牛刀 定积分的应用中#xff0c;有一类题是求解旋转体的体积问题。 相较于记忆体积计算公式#xff0c;有一种通法求解体积更不容易出错#xff1a;二重…
目录 一、如何计算旋转体体积思考一个小例子
二、旋转体体积的二重积分表达式
三、用真题小试牛刀 定积分的应用中有一类题是求解旋转体的体积问题。 相较于记忆体积计算公式有一种通法求解体积更不容易出错二重积分求体积。 先列出二重积分表达式然后根据积分区域计算二重积分直角坐标、极坐标、奇偶性、对称性。 本文我先通过小例子引入一个定理然后解释如何通过定理列二重积分表达式然后再举2023年考研数学二的真题加以说明。 提供实操指南。 一、如何计算旋转体体积思考一个小例子 上面这个体积该如何求呢很多中学生都知道的一个技巧
帕普斯-古尔丁定理 由此我们可以知道如果知道旋转的图形的面积 * 旋转重心经过的距离那么我们也就求出了旋转体的体积。
因此我们也就可以写出二重积分表达式了。
二、旋转体体积的二重积分表达式 假设我们要求 区域D 绕axbyc 0 这条直线旋转的体积。首先我们在区域D中截取一小块区域记为dσ。其中dσ dxdy。我们把无数个这样的小区域绕直线的体积求出来再相加。
所以我们要将小区域的体积表达式写出来。在小区域中取一点xy因为小区域本身就很小所以任取的xy可以看作是小区域的重心。用rxy表示点xy到直线的距离。
现在我们就可以表示体积了。 利用古尔丁定理理解
体积 旋转重心经过的距离 * 旋转的图形的面积
公式中2Π r(xy表示旋转重心经过的距离重心绕一圈实际经过的距离就是圆的周长。旋转的图形的面积就是dσ。然后将这些小体积加起来就是整个旋转体的体积。 至此我们已经知道了体积的求解公式。
但考试一般考的是绕x轴、绕y轴、绕平行于x轴、绕平行于y轴的直线旋转。
其实这也很简单只要对公式进行细微的变动。绕的直线不同只是它的距离r(xy)变了。
例如绕x轴旋转点xy距离x轴的距离是多少答案是y。因此只要将公式中的r(x,y)替换为y即可。同理绕y轴旋转将rxy替换为x公式依然成立。
再比如图形绕x 2 进行旋转如果图形在x2这条直线的右侧那么在图形中随便取一点xy它与x 2这条直线的距离如何表示呢答案是x - 2。所以公式中的rxy就变为了x-2。公式应该写入什么值要根据题目的条件进行变化。
图形绕x 2 进行旋转如果图形在x2这条直线的左侧那么在图形中随便取一点xy它与x 2这条直线的距离如何表示呢答案是2 - x。所以公式中的rxy就变为了2-x。 列出二重积分表达式然后根据积分区域计算二重积分直角坐标、极坐标、奇偶性、对称性。
当然考试时有时利用极坐标、参数方程更容易求解可以主动转化使用。
计算二重积分并不是我想讨论的重点列出二重积分表达式后会有很多的方法技巧计算二重积分可自行学习。本文旨在以不变应万变以一个最基本的体积公式计算体积。
三、用真题小试牛刀 第一问并不是本文讨论的重点读者可自行解决。
第二问详细解答
