北京学习网站建设,中国著名十大vi设计案例,上海市企业,php 网站开发文档怎么写逆函数
给定关系 R ⊆ X Y R\subseteq X\times Y R⊆XY#xff0c;颠倒 R R R的所有有序偶可以得到 R R R的逆关系 R ~ ⊆ Y X \tilde{R}\subseteq Y\times X R~⊆YX
但是对于函数 f : X → Y f:X\to Y f:X→Y而言#xff0c;其逆关系 f ~ \tilde{f} f~可能不是 Y Y Y到…逆函数
给定关系 R ⊆ X × Y R\subseteq X\times Y R⊆X×Y颠倒 R R R的所有有序偶可以得到 R R R的逆关系 R ~ ⊆ Y × X \tilde{R}\subseteq Y\times X R~⊆Y×X
但是对于函数 f : X → Y f:X\to Y f:X→Y而言其逆关系 f ~ \tilde{f} f~可能不是 Y Y Y到 X X X的函数
那么在什么条件下 f f f的逆关系 f ~ \tilde{f} f~能够称为函数呢
定理1设 f : X → Y f:X\to Y f:X→Y是双射则 f f f的逆关系 f ~ \tilde{f} f~是从 Y Y Y到 X X X的函数
证明设函数 f { x , y ∣ x ∈ X ∧ y ∈ Y ∧ f ( x ) y } f\left\{\leftx,y\right | x\in X \wedge y \in Y \wedge f\left(x\right)y \right\} f{⟨x,y⟩∣x∈X∧y∈Y∧f(x)y},则 f ~ { y , x ∣ x , y ∈ f } \tilde{f}\left\{\lefty,x\right|\leftx,y\right\in f\right\} f~{⟨y,x⟩∣⟨x,y⟩∈f} 对于任意的 y ∈ Y y\in Y y∈Y由于 f f f是满射所以有 x ∈ X x\in X x∈X使得 x , y ∈ f \leftx,y\right\in f ⟨x,y⟩∈f即有 y , x ∈ f ~ \lefty,x\right\in \tilde{f} ⟨y,x⟩∈f~亦即 d o m ( f ~ ) Y \mathop{dom}\left(\tilde{f}\right)Y dom(f~)Y
对于任意的 y ∈ Y y\in Y y∈Y,若有 x 1 , x 2 , ∈ X x_1,x_2,\in X x1,x2,∈X使得 y , x 1 ∈ f ~ , y , x 2 ∈ f ~ \lefty,x_1\right\in \tilde{f}, \lefty,x_2\right\in\tilde{f} ⟨y,x1⟩∈f~,⟨y,x2⟩∈f~,则 x 1 , y ∈ f , x 2 , y ∈ f \leftx_1, y\right\in f,\leftx_2,y\right\in f ⟨x1,y⟩∈f,⟨x2,y⟩∈f,由于 f f f单射所以 x 1 x 2 x_1x_2 x1x2
由此可见对于任意的 y ∈ Y y\in Y y∈Y存在唯一的 x ∈ X x\in X x∈X使得 y , x ∈ f ~ \lefty,x\right\in \tilde{f} ⟨y,x⟩∈f~故 f ~ \tilde{f} f~是函数
由于双射函数 f X → Y fX\to Y fX→Y的逆关系也是函数我们称这个哈数为 f f f的逆函数 记为 f − 1 : Y → X f^{-1}:Y\to X f−1:Y→X
定理2设 f f f是从 X X X到 Y Y Y的双射 g g g是从 Y Y Y到 X X X的函数则 f − 1 g f^{-1}g f−1g当且仅当 g ∘ f 1 X g\circ f1_X g∘f1X且 f ∘ g 1 Y f\circ g1_Y f∘g1Y
证明 必要性若 f − 1 g f^{-1}g f−1g则对任意的 x ∈ X x\in X x∈X由 x , f ( x ) ∈ f \leftx,f\left(x\right)\right\in f ⟨x,f(x)⟩∈f可得 f ( x ) , x ∈ f − 1 \leftf\left(x\right),x\right\in f^{-1} ⟨f(x),x⟩∈f−1 即 f ( x ) , x ∈ g \leftf\left(x\right),x\right\in g ⟨f(x),x⟩∈g所以 g ( f ( x ) ) x g\left(f\left(x\right)\right) x g(f(x))x即 g ∘ f ( x ) 1 X ( x ) g \circ f\left(x\right) 1_X\left(x\right) g∘f(x)1X(x) 因此 g ∘ f 1 X g\circ f1_X g∘f1X同理可证 f ∘ g 1 Y f\circ g1_Y f∘g1Y
充分性先证 f − 1 ⊆ g f^{-1}\subseteq g f−1⊆g 对于任意的 y , x ∈ f − 1 \lefty,x\right\in f^{-1} ⟨y,x⟩∈f−1有 x , y ∈ f \leftx,y\right \in f ⟨x,y⟩∈f,即 y f ( x ) yf\left(x\right) yf(x)因为 g ∘ f 1 X g\circ f1_X g∘f1X所以有 g ( y ) g ( f ( x ) ) g ∘ f ( x ) 1 X ( x ) x g\left(y\right)g\left(f\left(x\right)\right)g\circ f\left(x\right)1_X\left(x\right)x g(y)g(f(x))g∘f(x)1X(x)x 因此 y , x ∈ g \lefty,x\right \in g ⟨y,x⟩∈g,从而 f − 1 ⊆ g f^{-1}\subseteq g f−1⊆g
再证 g ⊆ f − 1 g\subseteq f^{-1} g⊆f−1对任意的 y , x ∈ g \lefty,x\right\in g ⟨y,x⟩∈g,即 x g ( y ) xg\left(y\right) xg(y),因 f ∘ g 1 Y f\circ g1_Y f∘g1Y所以有 f ( x ) f ( g ( y ) ) f ∘ g ( y ) 1 Y ( y ) y f\left(x\right)f\left(g\left(y\right)\right) f\circ g\left(y\right)1_Y\left(y\right) y f(x)f(g(y))f∘g(y)1Y(y)y 因此 x , y ∈ f \leftx,y\right\in f ⟨x,y⟩∈f即有 y , x ∈ f − 1 \lefty,x\right\in f^{-1} ⟨y,x⟩∈f−1从而 g ⊆ f − 1 g\subseteq f^{-1} g⊆f−1
由 f − 1 ⊆ g f^{-1} \subseteq g f−1⊆g和 g ⊆ f − 1 g\subseteq f^{-1} g⊆f−1于是 f − 1 g f^{-1}g f−1g
由这个定理可以等价地给出逆函数的另一定义
定义设 f : X → Y f:X\to Y f:X→Y若有 g : Y → X g:Y\to X g:Y→X使得 g ∘ f 1 X g\circ f1_X g∘f1X和 f ∘ g 1 Y f\circ g1_Y f∘g1Y成立则称 g g g是 f f f的逆函数并称 f f f是可逆的
定义设 f : X → Y f:X\to Y f:X→Y 1若有 g : Y → X g:Y\to X g:Y→X使得 g ∘ f 1 X g\circ f1_X g∘f1X成立则称 g g g是 f f f的左逆函数并称 f f f是左可逆的 2若有 g : Y → X g:Y\to X g:Y→X使得 f ∘ g 1 Y f\circ g1_Y f∘g1Y成立则称 g g g是 f f f的右逆函数并称 f f f是右可逆的
定理3设 f : X → Y , X ≠ ∅ f:X\to Y, X\neq \empty f:X→Y,X∅则 1 f f f是左可逆的当且仅当 f f f是单射 2 f f f是右可逆的当且仅当 f f f是满射 3 f f f是可逆的当且仅当 f f f是双射或当且仅当 f f f既是左可逆的又是右可逆的
证明 1必要性若 f f f是左可逆的则有 g : Y → X g:Y\to X g:Y→X使得 g ∘ f 1 X g\circ f1_X g∘f1X 对任意的 x 1 , x 2 ∈ x x_1,x_2\in x x1,x2∈x若 f ( x 1 ) f ( x 2 ) f\left(x_1\right)f\left(x_2\right) f(x1)f(x2)则 x 1 1 X ( x 1 ) g ∘ f ( x 1 ) g ( f ( x 1 ) ) g ( f ( x 2 ) ) g ∘ f ( x 2 ) 1 X ( x 2 ) x 2 \begin{aligned} x_1 1_X\left(x_1\right) g\circ f\left(x_1\right) g\left(f\left(x_1\right)\right)g\left(f\left(x_2\right)\right)\\ g\circ f\left(x_2\right)1_X\left(x_2\right)x_2 \end{aligned} x11X(x1)g∘f(x1)g(f(x1))g(f(x2))g∘f(x2)1X(x2)x2
充分性若 f f f是单射则因 X ≠ ∅ X\neq \empty X∅,任取 x 0 ∈ X x_0 \in X x0∈X构造 g g g如下 g : Y → X g ( y ) { x , ∃ x ∈ X , y f ( x ) x 0 , o t h e r w i s e g:Y\to X\\ g\left(y\right) \begin{cases} x, \exists x\in X, yf\left(x\right)\\ x_0,otherwise \end{cases} g:Y→Xg(y){x,x0,∃x∈X,yf(x)otherwise 则 g g g是函数这是因为任意的 y ∈ Y y\in Y y∈Y 1.若 y ∈ f ( X ) y\in f\left(X\right) y∈f(X)则由于 f f f是单射所以存在唯一的 x ∈ X x\in X x∈X使得 y , x ∈ g \lefty,x\right\in g ⟨y,x⟩∈g 2.若 y ∉ f ( X ) y\notin f\left(X\right) y∈/f(X)则有唯一的 x 0 ∈ X x_0\in X x0∈X使得 y , x 0 ∈ g \lefty,x_0\right\in g ⟨y,x0⟩∈g
并且对于任意的 x ∈ X x\in X x∈X g ∘ f ( x ) g ( f ( x ) ) x 1 X ( x ) g\circ f\left(x\right) g\left(f\left(x\right)\right) x 1_X\left(x\right) g∘f(x)g(f(x))x1X(x) 即 g ∘ f 1 X g\circ f1_X g∘f1X故 f f f是左可逆的 2 必要性若 f f f是右可逆的则有 g : Y → X g:Y\to X g:Y→X使得 f ∘ g 1 Y f\circ g1_Y f∘g1Y对于任意的 y ∈ Y y\in Y y∈Y则有 g ( y ) ∈ X g\left(y\right)\in X g(y)∈X使得 f ( g ( y ) ) f ∘ g ( y ) 1 X ( y ) y f\left(g\left(y\right)\right) f\circ g\left(y\right) 1_X\left(y\right)y f(g(y))f∘g(y)1X(y)y 成立故 f f f满射
充分性若 f f f是满射则构造 g g g如下 g : Y → X , g ( y ) x g:Y\to X,\\ g\left(y\right)x g:Y→X,g(y)x 则 g g g是函数。这是因为对于任意的 y ∈ Y y\in Y y∈Y,由于 f f f是满射所以 f − 1 ( { y } ) f^{-1}\left(\left\{y\right\}\right) f−1({y})\neq \empty$,
从而有某唯一确定的 x ∈ f − 1 ( { y } ) ⊆ X x\in f^{-1}\left(\left\{y\right\}\right)\subseteq X x∈f−1({y})⊆X,使得 y , x ∈ g \lefty,x\right\in g ⟨y,x⟩∈g
并且对于任意的 y ∈ Y y\in Y y∈Y f ∘ g ( y ) f ( g ( y ) ) f ( x ) y 1 Y ( y ) f\circ g\left(y\right) f\left(g\left(y\right)\right) f\left(x\right)y1_Y\left(y\right) f∘g(y)f(g(y))f(x)y1Y(y) 所以 f ∘ g 1 Y f\circ g1_Y f∘g1Y,故 f f f是右可逆的
3先证 f f f是可逆的则 f f f是双射
由于 f f f可逆的所以有 g : Y → X g:Y\to X g:Y→X使得 g ∘ f 1 X g\circ f1_X g∘f1X且 f ∘ g 1 Y f\circ g1_Y f∘g1Y成立
根据 1 X 1_X 1X是单射 f f f是单射
根据 1 Y 1_Y 1Y是满射 f f f是满射故 f f f是双射
再证 f f f是双射则 f f f既是左可逆的又是右可逆的
由于 f f f是双射所以 f f f是单射也是满射根据(1)和(2)可知 f f f既是左可逆的又是右可逆的
最后证明 f f f既是左可逆的又是右可逆的 则 f f f是可逆的
由于 f f f左可逆所以有 g 1 : Y → X g_1:Y\to X g1:Y→X,使得 g 1 ∘ f 1 X g_1\circ f1_X g1∘f1X
由于 f f f右可逆所以有 g 2 : Y → X g_2:Y\to X g2:Y→X,使得 f ∘ g 2 1 Y f\circ g_21_Y f∘g21Y
因此有 g 1 g 1 ∘ 1 Y g 1 ∘ ( f ∘ g 2 ) ( g 1 ∘ f ) ∘ g 2 1 X ∘ g 2 g 2 g_1g_1\circ 1_Y g_1\circ\left(f\circ g_2\right)\left(g_1\circ f\right)\circ g_21_X\circ g_2 g_2 g1g1∘1Yg1∘(f∘g2)(g1∘f)∘g21X∘g2g2 故有 g g 1 g 2 gg_1g_2 gg1g2,使得 g ∘ f 1 X g\circ f1_X g∘f1X且 f ∘ g 1 Y f\circ g1_Y f∘g1Y由此可知 f f f是可逆的
定理4双射函数的逆函数是唯一的
证明设双射函数 f : X → Y f:X\to Y f:X→Y.若 f f f有逆函数 g 1 g_1 g1和 g 2 g_2 g2那么 g 1 g 1 ∘ 1 Y g 1 ∘ ( f ∘ g 2 ) ( g 1 ∘ f ) ∘ g 2 1 X ∘ g 2 g 2 g_1g_1\circ 1_Yg_1\circ \left(f\circ g_2\right)\left(g_1\circ f\right)\circ g_21_X\circ g_2g_2 g1g1∘1Yg1∘(f∘g2)(g1∘f)∘g21X∘g2g2 故逆函数是唯一的
定理5设 f : X → Y , g : Y → Z f:X\to Y,g:Y\to Z f:X→Y,g:Y→Z,并且 f f f和 g g g都是可逆的 则
1 ( f − 1 ) − 1 f \left(f^{-1}\right)^{-1}f (f−1)−1f 2 ( g ∘ f ) − 1 f − 1 ∘ g − 1 \left(g\circ f\right)^{-1}f^{-1}\circ g^{-1} (g∘f)−1f−1∘g−1
证明
1显然 2因 g ∘ f : X → Z g\circ f:X\to Z g∘f:X→Z,所以 ( g ∘ f ) − 1 : Z → X \left(g\circ f\right)^{-1}:Z\to X (g∘f)−1:Z→X,因 f − 1 : Y → X , g − 1 : Z → Y f^{-1}:Y\to X, g^{-1}:Z\to Y f−1:Y→X,g−1:Z→Y,所以 f − 1 ∘ g − 1 : Z → X f^{-1}\circ g^{-1}:Z\to X f−1∘g−1:Z→X ( f − 1 ∘ g − 1 ) ∘ ( g ∘ f ) f − 1 ∘ ( g − 1 ∘ g ) ∘ f f − 1 ∘ 1 Y ∘ f f − 1 ∘ f 1 X ( g ∘ f ) ∘ ( f − 1 ∘ g − 1 ) g ∘ ( f ∘ f − 1 ) ∘ g − 1 g ∘ 1 Y ∘ g − 1 g ∘ g − 1 1 Z \left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)\circ \left(g\circ f\right) f^{-1}\circ \left(g^{-1}\circ g\right)\circ ff^{-1}\circ 1_Y \circ ff^{-1}\circ f1_X\\ \left(g\circ f\right)\circ \left(f^{-1}\circ g^{-1}\right) g\circ \left(f\circ f^{-1}\right)\circ g^{-1}g\circ 1_Y\circ g^{-1}g\circ g^{-1}1_Z (f−1∘g−1)∘(g∘f)f−1∘(g−1∘g)∘ff−1∘1Y∘ff−1∘f1X(g∘f)∘(f−1∘g−1)g∘(f∘f−1)∘g−1g∘1Y∘g−1g∘g−11Z 故 ( g ∘ f ) − 1 f − 1 ∘ g − 1 \left(g\circ f\right)^{-1}f^{-1}\circ g^{-1} (g∘f)−1f−1∘g−1
课后习题
4.设 f : X → Y , g : Y → Z f:X\to Y, g:Y\to Z f:X→Y,g:Y→Z.若 g ∘ f g\circ f g∘f是可逆的则 f f f和 g g g一定是左可逆的吗为什么
证明 f f f单射 g g g不一定 因为 g ∘ f g\circ f g∘f是左可逆的所以 g ∘ f g\circ f g∘f单射所以 f f f单射
构造思路有限集合的情况的时候单射 ∣ X ∣ ≤ ∣ Y ∣ \left|X\right|\le \left|Y\right| ∣X∣≤∣Y∣ 那么现在 ∣ X ∣ ≤ ∣ Y ∣ , ∣ X ∣ ≤ ∣ Z ∣ \left|X\right|\le \left|Y\right|, \left|X\right|\le \left|Z\right| ∣X∣≤∣Y∣,∣X∣≤∣Z∣ 只要构造一个 ∣ Y ∣ ∣ Z ∣ \left|Y\right|\left|Z\right| ∣Y∣∣Z∣
设 f ( x 1 ) y 1 , f ( x 2 ) y 2 f\left(x_1\right)y_1,f\left(x_2\right)y_2 f(x1)y1,f(x2)y2 g ( y 1 ) z 1 , g ( y 2 ) g ( y 3 ) z 2 g\left(y_1\right)z_1, g\left(y_2\right)g\left(y_3\right)z_2 g(y1)z1,g(y2)g(y3)z2 由于 g g g不是单射所以 g g g不是单射
5.设 f : X → Y , ∣ X ∣ ≥ 2 f:X\to Y,\left|X\right|\ge 2 f:X→Y,∣X∣≥2.证明 f f f是可逆的当且仅当 f f f有唯一的左右逆函数
证明
必要性 f f f是可逆的 因此 f f f双射进而 f f f左可逆且右可逆
设左逆函数 g 1 , g 2 : Y → X g_1,g_2:Y\to X g1,g2:Y→X且 g 1 ∘ f g 2 ∘ f 1 X g_1\circ fg_2\circ f1_X g1∘fg2∘f1X 右逆函数 h : Y → X , f ∘ h 1 Y h:Y\to X, f\circ h 1_Y h:Y→X,f∘h1Y
则 g 1 g 1 ∘ 1 Y g 1 ∘ ( f ∘ h ) ( g 1 ∘ f ) ∘ h 1 X ∘ h h g_1g_1\circ 1_Yg_1\circ \left(f\circ h\right)\left(g_1\circ f\right)\circ h1_X\circ hh g1g1∘1Yg1∘(f∘h)(g1∘f)∘h1X∘hh 同理, g 2 h g_2h g2h因此 g 1 g 2 g_1g_2 g1g2 f f f有唯一的左逆函数 右逆函数同理
充分性 1. f f f有唯一左逆函数 因为 f f f左可逆因此 f f f单射 假设 f f f不满射则 ∃ a ∈ Y , ∀ x ∈ X , f ( x ) ≠ a \exists a\in Y, \forall x\in X,f\left(x\right)\neq a ∃a∈Y,∀x∈X,f(x)a 构造左逆函数 g 1 , g 2 : Y → X g_1,g_2:Y\to X g1,g2:Y→X 使得 g 1 ( a ) x 1 g 2 ( a ) x 2 x 1 , x 2 ∈ X , x 1 ≠ x 2 g_1\left(a\right)x_1\\ g_2\left(a\right)x_2\\ x_1,x_2\in X, x_1\neq x_2 g1(a)x1g2(a)x2x1,x2∈X,x1x2 显然 g 1 ∘ f g 2 ∘ f 1 X g_1\circ fg_2\circ f1_X g1∘fg2∘f1X 与唯一左逆函数矛盾 因此 f f f满射
2. f f f有唯一右逆函数 因为 f f f右可逆因此 f f f满射 假设 f f f不单射即 ∃ x 1 , x 2 ∈ X , x 1 ≠ x 2 , f ( x 1 ) f ( x 2 ) y ∈ Y \exists x_1,x_2\in X, x_1\neq x_2,f\left(x_1\right)f\left(x_2\right)y \in Y ∃x1,x2∈X,x1x2,f(x1)f(x2)y∈Y 构造右逆函数 h 1 , h 2 : Y → X h_1,h_2:Y\to X h1,h2:Y→X 使得 h 1 ( y ) x 1 h 2 ( y ) x 2 h_1\left(y\right)x_1\\ h_2\left(y\right)x_2 h1(y)x1h2(y)x2 显然 f ∘ h 1 f ∘ h 2 1 Y f\circ h_1 f\circ h_21_Y f∘h1f∘h21Y 与唯一右逆函数矛盾 因此 f f f单射
综上 f f f双射进而 f f f可逆
参考 离散数学刘玉珍
