微信小程序 做网站,南京seo优化推广,提高网站访问速度的建设方案,网站定位是什么以下题目来自2024年5月清华大学“丘成桐数学科学领军计划数学水平考试”。第11题本人参考了网友Fiddie (数学兔的极大理想#xff09;的解答#xff0c;原网址是 https://mp.weixin.qq.com/s/q9slRWL4iO_TcSdkmbfbbw.
第10题#xff1a;在10维列向量构成的内积空间 V V V中…以下题目来自2024年5月清华大学“丘成桐数学科学领军计划数学水平考试”。第11题本人参考了网友Fiddie (数学兔的极大理想的解答原网址是 https://mp.weixin.qq.com/s/q9slRWL4iO_TcSdkmbfbbw.
第10题在10维列向量构成的内积空间 V V V中定义由向量 v v v引起的反射为 P v ( x ) x − 2 ( x , v ) ( v , v ) v . P_v(x)x-2\frac{(x,v)}{(v,v)}v. Pv(x)x−2(v,v)(x,v)v. 今有向量 v , w ∈ V v, w\in V v,w∈V, 满足 0 ( v , w ) ( v , v ) ( w , w ) . 0 (v,w)\sqrt{(v,v)\, (w,w)}. 0(v,w)(v,v)(w,w) . 记 Q P w ∘ P v QP_w \circ P_v QPw∘Pv. 则所有满足 P ∘ Q Q ∘ P P \circ Q Q \circ P P∘QQ∘P的线性变换 P : V → V P: V \to V P:V→V构成的子空间的维数是多少
解依题意向量 v , w v, w v,w线性无关. 不妨假设 v , w v, w v,w夹角为 θ / 2 ∈ ( 0 , π / 2 ) \theta/2 \in (0, \pi/2) θ/2∈(0,π/2) (注意 P v P − v P_v P_{-v} PvP−v. 必要时用 − v -v −v代替 v v v即可保证夹角为锐角). 在二维子空间 W s p a n ( v , w ) W\mathrm{span}(v, w) Wspan(v,w)中线性变换 Q Q Q的效果是逆时针旋转 θ \theta θ. 熟知这可以用旋转矩阵 R θ ( c − s s c ) R_\theta \begin{pmatrix} c -s \\ s c \end{pmatrix} Rθ(cs−sc)给出其中 c cos θ , s sin θ c\cos \theta,\; s \sin \theta ccosθ,ssinθ. 而全部与 R θ R_\theta Rθ 乘法可交换的矩阵都是像 A a , b ( a − b b a ) A_{a, b}\begin{pmatrix} a -b \\ b a \end{pmatrix} Aa,b(ab−ba)的形式。这些矩阵在全部2阶矩阵构成的线性空间中组成了一个2维子空间。
在 V V V中 W W W的正交补 W ⊥ W^\perp W⊥是 8 8 8维的。在 W ⊥ W^\perp W⊥中进行任何的线性变换都与 Q Q Q乘法可交换。所以所求的线性子空间维数是 8 × 8 2 66 8\times 8 266 8×8266维。
注意如果把10维改为一般的 n ( ≥ 2 ) n (\geq 2) n(≥2)维那么答案是 ( n − 2 ) 2 2 (n-2)^2 2 (n−2)22维.
第11题 10 10 10阶矩阵 A A A满足每行恰有 5 5 5个 1 1 1 和 5 5 5 个 0 0 0且使得 A 2 5 A A^25A A25A是一个全部元素均为 5 5 5的矩阵. 问这样的矩阵 A A A有多少个
解(1) A A A的对角元不能是 1 1 1, 所以只能是 0 0 0. 这是因为如果 A A A有一个对角元是 1 1 1, A 2 5 A A^25A A25A相应的对角元就至少是 6 6 6. (2) 用 J 2 n J_{2n} J2n表示元素全部是 1 1 1的 2 n 2n 2n阶方阵。从 A 2 5 A 5 J 10 A^25A5J_{10} A25A5J10可知如果 A A A的第 ( i , j ) (i,j) (i,j)位置是 1 1 1, 则 A 2 A^2 A2的第 ( i , j ) (i,j) (i,j)位置是 0 0 0; 如果 A A A的第 ( i , j ) (i, j) (i,j)位置是 0 0 0, 则 A 2 A^2 A2的第 ( i , j ) (i, j) (i,j)位置是 5 5 5. 由此可知 A A A的第 k k k列中 1 1 1的位置与 A A A的第 k k k行中 1 1 1的位置相同所以 A A A是对称矩阵。
3从等式 A 2 5 A 5 J 10 A^25A5J_{10} A25A5J10以及 A A ⊤ AA^\top AA⊤可见只要 A A A的第一行确定了那么 A 2 A^2 A2的第一行 A A A的第一列也就确定了从而 A A A的其它行也随之确定.
所以只要 A A A的第一行确定了 A A A就被确定了。想要确定 A A A的第一行只需要把 5 5 5个 1 1 1放到非对角线的位置共 9 9 9个位置可选。这等价于说把剩下的 4 4 4个 0 0 0放到第一行剩下的 9 9 9个位置。所以不同的 A A A共有 ( 9 5 ) ( 9 4 ) 126 \binom{9}{5}\binom{9}{4}126 (59)(49)126个.
注意如果题目条件改为“ 2 n 2n 2n阶方阵 A A A满足 A 2 n A n J 2 n A^2nAnJ_{2n} A2nAnJ2n, 且 A A A的每行恰有 n n n个 0 0 0与 n n n个 1 1 1”. 则这样的方阵共有 ( 2 n − 1 n ) ( 2 n − 1 n − 1 ) \binom{2n-1}{n}\binom{2n-1}{n-1} (n2n−1)(n−12n−1)个.
