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插值法是广泛应用于理论研究和工程实际的重要数值方法。用提供的部分离散的函数值来进行理论分析和设计都是极不方便的#xff0c;因此希望能够用一个既能反映原函数特征#xff0c;又便于计算的简单函数去近似原函数。
1 低次拉格朗日插值
定理#xff1a;设…0 插值介绍
插值法是广泛应用于理论研究和工程实际的重要数值方法。用提供的部分离散的函数值来进行理论分析和设计都是极不方便的因此希望能够用一个既能反映原函数特征又便于计算的简单函数去近似原函数。
1 低次拉格朗日插值
定理设 x 0 {x_0} x0, ⋯ {\cdots} ⋯, x n {x_n} xn是互异插值节点则满足差值条件 p ( x i ) y i ( i 0 , 1 , 2 , ⋯ , n ) {p(x_i)}y_i(i0,1,2,\cdots,n) p(xi)yi(i0,1,2,⋯,n)的插值多项式 p ( x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 ⋯ a n x n {p(x)a_0a_1xa_2x^2\cdotsa_nx^n} p(x)a0a1xa2x2⋯anxn是存在且唯一的。 证明由条件可知 p ( x ) p(x) p(x)的系数 a i a_i ai满足 { a 0 a 1 x 0 ⋯ a n x 0 y 0 a 0 a 1 x 1 ⋯ a n x 1 y 1 ⋮ a 0 a 1 x n ⋯ a n x n y n \left\{ \begin{array}{c} a_0a_1x_0\cdotsa_nx_0y_0\\ a_0a_1x_1\cdotsa_nx_1y_1\\ \vdots\\ a_0a_1x_n\cdotsa_nx_ny_n\\ \end{array} \right. ⎩ ⎨ ⎧a0a1x0⋯anx0y0a0a1x1⋯anx1y1⋮a0a1xn⋯anxnyn 这是一个关于 a 0 , a 1 , ⋯ , a n a_0,a_1, \cdots ,a_n a0,a1,⋯,an的 n 1 n1 n1元线性方程组并注意到其系数行列式为一个范德蒙行列式又由于 i ≠ j i \ne j ij时 x i ≠ x j x_i \ne x_j xixj于是方程组唯一解。
以上定理的证明提供了一个求 p ( x ) p(x) p(x)的方法这就是解方程组。但当 n n n较大时这是很困难的。对于给定的插值点求形如 p ( x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 ⋯ a n x n {p(x)a_0a_1xa_2x^2\cdotsa_nx^n} p(x)a0a1xa2x2⋯anxn的插值多项式有不同的方法。
1.1 n1时插值方法
先讨论 n 1 n1 n1的简单情况互异插值点 x 0 , x 1 x_0,x_1 x0,x1上的函数值分别为 f ( x 0 ) , f ( x 1 ) f(x_0),f(x_1) f(x0),f(x1)是已知的通过两点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) (x_0,f(x_0)) (x0,f(x0))及 ( x 1 , f ( x 1 ) ) (x_1,f(x_1)) (x1,f(x1))的插值多项式是一条直线即两点式 L 1 ( x ) x − x 1 x 0 − x 1 f ( x 0 ) x − x 0 x 1 − x 0 f ( x 1 ) L_1(x)\frac {x-x_1}{x_0-x_1}f(x_0) \frac {x-x_0}{x_1-x_0}f(x_1) L1(x)x0−x1x−x1f(x0)x1−x0x−x0f(x1) 显然 L 1 ( x 0 ) f ( x 0 ) , L 1 ( x 1 ) f ( x 0 ) L_1(x_0)f(x_0),L_1(x_1)f(x_0) L1(x0)f(x0),L1(x1)f(x0)满足插值条件所以 L 1 ( x ) L_1(x) L1(x)就是线性插值多项式。若记 l 0 ( x ) x − x 1 x 0 − x 1 l_0(x)\frac{x-x_1}{x_0-x_1} l0(x)x0−x1x−x1 l 1 ( x ) x − x 0 x 1 − x 0 l_1(x)\frac{x-x_0}{x_1-x_0} l1(x)x1−x0x−x0则称 l 0 ( x ) , l 1 ( x ) l_0(x),l_1(x) l0(x),l1(x)为关于 x 0 x_0 x0与 x 1 x_1 x1的线性插值基函数。
于是有 L 1 ( x ) l 0 ( x ) f ( x 0 ) l 1 ( x ) f ( x 1 ) L_1(x)l_0(x)f(x_0)l_1(x)f(x_1) L1(x)l0(x)f(x0)l1(x)f(x1)
1.2 n2时插值方法
当 n 2 n2 n2时给定互异插值点 x 0 , x 1 , x 2 x_0,x_1,x_2 x0,x1,x2上的函数值分别为 f ( x 0 ) , f ( x 1 ) , f ( x 2 ) f(x_0),f(x_1),f(x_2) f(x0),f(x1),f(x2) l 0 ( x ) ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x 0 − x 1 ) ( x 0 − x 2 ) , l_0(x)\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}, l0(x)(x0−x1)(x0−x2)(x−x1)(x−x2), l 1 ( x ) ( x − x 0 ) ( x − x 2 ) ( x 1 − x 0 ) ( x 1 − x 2 ) , l_1(x)\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}, l1(x)(x1−x0)(x1−x2)(x−x0)(x−x2), l 2 ( x ) ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ( x 2 − x 0 ) ( x 2 − x 1 ) l_2(x)\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} l2(x)(x2−x0)(x2−x1)(x−x0)(x−x1) 称为关于点 x 0 , x 1 , x 2 x_0,x_1,x_2 x0,x1,x2的二次插值基函数它满足 l i ( x j ) { 1 , j i 0 , j ≠ i , i , j 0 , 1 , 2 , ⋯ l_i(x_j) \left\{ \begin{array}{c} 1, j i \\ 0, j \ne i\\ \end{array},i,j0,1,2,\cdots \right. li(xj){1,ji0,ji,i,j0,1,2,⋯ 满足条件的 L 2 ( x i ) f ( x i ) ( i 0 , 1 , 2 ) L_2(x_i)f(x_i)(i0,1,2) L2(xi)f(xi)(i0,1,2)的二次插值多项式 L 2 ( x ) L_2(x) L2(x)可表示为 L 2 ( x ) l 0 ( x ) f ( x 0 ) l 1 ( x ) f ( x 1 ) l 2 ( x ) f ( x 2 ) L_2(x)l_0(x)f(x_0)l_1(x)f(x_1)l_2(x)f(x_2) L2(x)l0(x)f(x0)l1(x)f(x1)l2(x)f(x2) y L 2 ( x ) yL_2(x) yL2(x)的图形是通过三点 ( x 1 , f ( x i ) ) ( i 0 , 1 , 2 ) (x_1,f(x_i))(i0,1,2) (x1,f(xi))(i0,1,2)的抛物线。
1.3 举例 x x x14916 x \sqrt{x} x 1234
解 选择与 x 5 x5 x5最接近的三点 x 0 1 , x 1 4 , x 2 9 x_01,x_14,x_29 x01,x14,x29为插值点由 L 2 ( x ) l 0 ( x ) f ( x 0 ) l 1 ( x ) f ( x 1 ) l 2 ( x ) f ( x 2 ) L_2(x)l_0(x)f(x_0)l_1(x)f(x_1)l_2(x)f(x_2) L2(x)l0(x)f(x0)l1(x)f(x1)l2(x)f(x2) 得 5 ≈ 1 ⋅ ( 5 − 4 ) ( 5 − 9 ) ( 1 − 4 ) ( 1 − 9 ) 2 ⋅ ( 5 − 1 ) ( 5 − 9 ) ( 4 − 1 ) ( 4 − 9 ) 3 ⋅ ( 5 − 1 ) ( 5 − 4 ) ( 9 − 1 ) ( 9 − 4 ) ≈ 2.267 \sqrt{5} \approx 1 \cdot \frac{(5-4)(5-9)}{(1-4)(1-9)}2 \cdot \frac{(5-1)(5-9)}{(4-1)(4-9)} 3 \cdot \frac{(5-1)(5-4)}{(9-1)(9-4)} \approx 2.267 5 ≈1⋅(1−4)(1−9)(5−4)(5−9)2⋅(4−1)(4−9)(5−1)(5−9)3⋅(9−1)(9−4)(5−1)(5−4)≈2.267
