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二分查找也称折半查找#xff0c;是在一组有序(升序/降序)的数据中查找一个元素#xff0c;它是一种效率较高的查找方法。
二、二分查找的原理 1、查找的目标数据元素必须是有序的。没有顺序的数据#xff0c;二分法就失去意义。 2、数据元素通常是数值…一、什么是二分查找
二分查找也称折半查找是在一组有序(升序/降序)的数据中查找一个元素它是一种效率较高的查找方法。
二、二分查找的原理 1、查找的目标数据元素必须是有序的。没有顺序的数据二分法就失去意义。 2、数据元素通常是数值型可以比较大小。 3、将目标元素和查找范围的中间值做比较如果目标元素中间值查找结束将目标元素分到较大/或者较小的一组。 4、通过分组可以将查找范围缩小一半。 5、重复第三步直到目标元素新的范围的中间值查找结束。 三、二分查找模板
1、朴素二分查找模板 2、一般二分查找模板
四、二分查找经典OJ题
4、1 二分查找
704. 二分查找 - 力扣LeetCode
1、题目描述 2、算法思路 a. 定义 left right 指针分别指向数组的左右区间。 b. 找到待查找区间的中间点 mid 找到之后分三种情况讨论 i. arr[mid] target 说明正好找到返回 mid 的值 ii. arr[mid] target 说明 [mid, right] 这段区间都是⼤于 target 的因此舍去右边区间在左边 [left, mid -1] 的区间继续查找即让 right mid - 1 然后重复 2 过程 iii. arr[mid] target 说明 [left, mid] 这段区间的值都是⼩于 target 的因此舍去左边区间在右边 [mid 1, right] 区间继续查找即让 left mid 1 然后重复 2 过程 c. 当 left 与 right 错开时说明整个区间都没有这个数返回 -1 。 3、算法代码
class Solution {
public:int search(vectorint nums, int target) {int left0,rightnums.size()-1;while(leftright){int midleft(right-left)/2;if(nums[mid]target){rightmid-1;}else if(nums[mid]target){leftmid1;}else{return mid;}}return -1;}
};
4、2 在排序数组中查找元素的第⼀个和最后⼀个位置
34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 - 力扣LeetCode
1、题目描述 2、算法思路 ⽤的还是⼆分思想就是根据数据的性质在某种判断条件下将区间⼀分为⼆然后舍去其中⼀个 区间然后再另⼀个区间内查找 ⽅便叙述⽤ x 表⽰该元素 resLeft 表⽰左边界 resRight 表⽰右边界。 寻找左边界 ◦ 我们注意到以左边界划分的两个区间的特点 ▪ 左边区间 [left, resLeft - 1] 都是⼩于 x 的 ▪ 右边区间包括左边界 [resLeft, right] 都是⼤于等于 x 的 • 因此关于 mid 的落点我们可以分为下⾯两种情况 ◦ 当我们的 mid 落在 [left, resLeft - 1] 区间的时候也就是 arr[mid] target 。说明 [left, mid] 都是可以舍去的此时更新 left 到 mid 1 的位置 继续在 [mid 1, right] 上寻找左边界 ◦ 当 mid 落在 [resLeft right] 的区间的时候也就是 arr[mid] target 。 说明 [mid 1, right] 因为 mid 可能是最终结果不能舍去是可以舍去的此时 更新 right 到 mid 的位置继续在 [left, mid] 上寻找左边界 • 由此就可以通过⼆分来快速寻找左边界 注意这⾥找中间元素需要向下取整。 因为后续移动左右指针的时候 • 左指针 left mid 1 是会向后移动的因此区间是会缩⼩的 • 右指针 right mid 可能会原地踏步⽐如如果向上取整的话如果剩下 1,2 两个元 素 left 1 right 2 mid 2 。更新区间之后 left right mid 的 值没有改变就会陷⼊死循环。 因此⼀定要注意当 right mid 的时候要向下取整。 寻找右边界思路 ◦ ⽤ resRight 表⽰右边界 ◦ 我们注意到右边界的特点 ▪ 左边区间 包括右边界 [left, resRight] 都是⼩于等于 x 的 ▪ 右边区间 [resRight 1, right] 都是⼤于 x 的 • 因此关于 mid 的落点我们可以分为下⾯两种情况 ◦ 当我们的 mid 落在 [left, resRight] 区间的时候说明 [left, mid - 1](mid 不可以舍去因为有可能是最终结果 都是可以舍去的此时更新 left 到 mid 的位置 ◦ 当 mid 落在 [resRight 1, right] 的区间的时候说明 [mid, right] 内的元素 是可以舍去的此时更新 right 到 mid - 1 的位置 • 由此就可以通过⼆分来快速寻找右边界 注意这⾥找中间元素需要向上取整。 因为后续移动左右指针的时候 • 左指针 left mid 可能会原地踏步⽐如如果向下取整的话如果剩下 1,2 两个元 素 left 1 right 2 mid 1 。更新区间之后 left right mid 的值 没有改变就会陷⼊死循环。 • 右指针 right mid - 1 是会向前移动的因此区间是会缩⼩的 因此⼀定要注意当 right mid 的时候要向下取整。 3、算法代码
class Solution {
public:vectorint searchRange(vectorint nums, int target) {int begin0;if(nums.size()0) return {-1,-1};int left0,rightnums.size()-1;while(rightleft) //找左端点{int midleft(right-left)/2;if(nums[mid]target) leftmid1;else rightmid;}if(nums[left]!target) return {-1,-1};else beginleft;left0,rightnums.size()-1;while(rightleft){int midleft(right-left1)/2;if(nums[mid]target) leftmid;else rightmid-1;}return {begin,right};}
};
4、3 搜索插入位置
35. 搜索插入位置 - 力扣LeetCode
1、题目描述 2、算法思路 a. 分析插⼊位置左右两侧区间上元素的特点 设插⼊位置的坐标为 index 根据插⼊位置的特点可以知道 • [left, index - 1] 内的所有元素均是⼩于 target 的 • [index, right] 内的所有元素均是⼤于等于 target 的。 b. 设 left 为本轮查询的左边界 right 为本轮查询的右边界。根据 mid 位置元素的信息分析下⼀轮查询的区间 ▪ 当 nums[mid] target 时说明 mid 落在了 [index, right] 区间上 mid 左边包括 mid 本⾝可能是最终结果所以我们接下来查找的区间在 [left, mid] 上。因此更新 right 到 mid 位置继续查找。 ▪ 当 nums[mid] target 时说明 mid 落在了 [left, index - 1] 区间上 mid 右边但不包括 mid 本⾝可能是最终结果所以我们接下来查找的区间在 [mid 1, right] 上。因此更新 left 到 mid 1 的位置继续查找。 c. 直到我们的查找区间的⻓度变为 1 也就是 left right 的时候 left 或者 right 所在的位置就是我们要找的结果。 3、算法代码
class Solution {
public:int searchInsert(vectorint nums, int target) {int left0,rightnums.size()-1;while(rightleft){int midleft(right-left)/2;if(nums[mid]target) leftmid1;else rightmid;}if(nums[left]target) return right1;return right;}
};
4、4 X的平方根
69. x 的平方根 - 力扣LeetCode
1、题目描述 2、算法思路 依次枚举 [0, x] 之间的所有数 i 这⾥没有必要研究是否枚举到 x / 2 还是 x / 2 1 。因为我们找到结果之后直接就返回 了往后的情况就不会再判断。反⽽研究枚举区间既耽误时间⼜可能出错 ▪ 如果 i * i x 直接返回 x ▪ 如果 i * i x 说明之前的⼀个数是结果返回 i - 1 。 由于 i * i 可能超过 int 的最⼤值因此使⽤ long long 类型 3、算法代码
class Solution {
public:int mySqrt(int x) {if(x1) return 0;int left1,rightx;while(rightleft){long long midleft(right-left1)/2;if(mid*midx) rightmid-1;else leftmid;}return left;}
};
4、5 山峰数组的峰顶
852. 山脉数组的峰顶索引 - 力扣LeetCode
1、题目描述 2、算法思路 峰顶的特点⽐两侧的元素都要⼤。 因此我们可以遍历数组内的每⼀个元素找到某⼀个元素⽐两边的元素⼤即可 3、算法代码 class Solution {
public:int peakIndexInMountainArray(vectorint arr) {for(int i1;iarr.size()-1;i){if(arr[i]arr[i-1]arr[i]arr[i1]){return i;} }return 0;}
}; 4、5 寻找峰值 162. 寻找峰值 - 力扣LeetCode 1、题目描述 2、算法思路寻找⼆段性 任取⼀个点 i 与下⼀个点 i 1 会有如下两种情况 • arr[i] arr[i 1] 此时「左侧区域」⼀定会存在⼭峰因为最左侧是负⽆穷那么我们可以去左侧去寻找结果 • arr[i] arr[i 1] 此时「右侧区域」⼀定会存在⼭峰因为最右侧是负⽆穷那么我们可以去右侧去寻找结果。 当我们找到「⼆段性」的时候就可以尝试⽤「⼆分查找」算法来解决问题。 3、算法代码 class Solution {
public:int findPeakElement(vectorint nums) {vectorint ret;int left0,rightnums.size()-1;while(rightleft){int midleft(right-left1)/2;if(nums[mid]nums[mid-1]) leftmid;else rightmid-1;}return left;}
}; 4、6 寻找旋转排序数组中的最⼩值 153. 寻找旋转排序数组中的最小值 - 力扣LeetCode 1、题目描述 2、算法思路 题⽬中的数组规则如下图所示 其中 C 点就是我们要求的点。 ⼆分的本质找到⼀个判断标准使得查找区间能够⼀分为⼆。 通过图像我们可以发现 [A B] 区间内的点都是严格⼤于 D 点的值的 C 点的值是严格⼩于 D 点的值的。但是当 [C D] 区间只有⼀个元素的时候 C 点的值是可能等于 D 点的值的。 因此初始化左右两个指针 left right 然后根据 mid 的落点我们可以这样划分下⼀次查询的区间 ▪ 当 mid 在 [A B] 区间的时候也就是 mid 位置的值严格⼤于 D 点的值下⼀次查询区间在 [mid 1 right] 上 ▪ 当 mid 在 [C D] 区间的时候也就是 mid 位置的值严格⼩于等于 D 点的值下次查询区间在 [left mid] 上。 当区间⻓度变成 1 的时候就是我们要找的结果。 3、算法代码 class Solution {
public:int findMin(vectorint nums) {int tmpnums[nums.size()-1];int left0,rightnums.size()-1;while(rightleft){int midleft(right-left)/2;if(nums[mid]tmp) leftmid1;else rightmid;}return nums[left];}
}; 4、7 0~n-1缺失的数字 LCR 173. 点名 - 力扣LeetCode 1、题目描述 2、算法思路 关于这道题中时间复杂度为 O(N) 的解法有很多种⽽且也是⽐较好想的这⾥就不再赘述。 本题只讲解⼀个最优的⼆分法来解决这个问题。 在这个升序的数组中我们发现 ▪ 在第⼀个缺失位置的左边数组内的元素都是与数组的下标相等的 ▪ 在第⼀个缺失位置的右边数组内的元素与数组下标是不相等的。 因此我们可以利⽤这个「⼆段性」来使⽤「⼆分查找」算法。 3、算法代码 class Solution {
public:int takeAttendance(vectorint records) {int left0,rightrecords.size()-1,k0;while(rightleft){int mid left(right-left)/2;if(records[mid]!mid) rightmid;else leftmid1;}return leftrecords[left]?left1:left;}
