常德市做网站的公司,一键优化什么意思,中和华丰建设有限责任公司网站,绵阳网站建设培训一、简单排序
在我们的程序中#xff0c;排序是非常常见的一种需求#xff0c;提供一些数据元素#xff0c;把这些数据元素按照一定的规则进行排序。比如查询一些订单按照订单的日期进行排序#xff0c;再比如查询一些商品#xff0c;按照商品的价格进行排序等等。所以排序是非常常见的一种需求提供一些数据元素把这些数据元素按照一定的规则进行排序。比如查询一些订单按照订单的日期进行排序再比如查询一些商品按照商品的价格进行排序等等。所以接下来我们要学习一些常见的排序算法。
1.1冒泡排序Bubble Sort
冒泡排序Bubble Sort是一种计算机科学领域的较简单的排序算法。
排序原理
比较相邻的元素。如果前一个元素比后一个元素大就交换这两个元素的位置对每一对相邻元素做同样的工作从开始第一对元素到结尾的最后一对元素。最终最后位置的元素就是最大值 排序API设计
类名Bubble构造方法Bubble创建Bubble对象成员方法1. public static void sort(Comparable[] a):对数组a中的元素进行排序 2. private static boolean greater(Comparable v, Comparable w)判断v是否大于w从小到大排序 3. private static void exch(Comparable[] a, int i, int j)交换数组中i和j位置的元素
代码实现
Bubble
package com.itcast.algorithm.sort;/*** Author: Juechen* Date: 2024/4/30* Description: 冒泡排序* Version: 1.0**/
public class Bubble {/*** 对数组a中的元素进行排序*/public static void sort(Comparable[] a) {for (int i a.length - 1; i 0; i--) {for (int j 0; j i; j) {if (greater(a[j], a[j 1])) {exch(a, j, j 1);}}}}/*** 判断v是否大于w从小到大排序* 0 则是从大到小排序** param v* param w* return*/private static boolean greater(Comparable v, Comparable w) {return v.compareTo(w) 0;}/*** 交换数组中i和j位置的元素** param a* param j* param i*/private static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {Comparable temp a[i];a[i] a[j];a[j] temp;}
}
TestBubble
package com.itcast.algorithm.test;import com.itcast.algorithm.sort.Bubble;import java.util.Arrays;/*** Author: Juechen* Date: 2024/4/30* Description: 测试冒泡排序* Version: 1.0**/
public class TestBubble {public static void main(String[] args) {Integer[] arr {4, 5, 6, 3, 2, 1};Bubble.sort(arr);System.out.println(Arrays.toString(arr));}
}
时间复杂度分析
冒泡排序使用了双层for循环其中内层循环的循环体是真正完成非序的代码所以我们分析冒泡排序的时间复杂度主要分析一下内层循环体的执行次数即可。
在最坏情况下也就是假如要排序的元素为{6,5,4,3,2,1}逆序那么
元素比较的次数为:
(N-1)(N-2)(N-3)…21((N-1)1)*(N-1)/2N^2/2-N/2;
元素交换的次数为:
(N-1)(N-2)(N-3)…21((N-1)1)*(N-1)/2N^2/2-N/2;
总执行次数为:
(N^2/2-N/2)( N ^2/2-N/2)N ^2-N;
按照大O推导法则保留函数中的最高阶项那么最终冒泡排序的时间复杂度为O(N^2). 1.2选择排序Selection Sort
选择排序Selection Sort是一种更加简单直观的排序方法。
排序原理
每一次遍历的过程中都假定第一个索引处的元素是最小值和其他索引处的值依次进行比较如果当前索引处的值大于其他某个索引处的值则假定其他某个索引处的值为最小值最后可以找到最小值所在的索引交换第一个索引处和最小值所在的索引处的值 排序API设计
类名Selection构造方法Selection创建Selection对象成员方法1. public static void sort(Comparable[] a):对数组a中的元素进行排序 2. private static boolean greater(Comparable v, Comparable w)判断v是否大于w从小到大排序 3. private static void exch(Comparable[] a, int i, int j)交换数组中i和j位置的元素
代码实现
Selection
package com.itcast.algorithm.sort;/*** Author: Juechen* Date: 2024/5/1* Description: 选择排序* Version: 1.0**/
public class Selection {/*** 对数组a中的元素进行排序*/public static void sort(Comparable[] a) {for (int i 0; i a.length; i) {// 假设当前元素为最小值int min i;// 遍历数组中的元素找到最小值for (int j i 1; j a.length; j) {if (greater(a[min], a[j])) {min j;}}// 将最小值与当前元素交换exch(a, i, min);}}/*** 比较v元素是否大于w元素* 0 则是从大到小排序*/private static boolean greater(Comparable v, Comparable w) {return v.compareTo(w) 0;}/*** 交换数组中的i和j两个元素*/private static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {Comparable t a[i];a[i] a[j];a[j] t;}
}
TestSelection
package com.itcast.algorithm.test;import com.itcast.algorithm.sort.Insertion;import java.util.Arrays;/*** Author: Juechen* Date: 2024/5/1* Description: 测试选择排序* Version: 1.0**/
public class TestSelection {public static void main(String[] args) {Integer[] arr {4, 6, 8, 7, 9, 10, 2, 1};Insertion.sort(arr);System.out.println(Arrays.toString(arr));}
}
时间复杂度分析
选择排序使用了双层for循环其中外层循环完成了数据交换内层循完成了数据比较所以我们分别统计数据交换次数和数据比较次数:
数据比较次数:
(N-1)(N-2)(N-3)…21((N-1)1)*(N-1)/2NA2/2-N/2
数据交换次数 :
N-1
时间复杂度:N^2/2-N/2( N-1) N^2/2N/2-1
根据大O推导法则保留最高阶项去除常数因子时间复杂度为O(N^2); 1.3插入排序Insertion sort
插入排序(Insertion sort)是一种简单直观且稳定的排序算法。
插入排序的工作方式非常像人们排序一手扑克牌一样。开始时我们的左手为空并且桌子上的牌面朝下。然后我们每次从桌子上拿走一张牌并将它插入左手中正确的位置。为了找到一张牌的正确位置我们从右到左将它与已在手中的每张牌进行比较。
排序原理
把所有的元素分为两组已经排序的和未排序的找到未排序的组中的第一个元素向已经排序的组中进行插入倒叙遍历已经排序的元素依次和待插入的元素进行比较直到找到一个元素小于等于待插入元素那么就把待插入元素放到这个位置其他的元素向后移动一位; 排序API设计
类名Insertion构造方法Insertion 创建Insertion 对象成员方法1. public static void sort(Comparable[] a):对数组a中的元素进行排序 2. private static boolean greater(Comparable v, Comparable w)判断v是否大于w从小到大排序 3. private static void exch(Comparable[] a, int i, int j)交换数组中i和j位置的元素
代码实现
Insertion
package com.itcast.algorithm.sort;/*** Author: Juechen* Date: 2024/5/1* Description: 插入排序* Version: 1.0**/
public class Insertion {/*** 对数组a中的元素进行排序** param a*/public static void sort(Comparable[] a) {// 从下标为1的元素开始因为下标为0的元素默认有序for (int i 1; i a.length; i) {// 从下标为i的元素开始向前遍历如果发现比它大的元素则交换位置for (int j i; j 0; j--) {if (greater(a[j - 1], a[j])) {exch(a, j - 1, j);} else {break;}}}}/*** 比较v元素是否大于w元素*/private static boolean greater(Comparable v, Comparable w) {return v.compareTo(w) 0;}/*** 交换数组中的i和j两个元素*/private static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {Comparable t a[i];a[i] a[j];a[j] t;}
}
TestInsertion
package com.itcast.algorithm.test;import com.itcast.algorithm.sort.Insertion;import java.util.Arrays;/*** Author: Juechen* Date: 2024/5/1* Description: 测试插入排序* Version: 1.0**/
public class TestInsertion {public static void main(String[] args) {Integer[] arr {4, 3, 2, 10, 12, 1, 5, 6};Insertion.sort(arr);System.out.println(Arrays.toString(arr));}
}
时间复杂度分析
插入排序使用了双层for循环其中内层循环的循环体是真正完成排序的代码所以我们分析插入排序的时间复杂度主要分析一下内层循环体的执行次数即可。
最坏情况也就是待排序的数组元素为[12,10,6,5,4,3,2,1}那么:
比较的次数为 :
(N-1)(N-2)(N-3)…21((N-1)1)*(N-1)/2N^2/2-N/2;
交换的次数为
(N-1)(N-2)(N-3)…21((N-1)1)*(N-1)/2N^2/2-N/2:
总执行次数为
(N^2/2-N/2)(N ^2/2-N/2)N ^2-N;
按照大O推导法则保留函数中的最高阶项那么最终插入排序的时间复杂度为O(N^2). 二、高级排序
之前我们学习过基础排序包括冒泡排序选择排序还有插入排序并且对他们在最坏情况下的时间复杂度做了分析发现都是O(N^2)而平方阶通过我们之前学习算法分析我们知道随着输入规模的增大时间成本将急剧上升所以这些基本排序方法不能处理更大规模的问题接下来我们学习一些高级的排序算法争取降低算法的时间复杂度最高阶次幂。
2.1希尔排序Shell Sort
希尔排序是插入排序的一种又称”缩小增量排序”是插入排序算法的一种更高效的改进版本。
前面学习插入排序的时候我们会发现一个很不友好的事儿如果已排序的分组元素为{2,5,7,9,10}未排序的分组元素为{1,8}那么下一个待插入元素为1我们需要拿着1从后往前依次和10,9,7,5,2进行交换位置才能完成真正的插入每次交换只能和相邻的元素交换位置。那如果我们要提高效率直观的想法就是一次交换能把1放到更前面的位置比如一次交换就能把1插到2和5之间这样一次交换1就向前走了5个位置可以减少交换的次数这样的需求如何实现呢 ? 接下来我们来看看希尔排序的原理。
排序原理
选定一个增长量h按照增长量h作为数据分组的依据对数据进行分组对分好组的每一组数据完成插入排序减小增长量最小减为1重复第二步操作。 排序API设计
类名Shell构造方法Shell创建Shell对象成员方法1. public static void sort(Comparable[] a):对数组a中的元素进行排序 2. private static boolean greater(Comparable v, Comparable w)判断v是否大于w从小到大排序 3. private static void exch(Comparable[] a, int i, int j)交换数组中i和j位置的元素
代码实现
Shell
package com.itcast.algorithm.sort;/*** Author: Juechen* Date: 2024/5/1* Description: 希尔排序* Version: 1.0**/
public class Shell {/*** 对数组a中的元素进行排序** param a*/public static void sort(Comparable[] a) {// 1. 根据数组a的长度确定增长量h的初始值int h 1;while (h a.length / 2) {h 2 * h 1;}// 希尔排序while (h 1) {// 排序// 2.1 找到待插入的元素for (int i h; i a.length; i) {// 2.2 把待插入的元素插入到有序数列中for (int j i; j h; j - h) {if (greater(a[j - h], a[j])) {exch(a, j - h, j);} else {break;}}}// 减小h的值h h / 2;}}/*** 比较v元素是否大于w元素*/private static boolean greater(Comparable v, Comparable w) {return v.compareTo(w) 0;}/*** 交换数组中的i和j两个元素*/private static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {Comparable t a[i];a[i] a[j];a[j] t;}
}
TestShell
package com.itcast.algorithm.test;import com.itcast.algorithm.sort.Shell;import java.util.Arrays;/*** Author: Juechen* Date: 2024/5/1* Description: 测试希尔排序* Version: 1.0**/
public class TestShell {public static void main(String[] args) {Integer[] arr {9, 1, 2, 5, 7, 4, 8, 6, 3, 5};Shell.sort(arr);System.out.println(Arrays.toString(arr));}
}
时间复杂度分析
在希尔排序中增长量h并没有固定的规则有很多论文研究了各种不同的递增序列但都无法证明某个序列是最好的对于希尔排序的时间复杂度分析在这里就不做分析了。
2.2归并排序Merge Sort
归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法该算法是采用分治法的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并得到完全有序的序列即先使每个子序列有序再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表称为二路归并。
排序原理
尽可能的一组数据拆分成两个元素相等的子组并对每一个子组继续拆分直到拆分后的每个子组的元素个数是1为止。将相邻的两个子组进行合并成一个有序的大组 不断的重复步骤2直到最终只有一个组为止。
排序API设计
类名Merge构造方法Merge创建Merge对象成员方法1. public static void sort(Comparable[] a):对数组a中的元素进行排序 2. private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi)对数组a中从lo到hi之间的元素进行排序 3. private static void merge(Comparable[] a, int lo, int mid, int hi)对数组a中从lo到hi为一组从mid1到hi为一组进行归并 4. private static boolean less(Comparable v, Comparable w)比较v元素是否小于w元素成员变量1. private static Comparable[] assist完成归并操作需要的辅助数组
代码实现
Merge
package com.itcast.algorithm.sort;/*** Author: Juechen* Date: 2024/5/2* Description: 归并排序* Version: 1.0**/
public class Merge {// 归并所需要的辅助数组private static Comparable[] assist;/*** 比较v元素是否小于w元素*/private static boolean less(Comparable v, Comparable w) {return v.compareTo(w) 0;}/*** 对数组a中的元素进行排序*/public static void sort(Comparable[] a) {// 1.初始化辅助数组assist new Comparable[a.length];// 2.定义一个lo变量和hi变量分别记录数组中最小的索引和最大的索引int lo 0;int hi a.length - 1;// 3.调用sort重载方法完成数组a中从索引lo到索引hi的元素的排序sort(a, lo, hi);}/*** 对数组a中从lo到hi之间的元素进行排序*/private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {// 安全性校验if (hi lo) {return;}// 对lo到hi之间的数据进行分组int mid lo (hi - lo) / 2;// 分别对每一组数据进行排序sort(a, lo, mid);sort(a, mid 1, hi);// 再把两个组中的数据进行归并merge(a, lo, mid, hi);}/*** 对数组a中从lo到hi为一组从mid1到hi为一组进行归并*/private static void merge(Comparable[] a, int lo, int mid, int hi) {// 定义三个指针int p1 lo;int p2 mid 1;int p3 lo; // 记录辅助数组中的索引// 遍历移动p1指针和p2指针比较对应索引处的值将较小的值放入辅助数组中while (p1 mid p2 hi) {if (less(a[p1], a[p2])) {assist[p3] a[p1];} else {assist[p3] a[p2];}}// 如果p1的指针没有走完那么顺序移动p1指针把对应的元素放到辅助数组中while (p1 mid) {assist[p3] a[p1];}// 如果p2的指针没有走完那么顺序移动p1指针把对应的元素放到辅助数组中while (p2 hi) {assist[p3] a[p2];}// 把辅助数组中的元素拷贝到原数组中for (int i lo; i hi; i) {a[i] assist[i];}}
}
TestMerge
package com.itcast.algorithm.test;import com.itcast.algorithm.sort.Merge;import java.util.Arrays;/*** Author: Juechen* Date: 2024/5/2* Description: 测试归并排序* Version: 1.0**/
public class TestMerge {public static void main(String[] args) {Integer[] arr {8,4,5,7,1,3,6,2};Merge.sort(arr);System.out.println(Arrays.toString(arr));}
}
时间复杂度分析
归并排序是分治思想的最典型的例子上面的算法中对a[lo…hi]进行排序先将它分为a[lo…mid]和a[mid1…hi]两部分分别通过递归调用将他们单独排序最后将有序的子数组归并为最终的排序结果。该递归的出口在于如果一个数组不能再被分为两个子数组那么就会执行merge进行归并在归并的时候判断元素的大小进行排序。 用树状图来描述归并如果一个数组有8个元素那么它将每次除以2找最小的子数组共拆log8次值为3所以树共有3层,那么自顶向下第k层有2^K个子数组每个数组的长度为2 ^(3-K)归并最多需要2 ^(3-K)次比较。因此每层的比较次数为 2^k * 2^(3-k)2N3,那么3层总共为 3*2^3。
假设元素的个数为n那么使用归并排序拆分的次数为log2(n),所以共log2(n)层那么使用log2(n)替换上面3* 2^3中的3这个层数最终得出的归并排序的时间复杂度为 :log2(n)* 2^(log2(n))log2(n)*n,根据大O推导法则忽略底数最终归并排序的时间复杂度为O(nlogn)。
归并排序的缺点
需要申请额外的数组空间导致空间复杂度提升是典型的以空间换时间的操作。 2.3快速排序Quick Sort
快速排序是对冒泡排序的一种改进。它的基本思想是:通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序整个排序过程可以递归进行以此达到整个数据变成有序序列。
排序原理
首先设定一个分界值通过该分界值将数组分成左右两部分 ;将大于或等于分界值的数据放到到数组右边小于分界值的数据放到数组的左边。此时左边部分中各元素都小于或等于分界值而右边部分中各元素都大于或等于分界值;然后左边和右边的数据可以独立排序。对于左侧的数组数据又可以取一个分界值将该部分数据分成左右两部分同样在左边放置较小值右边放置较大值。右侧的数组数据也可以做类似处理。重复上述过程可以看出这是一个递归定义。通过递归将左侧部分排好序后再递归排好右侧部分的顺序。当左侧和右侧两个部分的数据排完序后整个数组的排序也就完成了。 排序API设计
类名Quick构造方法Quick创建Quick对象成员方法1. public static void sort(Comparable[] a):对数组a中的元素进行排序 2. private static boolean less(Comparable v, Comparable w)判断v是否小于w从小到大排序 3. private static void exch(Comparable[] a, int i, int j)交换数组中i和j位置的元素 4. private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi)对数组a中从lo到hi之间的元素进行排序 5. private static int partition(Comparable[] a, int lo, int hi)对数组a中从索引lo到索引hi之间的元素进行分组并返回分组界限对应的索引
代码实现
Quick
package com.itcast.algorithm.sort;/*** Author: Juechen* Date: 2024/5/2* Description: 快速排序* Version: 1.0**/
public class Quick {/*** 比较v元素是否小于w元素*/private static boolean less(Comparable v, Comparable w) {return v.compareTo(w) 0;}/*** 数组元素i和j交换位置*/private static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {Comparable t a[i];a[i] a[j];a[j] t;}/*** 对数组a中的元素进行排序*/public static void sort(Comparable[] a) {int lo 0;int hi a.length - 1;sort(a, lo, hi);}/*** 对数组a中从lo到hi之间的元素进行排序*/private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {if (hi lo) {return;}int partition partition(a, lo, hi); // 返回的是分界值变换后的索引// 让左子组有序sort(a, lo, partition - 1);// 让右子组有序sort(a, partition 1, hi);}/*** 对数组a中从索引lo到索引hi之间的元素进行分组并返回分组界限对应的索引*/private static int partition(Comparable[] a, int lo, int hi) {// 确定分界值Comparable key a[lo];// 定义两个指针分别指向待切元素的最小索引处和 最大索引处的下一个位置int left lo;int right hi 1;// 开始切分while (true) {// 从左往右扫描找到第一个大于等于key的元素while (less(a[left], key)) {if (left hi) {break;}}// 从右往左扫描找到第一个小于key的元素while (less(key, a[--right])) {if (right lo) {break;}}// 如果left和right相遇则退出循环if (left right) {break;} else {// 交换left和right指向的元素exch(a, left, right);}}// 交换分界值exch(a, lo, right);return right;}
}
TestQuick
package com.itcast.algorithm.test;import com.itcast.algorithm.sort.Quick;import java.util.Arrays;/*** Author: Juechen* Date: 2024/5/3* Description: 测试快速排序* Version: 1.0**/
public class TestQuick {public static void main(String[] args) {Integer[] arr {6, 1, 2, 7, 9, 3, 4, 5, 8};Quick.sort(arr);System.out.println(Arrays.toString(arr));}
}
快速排序和归并排序的区别
快速排序是另外一种分治的排序算法它将一个数组分成两人子数组将两部分独立的排序。快速排序和归并排序是互补的:归并排序将数组分成两个子数组分别排序并将有序的子数组归并从而将整个数组排序而快速排序的方式则是当两个数组都有序时整数组自然就有序了。在归并排序中一个数组被等分为两半归并调用发生在处理整个数组之前在快速排序中切分数组的位置取决于数组的内容递归调用发生在处理整个数组之后。
时间复杂度分析
快速排序的一次切分从两头开始交替搜索直到left和right重合因此一次切分算法的时间复杂度为O(n),但整个快速排序的时间复杂度和切分的次数相关。
最优情况 : 每一次切分选择的基准数字刚好将当前序列等分。 如果我们把数组的切分看做是一个树那么上图就是它的最优情况的图示共切分了logn次所以最优情况下快速排序的时间复杂度为O(nlogn);
最坏情况:每一次切分选择的基准数字是当前序列中最大数或者最小数这使得每次切分都会有一人子组那么总共就得切分n次所以最坏情况下快速排序的时间复杂度为O(n^2); 平均情况每一次切分选择的基准数字不是最大值和最小值也不是中值这种情况我们也可以用数学归纳法证明快速排序的时间复杂度为0(nlogn),由于数学归纳法有很多数学相关的知识容易使我们混乱所以这里就不对平均情况的时间复杂度做证明了。
三、排序稳定性
稳定性的定义
数组arr中有若干元素其中A元素和B元素相等并且A元素在B元素前面如果使用某种排序算法排序后能够保证A元素依然在B元素的前面可以说这个该算法是稳定的。
稳定性的意义
如果一组数据只需要一次排序则稳定性一般是没有意义的如果一组数据需要多次排序稳定性是有意义的。例如要排序的内容是组商品对象第一次排序按照价格由低到高排序第二次排序按照销量由高到低排序如果第二次排序使用稳定性算法就可以使得相同销量的对象依旧保持着价格高低的顺序展现只有销量不同的对象才需要重新排序。这样既可以保持第一次排序的原有意义而且可以减少系统开销。
常见排序算法的稳定性
冒泡排序 : 只有当arr[i]arr[i1]的时候才会交换元素的位置而相等的时候并不交换位置所以冒泡排序是一种稳定排序算法。 选择排序: 选择排序是给每个位置选择当前元素最小的,例如有数据{5(1)8, 5(2)29},第一遍选择到的最小元素为2所以5(1)会和2进行交换位置此时5(1)到了5(2)后面破坏了稳定性所以选择排序是一种不稳定的排序算法。 插入排序: 比较是从有序序列的末尾开始也就是想要插入的元素和已经有序的最大者开始比起如果比它大则直接插入在其后面否则一直往前找直到找到它该插入的位置。如果碰见一个和插入元素相等的那么把要插入的元素放在相等元素的后面。所以相等元素的前后顺序没有改变从原无序序列出去的顺序就是排好序后的顺序所以插入排序是稳定的。 希尔排序 : 希尔排序是按照不同步长对元素进行插入排序,虽然一次插入排序是稳定的不会改变相同元素的相对顺序但在不同的插入排序过程中相同的元素可能在各自的插入排序中移动最后其稳定性就会被打乱所以希尔排序是不稳定的。 归并排序: 归并排序在归并的过程中只有arr[i]arr[i1]的时候才会交换位置如果两个元素相等则不会交换位置所以它并不会破坏稳定性归并排序是稳定的。 快速排序 快速排序需要一个基准值在基准值的右侧找一个比基准值小的元素在基准值的左侧找一个比基准值大的元素然后交换这两个元素此时会破坏稳定性所以快速排序是一种不稳定的算法。
