游戏网站建设多少,seo关键词优化,网站异常传播怎么解除,试卷a《网站建设与管理》39年来一个看似理所当然的数学理论#xff0c;刚刚被数学家证伪#xff01;UCLA和MIT的研究者证实#xff1a;概率论中众所周知的假设「上下铺猜想」是错的。有趣的是#xff0c;他们用AI已经证明到了99.99%的程度#xff0c;但最终#xff0c;靠的还是理论论证。
又一个… 39年来一个看似理所当然的数学理论刚刚被数学家证伪UCLA和MIT的研究者证实概率论中众所周知的假设「上下铺猜想」是错的。有趣的是他们用AI已经证明到了99.99%的程度但最终靠的还是理论论证。
又一个看似坚固无比的数学理论被证伪了
最近UCLA和MIT的研究者证伪了概率论中众所周知的假设——「上下铺猜想」。 上下铺猜想Bunkbed Conjecture也称为双层床猜想是渗透理论中的一个陈述该领域处理的是在图的边随机删除后存在的路径和簇。
猜想指出在生成的随机子图中上下铺的顶点连接到上下铺的某个顶点的概率大于或等于它连接到下上铺顶点——即对应同构顶点的概率。
用白话说就是在同一层的两个顶点之间的连接概率不可能小于连接不同层顶点之间的概率。这看起来确实再明显不过了 1985年数学家Pieter Kasteleyn首次提出了上下铺猜想。
然而这个问题的猜想却让几代概率论学家都束手无策一直作为一个多年未解的难题存在至今。原因在于……它是错的
39年后来自UCLA和MIT的三位研究者在使用AI工具却多次折戟后采用了全新的方法发现了它的反例。 论文地址https://arxiv.org/abs/2410.02545
由此在学界似乎坚固无比的「上下铺猜想」自然就被推翻了。
此前大量的工作都被用在证明这个猜想的正确性上然而这几位研究者却反其道而行之经历多次失败后终于找到了反例。 猜想十分符合直觉但是错的
许多数学家做研究的过程是由直觉驱动的比如可以感知数学真理的印度数学天才拉马努金。
这种直觉来自对某些事情应该为真的深刻认知。但有时直觉也会误导数学家因为早期证据无法代表全貌一个看似显而易见的陈述也会有某些隐藏的细微之处。
20世纪80年代中期一位名叫Pieter Kasteleyn的荷兰物理学家想要在数学上证明一个关于液体如何在多孔固体中流动的推断。
由此他提出了上下铺猜想。
要理解这个猜想要先从一个图开始这个图是由线或边连接的点或顶点的集合。 现在让我们做一个这个图的精确副本然后将它直接放置在原始图的上方。
在它们之间画一些垂直的柱子——这些是连接底部图上一些顶点与顶部图上对应顶点的额外边。
最终我们会得到一个类似于上下铺的结构。 接下来考虑底部图中的一条边。
抛一次硬币如果是正面就擦掉这条边如果是反面就保留这条边。对两个图中的每条边重复这一过程。
最终顶部和底部的图会看起来不同但它们仍然会通过垂直的「柱子」相连。 最后在底部图中选择两个顶点。
你能沿着图的边从一个顶点走到另一个顶点吗还是这两个顶点现在已经不连通了
对于任何一个图你都可以计算出存在路径的概率。
现在再来看这两个相同的顶点不过把其中一个替换为它在顶部图中正上方的顶点。有没有一条路径可以让你从底部图中的起点顶点到顶部图中的终点顶点 此处再复习一下上下铺猜想认为在下铺找到路径其概率总是大于或等于跳到上铺找到路径的概率。
无论从哪个图开始在上下铺之间画多少垂直柱选择哪些起始和终点顶点都不影响这一事实。
从直觉上看这是个理所当然的事。 「我们的大脑告诉我们的任何信息都表明这个猜想应该是正确的」普林斯顿大学的图论学家Maria Chudnovsky这样说
也因此几十年来数学家们一直认为这是真的。
他们的直觉告诉他们在一个铺位上移动应该比在两个铺位之间移动更容易——从下铺到上铺所需的额外垂直跳跃应该会显著减少可用路径的数量。
而且数学家们也希望它是真的。因为这些图可以被视为流体如何在多孔材料中移动或渗透的简化模型就像水在海绵中移动一样。 如果上下铺猜想成立物理学中被广泛相信的流体通过固体的可能性也就成立渗流物理学的相关问题也能被解决。
然而数学家们在39年间尝试了无数次却无人能够证明。
原因就在于——上下铺猜想是错的 尝试用神经网络证伪
并不是所有数学家都相信上下铺猜想的真实性加州大学洛杉矶分校的数学家Igor Pak就是其中一个。
他的研究生Nikita Gladkov表示对于学界一直集中精力试图证明这个猜想自己的导师毫不掩饰自己的批评。「如果它是错的呢」 Nikita Gladkov
Igor Pak的怀疑还有一个理由这个说法过于宽泛了。它真的适用于每个可想象的图吗
「有些猜想是由实际动机驱动的而其他猜想则是数学家的一厢情愿。」上下铺猜想看起来更像是后者。 Igor Pak的博客
早在2022年他就开始着手推翻它。
花了一年时间后他以失败告终。
Igor Pak意识到是时候上一些暴力了他让学生Gladkov使用计算机对能找到的每一个图进行「暴力搜索」。
这就涉及到一些复杂的编程因此Gladkov找来了大学室友、现MIT研究生Aleksandr Zimin也是自己睡在下铺的兄弟。 Aleksandr Zimin
三人开始手动检查少于九个顶点的每一个可能的图。在这些图中上下铺猜想是成立的。
但对于更大的图可能的情况数量就一下子激增他们无法再通过穷举法穷尽所有可能的边缘删除方式或路径形成方式了。
随后陷入困顿的三人转向了AI。
使用机器学习方法他们训练了一个神经网络用于生成可能更偏好向上跳跃的迂回路径图。
在众多示例中他们发现下铺路径会比上铺替代路径概率稍高一点。但模型始终没有发现任何反例——也就是不同层路径概率更高的情况。
还有一个问题就是神经网络生成的每个图过于庞大以至于数学家们根本不可能调查抛硬币步骤的每一个结果。
相反团队必须计算这些结果子集上上下路径的概率。
他们意识到自己可以对神经网络给出的任何反例有超过99.99%的信心却始终无法达到100%。
三人陷入怀疑这种方法是否还值得毕竟只能达到99%而非百分百的证明根本不足以说服数学圈也不会被哪个著名期刊认为是足够严谨的证明。
「博士生需要的是现实中的工作而不是理论上的工作」Pak在博客上写道。Gladkov和Zimin很快就要找工作了最终三人停止了这项工作。
虽然他们放弃了计算方法却并未停止思考这个问题。接下来的几个月他们拼命想做出一个不需要计算机的理论论证却缺少所需的所有要素。
就在这时一项来自英国的研究让事情有了转机。 最后不用计算机了 6月剑桥大学的Lawrence Hollom在另一种语境下证伪了上下铺问题的一个版本。
这个猜想的表述并非针对图而是研究称为超图hypergraph的数学对象。在超图中边的定义不再局限于连接一对顶点而是可以连接任意数量的顶点。
Hollom找到了这个版本猜想的一个反例。他创建了一个小型超图每条边都连接三个顶点 Gladkov发现这篇论文后意识到这正是他们三人所需要的
他从晚上一直读到凌晨3点并在睡觉前给Zimin发了短信。第二天两个人便通了电话。就能否将Hollom的反例转化为一个能否推翻原始上下铺猜想的普通图展开了讨论。 其实这对老朋友之前就考虑过如何将超图转化为图。
去年年初他们在一起参加音乐会之前讨论过这个问题。「红辣椒乐队在唱歌而我在思考这个问题」Gladkov说道。
后来他们开发出了可以在特定情况下将超图转化为图的技术。
如今这些技术刚好可以用来改造Hollom的超图。 Gladkov、Pak和Zimin用庞大的点集和普通边组成的集群替换了超图中的每个三顶点边。
最终他们得到了一个巨大的图由7,222个顶点和14,422条边连接而成。
他们放弃了AI的方法后利用构建的理论来重新证明。
最终他们在图中发现对于位于下路径的点找到上路径的概率比找到下路径高出1/10^6,500个百分点——虽然这个数值极小但并不为0。
由此可以证明上下铺猜想是错误的 果然数学家们在任何时刻都不能想当然地接受任何事。普林斯顿数学家Noga Alon表示「我们必须保持怀疑即便是那些直觉上看起来极有可能为真的事情。」
不过Gladkov、Pak和Zimin只是找到了许多符合该猜想的小图但这些例子并且最终反映出——当顶点和边的数量足够多时数学家可以构造出更为复杂且反直觉的图。
正如Hollom所言「我们真的像我们自认为的那样理解所有东西吗」
目前数学家们仍然相信激发上下铺猜想的关于固体中连接位置的物理命题。但他们需要找到其他方法来证明它。
与此同时Pak表示数学家们显然需要更积极地讨论数学证明的本质。他们最终并未依赖有争议的计算方法而是以完全确定的方式推翻了猜想。
但随着计算机和AI的研究方法在数学研究中变得越来越普遍一些数学家也在讨论该领域的规范是否需要改变
「这是一个哲学问题」Alon说道「我们该如何看待那些仅在高概率下成立的证明呢」
罗格斯大学的数学家Doron Zeilberger认为未来的数学圈会接受这样的概率性证明。在50年内或更短时间内人们就会形成全新的态度。
在论文中他经常把自己的计算机Shalosh B. Ekhad列为合著者。 「Shalosh」和「Ekhad」在希伯来语中分别意为「三」和「一」也就是Zeilberger第一台计算机ATT 3B1代指他所用到的任意一台——从新泽西办公室里的戴尔电脑到偶尔在奥地利调用的超级计算机
但也有一些人则担心这样的未来可能会危及一些根本性的东西。「概率性证明可能会削弱我们对问题本质的理解和直觉」Alon认为。
最后Pak建议鉴于这类研究日益增多应该为它们创建专门的学术期刊以免其价值被数学界忽视。
「这个问题没有标准答案。但我希望学术界能够认真思考当下一个类似的研究结果出现时我们是否应该接受它。」
随着AI等技术持续渗透和改变数学领域这个问题只会愈发紧迫。
团队介绍
Nikita Gladkov Nikita Gladkov是加州大学洛杉矶分校数学系博士生导师是Igor Pak。
此前他在俄罗斯高等经济学院获得数学学士学位导师是Alexander Kolesnikov并曾在Yandex数据分析学校学习数据分析。
Igor Pak Igor Pak是加州大学洛杉矶分校数学系教授隶属于组合数学研究组这是美国最古老的组合数学研究组之一。
此前他曾在明尼苏达大学和麻省理工学院担任过副教授在耶鲁大学担任过J. W. Gibbs讲师并在MSRI担任过博士后研究员。
他于1993年在莫斯科国立大学获得数学学士学位1997年在哈佛大学获得数学博士学位
Aleksandr Zimin Aleksandr Zimin是麻省理工学院数学系博士三年级学生在Philippe Rigollet教授的指导下进行研究。主要研究领域是最优运输理论。
他正在和Alexander Kolesnikov和Nikita Gladkov一起研究Monge-Kantorovich问题的广义化并与Aleh Tsyvinski耶鲁大学和Job Boerma威斯康星大学麦迪逊分校合作研究在经济学中的应用。
同时他还对计算机科学有浓厚的兴趣——曾在Yandex数据分析学校完成了为期两年的课程深入学习了机器学习的不同领域。
他具有丰富的高质量计算机代码编写经验从而能够在研究中进行复杂的数值实验。
他于2019年在莫斯科高等经济大学以最高荣誉获得数学学士学位2021年在俄罗斯斯科尔科沃科学技术研究院获得数学与理论物理硕士学位同年在莫斯科高等经济大学获得数学硕士学位。
参考资料
https://www.quantamagazine.org/maths-bunkbed-conjecture-has-been-debunked-20241101/
https://igorpak.wordpress.com/2024/10/01/the-bunkbed-conjecture-is-false/
