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1.1 树的概念
树是一种非线性的数据结构它是由 n (n0) 个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树也就是说它是根朝上而叶朝下。 1.有一个特殊的结点称为根结点根节点没有前驱结点 2. 除根节点外其余结点被分为 M (M0) 个互不相交的集合 T1、T2 … 、Tm其中每一个集合 Ti (1im) 又是一棵结构与树类似的子树每棵子树的根结点有且只有一个前驱可以有0个或多个后继 3. 因此树是递归定义的 注意树形结构中子树之间不能有交集否则就不是树形结构 ▶ 子树是不相交的 ▶ 除了根节点外每个节点有且仅有一个父节点 ▶ 一棵 N 个节点的树有 N-1 条连
1.2 树的相关概念 1.节点的度一个节点含有的子树的个数称为该节点的度 如上图A 的为6 2.叶节点或终端节点度为0的节点称为叶节点 如上图B、C、H、I…等节点为叶节点 3.非终端节点或分支节点度不为0的节点 如上图D、E、F、G…等节点为分支节点 4.双亲节点或父节点若一个节点含有子节点则这个节点称为其子节点的父节点 如上图A 是 B 的父节点 5.孩子节点或子节点一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点 如上图B 是 A 的孩子节点 6.兄弟节点具有相同父节点的节点互称为兄弟节点 (这里指的是亲兄弟而非表堂兄弟) 如上图B、C 是兄弟节点 7.树的度一棵树中最大的节点的度称为树的度 如上图树的度为 6 8.节点的层次从根开始定义起根为第 1 层根的子节点为第 2 层 以此类推如上图树的层次为 4 9.树的高度或深度树中节点的最大层次 (这里有 2 种说法一根算 0;二根算 1) 如上图树的高度为 4 - 这里推荐理解其二因为 当要算空树的高度是多少时按一的理解高度是 -1按二的理解高度是 0 当要算只有一个根节点的树的高度是多少时按一的理解高度是 0按二的理解高度是 1 10.堂兄弟节点双亲在同一层的节点互为堂兄弟如上图H、I 互为兄弟节点 11.节点的祖先从根到该节点所经分支上的所有节点如上图A 是所有节点的祖先 12.子孙以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图所有节点都是 A 的子孙 13.森林由 m(m0) 棵互不相交的树的集合称为森林并查集就是一个森林 1.3 树的表示
树结构相对线性表就比较复杂了要存储表示起来比较麻烦既要保存值域也要保存结点和结点之间的关系。实际中树有很多种表示方式如双亲表示法孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
注意对于树的定义其实并不好定义因为其中有许多未知的因素
1、除非明确说明树的度是多少比如树的度是 6
struct TreeNode
{int data;//这种结构其实是很浪费的因为最大的度是6,但往下可能并没有那么多struct TreeNode* subs[6];//指针数组
}2、如果没有说明树的度是多少可以使用顺序表存储
struct TreeNode
{int data;SeqList subs;//顺序表中存储的是节点的指针//vectorstruct TreeNode*subs;//在C学了模板后可以这样定义
}3、双亲表示法
struct TreeNode
{int data;struct TreeNode* parent;
}4、左孩子右兄弟表示法 (比较实用)
typedef int DataTpye;
struct Node
{struct Node* firstChild1;//第一个孩子节点(如有多个孩子那么只指向最左边的)struct Node* pNextBrother;//指向下一个兄弟节点DataType data;//节点中的数据域
}1.3 树在实际中的运用
表示文件系统的目录树结构
2.二叉树概念及结构
2.1 二叉树的概念
一棵二叉树是节点的一个有限集合该集合 1、或者为空 2、由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
1.二叉树不存在度大于 2 的结点 2.二叉树的子树有左右之分次序不能颠倒因此二叉树是有序树
注意对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的
2.2 特殊的二叉树
2.2.1 满二叉树
一个二叉树如果每一个层的结点数都达到最大值则这个二叉树就是满二叉树。也就是说如果一个二叉树的层数为 K且结点总数是 2^k - 1则它就是满二叉树。
2.2.2 完全二叉树
完全二叉树的前 k - 1 层都满的第 k 层不一定满(这就意味着满二叉树是完全二叉树但完全二叉树不一定是满二叉树)但是从最后一层从左到右必须是连续的也就是说完全二叉树中度为 1 的节点最少 0 个最多 1 个。完全二叉树是效率很高的数据结构是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K 的有 n 个结点的二叉树且每个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点 一一 对应称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。 ▶ 满二叉树的节点个数是等比求和
2^0 2^1 2^2 … 2^(h-1)
利用公式所以满二叉树的节点个数就是 2^h - 1
▶ 完全二叉树的节点个数
最多 2^h - 1 这是满二叉树
最少2^(h-1) - 1 1 - 2^(h-1)
2(^h-1) - 1 这是前 k-1 层节点的个数1 则是第 k 层至少一个
2.3 二叉树的性质
1.若规定根节点的层数为 1则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 2^(i-1) 个结点
2.若规定根节点的层数为 1则深度为 h 的二叉树的最大结点数是2^h - 1
3.对任何一棵二叉树, 如果度为 0 其叶结点个数为 n₀, 度为 2 的分支结点个数为 n₂,则有 n₀ n₂1 4.若规定根节点的层数为 1具有 n 个结点的满二叉树的深度为 h log₂(n1) pslog₂(n1)是 log 以 2 为底 n1 的对数
5.对于具有 n 个结点的完全二叉树如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从 0 开始编号则对于序号为 i 的结点有
▶ 若 i0i 位置节点的双亲序号(i-1)/2i0i 为根节点编号无双亲节点
▶ 若 2i1n左孩子序号2i12i1n 否则无左孩子
▶ 若 2i2n右孩子序号2i22i2n 否则无右孩子
2.4 二叉树的概念选择题 1、某二叉树共有 399 个结点其中有 199 个度为 2 的节点则该二叉树中的叶子节点数为 A. 不存在这样的二叉树 B. 200 C. 198 D. 199 分析这里的叶子节点就是度为 0 的节点已知二叉树中度为 2 的节点为 199 个则度为 0 的节点等于度为 2 的节点 1所以选择 B 选项 2、下列数据结构中不适合采用顺序存储结构的是 注意此题可以先了解下面的二叉树的存储结构在来做 A. 非完全二叉树 B. 堆 C. 队列 D. 栈 分析顺序结构存储就是使用数组来存储它只适合表示完全二叉树因为不是完全二叉树会有空间的浪费。数组只适合存储完全二叉树或者满二叉树。 所以选择 A 选项 3、在具有 2n 个节点的完全二叉树中叶子节点个数为 A. n B. n1 C. n-1 D. n/2 分析 假设度为 0 的个数是 x0度为 2 的个数是 x2度为 1 的个数是 x1那么 ▶ x0 x1 x2 2n ▶ x0 x2 1 由 x0 x2 1 得到 x2 x0 - 1 所以 x0 x1 x2 2n -- x0 x1 x0 - 1 2n -- 2x0 x1 - 1 2n 又因为完全二叉树中度为 1 的节点最少 0 个最多就只有 1 个所以 x1 0 or 1 所以 2x0 x1 - 1 2n 就有 2 种情况 ▶ 2x0 0 - 1 2n ▶ 2x0 1 - 1 2n 当 x1 0 时x0为小数显然不可能当 x1 1 时满足所以选择 A 选项 4、一棵完全二叉树的节点数为 531 个那么这棵树的高度为 A. 11 B. 10 C. 8 D. 12 分析 假设完全二叉树的高度是 h那么最多有 2^h-1 个节点最少有 2^(h-1) 个节点 ▶ h 11 时最多 2047最少 2014所以不合理 ▶ h 10 时最多 1023最少 512所以合情合理 ▶ h 8 时最多 255最少 128所以不合理 ▶ h 12 时最多 4095最少 2048所以不合理 所以选择 B 选项 5、一个具有 767 个节点的完全二叉树其叶子节点个数为 ( ) A. 383 B. 384 C. 385 D. 386 分析此题类似于第 3 题 假设度为 0 的个数是 x0度为 2 的个数是 x2度为 1 的个数是 x1那么 ▶ x0 x1 x2 767 ▶ x0 x2 1 由 x0 x2 1 得到 x2 x0 - 1 所以 x0 x1 x2 767 同 x0 x1 x0 - 1 767 同 2x0 x1 - 1 767 完全二叉树中度为 1 的节点最少 0 个最多就只有 1 个 所以 x1 0 or 1 所以 2x0 x1 - 1 767 就有 2 种情况 ▶ 2x0 0 - 1 767 ▶ 2x0 1 - 1 767 当 x1 0 时满足条件当 x1 1 时不满足条件所以选择 B 选项
2.5 二叉树的存储结构
二叉树一般可以使用两种结构存储一种顺序结构一种链式结构
2.5.1. 顺序存储
顺序结构存储就是使用数组来存储它只适合表示完全二叉树因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实使用中只有堆才会使用数组来存储二叉树顺序存储在物理上是一个数组在逻辑上是一颗二叉树。如下图所见数组只适合存储完全二叉树或者满二叉树。
怎么表示二叉树的值在数组位置中父子下标关系的 左孩子和右孩子 leftchild parent * 2 1 rightchild parent * 2 2 父亲 (这里无论是左孩子还是右孩子都适用于以下公式) parent (child - 1) / 2 2.5.2. 链式存储
二叉树的链式存储结构是指用链表来表示一棵二叉树即用链表来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成数据域和左右指针域左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链的存储地址。
链式结构又分为二叉链和三叉链现阶段本篇文章我们只了解二叉链在以后的文章内写到高阶数据结构时如红黑树等会用到三叉链。
二叉链只能通过父亲找孩子类似于单向链表而三叉链不仅能通过父亲找孩子还能通过孩子找父亲类似于双向链表。
typedef int BTDataType;
//二叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinaryTreeNode* _pLeft; //指向当前节点的左孩子struct BinaryTreeNode* _pRight; //指向当前节点的右孩子 BTDataType _data; //当前节点的值域
}//三叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinaryTreeNode* _pParent; //指向当前节点的父亲struct BinaryTreeNode* _pLeft; //指向当前节点的左孩子struct BinaryTreeNode* _pRight; //指向当前节点的右孩子BTDataType _data; //当前节点的值域
}3.总结
今天我们认识并学习了树与二叉树的相关概念对树与二叉树有了一个整体的认识。并且对二叉树的两种存储结构也有了一定的了解。下一篇博客我们将学习二叉树顺序结构和实现以及堆的概念及结构。希望我的文章和讲解能对大家的学习提供一些帮助。 当然本文仍有许多不足之处欢迎各位小伙伴们随时私信交流、批评指正我们下期见~
