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周长为11#xff0c;且各边长均为整数的三角形有哪些#xff1f;
【答案】
四种#xff0c;边长分别为#xff1a;
2 4 5
3 3 5
1 5 5
3 4 4
【解析】
讲解等腰三角形的概念时#xff0c;传统方法一般向学生展示一个等腰三角形的实物模型#xff0c;这…【题目】
周长为11且各边长均为整数的三角形有哪些
【答案】
四种边长分别为
2 4 5
3 3 5
1 5 5
3 4 4
【解析】
讲解等腰三角形的概念时传统方法一般向学生展示一个等腰三角形的实物模型这种方法很直观学生也很容易理解。
但是这种方式本质上是一种“告知”的教授方式学生在学习的过程中缺少深入思考。
数学的教学建议都从问题出发问题是引发思考的最佳武器。
比如通过本题就会让学生在解题过程中自然而然地“发现”等腰三角形这就变成了从思考中理解“等腰三角形”而不是从实物中理解。
本题属于一道开放的问题所谓的开放是指问题有多个解。
一、找三角形
1学生自主找图形
由于问题比较简单所有学生都能积极参与根据构成三条形的条件可以找出符合条件的三方形共有4种 2讨论找图形的方法
找完图形可以寻问学生找图形的方法可能学生找的方法不尽相同大多数人可能都是一个个数去试。
这时候就可以总结归纳出找图形的方法。
因为构成三角形的本质条件是两边之和大于最长边即abcc≥ac≥b。
注不明白这个结论的可以参见老金之前的文章“三角形和直角三角形的构成条件及证明”
三角形和直角三角形的构成条件及证明_三边构成三角形的充要条件
一共有三条边以哪条边的边长作为抓手去找三角形最快呢
想想就容易明白咱们要比较两短边和最长边的关系而三边之和咱们又知道所以很容易判断出最长边的最大值是5。因为最长边如果是6以上的话就会导致两短边之和小于最长边11-6565。
所以咱们应以最长边的边长为抓手从最大边长5开始找。
这就是“有序思考”。
下面依次列举
(1)最长边为5也就是两短边之和为6列举两短边
3 3
2 4
1 5
一共不就这三种嘛
(2)最长边为4两短边之和为7列举两边
3 4
2 5
1 6
后两种因为两短边有一边边长已经超过了最长边4所以不符合因此只有第一种符合条件。
注意咱们列举的次序要从a、b值最接近的情况开始列举即a、b之差最小。原因很简单这样的数肯定是最能保证c≥ac≥b成立这样一旦遇到列举了数字出现大于c的情况后面的就不用再列举了。这也是有序思考。
(3)最长边为3的情况两短边之和为8。
即便a、b取最接近的值即ab4其值也必然大于最长边所以后面的情况都不用讨论了符合条件的就上面4种。
3求证最长边的取值范围
上述结论也可以通过解不等式的方式得出但老金实在觉得这种想想就能得出的思路没必要用到不等式。这里仅作证明之用
abc这个不等式由两部分构成左边是ab右边是c咱们要判定的是二者的大小关系。
已知abc11解上面这个不等式很容易发现你无法得出a、b的取值范围但却可以得出c的取值范围。
将ab用11-c代入不等式解得c11/2。因为边长为整数所以c只能取值为1、2、3、4、5。
另外如果你想还可以求出c的最小值。
因为已知c≥ac≥b两不等式相加得2c≥ab将abc11代入不等式解得c≥11/3所以c的最小值为4。
从而得出c的取值只有4、5。
完了吗没完我们正在接近一个真理。
11是这个三角形的周长有什么理由想不到11/3≤c11/2可以表示成P/3≤cP/2呢
这正是一个对任何周长、最长边都适用的结论。
也就是说我们发现了一个定理任何三角形的最长边都大于等于周长的三分之一小于周长的一半。
现在你掌握了这个结论回头你就可以直用这个结论做找三角形的题目了做题速度自然会大大提升。
其实这个结论没什么高深之处想想就能明白。就好比有一块大蛋糕如果两个人分怎样保证你分到的一定小于另一个人分到的显然你分到的要小于蛋糕的一半。如果三个人分呢怎么保证你分到的一定不小于另两个人各自分到的显然你至少要分到蛋糕的三分之一。因为一旦你分到的小于三分之一另两人分到的和就会大于三分之二其中必有一人分到的大于三分之一。
二、三角形分类
找出三角形后就可以让学生对这4个三角形进行分类这样才能导出等腰三角形的概念。
因为4个三角形中有3个等腰三角形就像黑夜中的萤火虫那样的鲜明那样的出众所以学生会很容易发现有的三角形有两条边相等。
这是他们自己发现的概念。
三、等腰三角形的特征
让学生对比找到的等腰三角形与非等腰三角形猜猜他们有什么不一样
这时候可能就会有人猜到它们有两个角也相等。
然后就可以尝试证明这个结论。
因为此时已学过全等三角形要证明并不难。
于是学生就可以自己导出等腰三角形的性质这种自己做出东西来的感觉是被告知完全不能比的。
四、三角形坐姿
好看的皮囊千篇一律有趣的灵魂万里挑一。
虽然同为等腰三角形咱们找到的这三位长像却不一样。
如果再调整一下它们的坐姿呢。
像前面的三个不同视角顶角朝上、顶角朝右、顶角朝下放置等腰三角形可以为等腰三角形的辨析提供了较好的变式训练。
顶角未必在上底角也未必在下。
五、为什么是11
最后一个问题你可曾想过这道题目为什么要把周长设为11
这其实是因为它是既能构成等腰三角形、又能构成非等腰三角形的最小周长。
你可以试式11以下的周长会不会找出两类三角形。
