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特征值可以为零。说特征向量要指明是哪个特征值对应的特征向量。n阶上三角下三角对角矩阵的特征值就是主对角线上的元素。矩阵无除法。即 A − 1 B 1 A B ≠ B A A^{-1}B\frac{1}{A}B≠\frac{B}{A} A−1BA1BAB若λ是矩阵A的特征值α是λ对应的特征向量则 c α cα cα也是λ的特征向量。c为常数 α 1 α 2 α_1α_2 α1α2是 A A A的特征向量则 c 1 α 1 c 2 α 2 c_1α_1c_2α_2 c1α1c2α2也是 A A A的特征向量。 c 1 , c 2 c_1,c_2 c1,c2为常数一个特征值可以对应多个特征向量一个特征向量只能对应一个特征值。若A、B相似则A、B同时可逆或同时不可逆。
易错点
书写特征方程式一定要注意检查式子写的是否正确这步出错了后面就都会错。
题型总结
一、求特征值和特征向量
步骤 1列特征方程求出特征值。 2取一个λ代入 A − λ E A-λE A−λE并化为行最简形。 3根据行最简矩阵写出同解方程组。说明自由变量令自由变量。 4得基础解系从而得特征向量。关于解特征方程方法 1不要完全展开否则会得到三次方程。 2把某行尽可能化为零再按行展开。 3提含λ的公因子。 4注意相反数、相同数和行列之和相同。
二、实对称阵对角化
步骤 1求矩阵A的特征值。 2求特征向量。 3将特征值向量正交化、单位化。 4正交单位向量作为列向量构成一个正交矩阵 P P P可使 P − 1 A P Λ P^{-1}APΛ P−1APΛ。Λ是以A的特征值做为主对角线元素的对角阵注意 1若三个特征值均为单根那么对应特征向量已正交直接单位化即可 2若为一个单根和两个重根仅对两个重根进行正交化再将三个一起单位化 3若为一个三重根则三个都要正交化并单位化。
其余题型
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方法心得
施密特正交化的公式要记好。
参考资料 1安徽理工大学数学系. 线性代数第三版修订. 天津天津科学技术出版社, 2019. 2安徽理工大学数学系. 线性代数、概率论与数理统计同步辅导习题第二版. 天津天津科学技术出版社, 2016. 3张天德. 线性代数习题精选精解. 山东山东科学技术出版社, 2009. 4《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师
