建设保护动物网站的素材,工信部备案网站,百度收录网站的图片,短视频运营是做什么的sympy库是python的符号运算库#xff0c;是电脑辅助简单数学函数计算的好工具。本文简单记录了一下有关sympy的方法。建议使用jupyter notebook#xff0c;这样输出的函数很好看。 文章目录sympy基础安装自变量#xff08;Symbols#xff09;函数表达式#xff08;Expr是电脑辅助简单数学函数计算的好工具。本文简单记录了一下有关sympy的方法。建议使用jupyter notebook这样输出的函数很好看。 文章目录sympy基础安装自变量Symbols函数表达式Expr变量替换与赋值精确求值微分积分Taylor展开一元展开多元展开查看展开项极限解方程画图sympy基础
安装
pip install sympy自变量Symbols
通过symbols方法将字符串声明为数学函数的变量这些变量往往是函数的自变量。
import sympy
# 声明单个变量
x sympy.symbols(x)# 声明多个变量(以下方法皆可)
x,y sympy.symbols([x,y])
x,y sympy.symbols(x,y)
x,y sympy.symbols(x y)函数表达式Expr
函数表达式通过变量的运算构造具体函数或者通过Function函数构造抽象函数。
f sympy.sqrt(3*x*y) x*sympy.sin(y) y**2 x**3 # 具体函数
u sympy.Function(u) # 抽象函数变量替换与赋值
expr.subs()可以实现变量替换替换成数字实现赋值。
g1 f.subs(x,y) # 将f表达式中的x换成y并将替换的结果赋给g
g2 f.subs({x:2*x, y:2*y}) #多次替换,字典
g3 f.subs({x:1,y:2})精确求值
expr.evalf(n)可以求一个表达式的保留n位有效数字的精确值
g3 f.subs({x:1,y:2})
print(g.evalf(4)) # 8.359微分
sympy可以实现自动求微分方法如下
h1 sympy.diff(f,x) # f对x求微分
h1 f.diff(x) # 同上
h2 sympy.diff(f,x,2,y,1) # f对x求2次微分对y求1次微分积分
sympy可以实现自动求不定积分和定积分区别在于是否传入积分上下限
l1 sympy.integrate(f,x) # 不定积分
l2 sympy.integrate(f,(x,1,3)) #定积分Taylor展开
一元展开
sympy可以实现泰勒展开具体函数抽象函数都可以。但是不能对多元函数同时泰勒展开。
taylor1 sympy.series(f,x,0,4) # f对x在0处泰勒展开到4阶
taylor2 sympy.series(f,x,0,4).removeO # f对x在0处泰勒展开到4阶去除皮亚诺余项
taylor3 sympy.series(u(x),x,0,4) # 抽象函数u对x在0处泰勒展开到4阶多元展开
多元泰勒展开可以使用以下方法 参考链接https://www.thinbug.com/q/23803320
def Taylor_polynomial_sympy(function_expression, variable_list, evaluation_point, degree):Mathematical formulation reference:https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Supplemental_Modules_(Calculus)/Multivariable_Calculus/3%3A_Topics_in_Partial_Derivatives/Taylor__Polynomials_of_Functions_of_Two_Variables:param function_expression: Sympy expression of the function:param variable_list: list. All variables to be approximated (to be Taylorized):param evaluation_point: list. Coordinates, where the function will be expressed:param degree: int. Total degree of the Taylor polynomial:return: Returns a Sympy expression of the Taylor series up to a given degree, of a given multivariate expression, approximated as a multivariate polynomial evaluated at the evaluation_pointfrom sympy import factorial, Matrix, prodimport itertoolsn_var len(variable_list)point_coordinates [(i, j) for i, j in (zip(variable_list, evaluation_point))] # list of tuples with variables and their evaluation_point coordinates, to later perform substitutionderiv_orders list(itertools.product(range(degree 1), repeatn_var)) # list with exponentials of the partial derivativesderiv_orders [deriv_orders[i] for i in range(len(deriv_orders)) if sum(deriv_orders[i]) degree] # Discarding some higher-order termsn_terms len(deriv_orders)deriv_orders_as_input [list(sum(list(zip(variable_list, deriv_orders[i])), ())) for i in range(n_terms)] # Individual degree of each partial derivative, of each termpolynomial 0for i in range(n_terms):partial_derivatives_at_point function_expression.diff(*deriv_orders_as_input[i]).subs(point_coordinates) # e.g. df/(dx*dy**2)denominator prod([factorial(j) for j in deriv_orders[i]]) # e.g. (1! * 2!)distances_powered prod([(Matrix(variable_list) - Matrix(evaluation_point))[j] ** deriv_orders[i][j] for j in range(n_var)]) # e.g. (x-x0)*(y-y0)**2polynomial partial_derivatives_at_point / denominator * distances_poweredreturn polynomialTaylor_polynomial_sympy(u(x,y),[x,y],[0,0],2) #函数u对(x,y)在(0,0)处泰勒展开查看展开项
taylor1.coeff(x) # 查看taylor1中x项(x-x0项)的系数。 极限
sympy可以实现求极限注意极限方向
lim1 sympy.limit(f, x, sympy.oo) # 趋于无穷
lim2 sympy.limit(f, x, 0) # 趋于0默认值 dir也就是趋于0
lim3 sympy.limit(f, x, 0, dir-) # 趋于0默认值调整为dir-也就是趋于-0解方程
sympy可以实现解方程方法是令Expr0所以在解方程时要先构造一个等于0的左端项。返回结果是一个列表每一项是一个解。如果是方程组解列表每一项是一个元组元组对应位置是对应自变量的值。
func f-3
sympy.solve(func,x) # 返回f3时x的值
sympy.solve([x**2y**2-1, xy-1],[x,y]) #x^2y^21;xy1画图
sympy可以实现绘制函数图像要先安装matplotlib库。
pip install matplotlibsympy可以绘制一元函数、二元函数、隐函数的图像方法如下
from sympy.plotting import plot,plot3d,plot_implicit
from sympy import Eq # 构造隐函数时使用# 绘制一元函数图像
plot(x**2,x) # 绘制以x为自变量的函数图像
plot(x**2,(x,-3,4)) # 绘制以x为自变量的函数图像绘制区间限制在[-3,4]上
plot(x,x**2,x**3,(x,0,4)) # 绘制多个图像 # 绘制二元函数图像呈现3D图
plot3d(x**2*y,(x,-10,10),(y,-10,10))# 绘制隐函数图像
plot_implicit(Eq(x**2y**4,1),(x,-2,2),(y,-2,2))
