西安网站建设l西安搜推宝网络,公众号怎么创建,网络营销方案制定,wordpress 悬浮通知一元三次方程的解法#xff0c;点击跳转知乎原文地址
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一元三次方程原型#xff1a; a x 3 b x 2 c x d 0 a x^3 b x^2 cx d 0 ax3bx2cxd0
代换削元。最简单的方法是线性变化削元。假设x my n, 带入后可以削去未知数…一元三次方程的解法点击跳转知乎原文地址
一一元三次方程降阶
一元三次方程原型 a x 3 b x 2 c x d 0 a x^3 b x^2 cx d 0 ax3bx2cxd0
代换削元。最简单的方法是线性变化削元。假设x my n, 带入后可以削去未知数y的平方项 a ( m y n ) 3 b ( m y n ) 2 c ( m y n ) d a m 3 y 3 3 a m 2 y 2 n 3 a m y n 2 a n 3 b m 2 y 2 2 b m n y b n 2 c m y c n d 0 a (myn) ^3 b (myn) ^ 2 c(myn) d \\ am^3y^3 3am^2y^2 n 3amyn^2 an^3 \\ bm^2y^2 2bmnybn^2 \\ cmycn \\ d 0 a(myn)3b(myn)2c(myn)dam3y33am2y2n3amyn2an3bm2y22bmnybn2cmycnd0 即此时必须满足二次项系数值之和为0也就是 3 a m 2 n b m 2 0 3am^2n bm^2 0 3am2nbm20从而可以得出结论 n − b 3 a , m 为任意值 n - \frac {b}{3a},m为任意值 n−3ab,m为任意值
由此证明若将 x y − b 3 a x y - \frac {b}{3a} xy−3ab带入原式则可以讲方程变为如下形式 x 3 p x q 0 (1.0) x ^ 3 p x q 0 \tag{1.0} x3pxq0(1.0)
二一元三次方程解的原理
上一片博文是我学习接触一元三次方程的起点但是原文中有几句话一直不是很明白为什么x a b带入后的限制条件为什么是 − 3 a b p -3ab p −3abp q − ( a 3 b 3 ) q - (a^3 b^3) q−(a3b3) x a b x a b xab
看了另外一篇文章加上自己的思索终于弄明白了。手动推导一下。
其中要解的方程如下 x 3 p x q 0 (1.0) x ^ 3 p x q 0 \tag{1.0} x3pxq0(1.0)
假设 x a b x ab xab ,那么 x 3 ( a b ) 3 a 3 3 a b ( a b ) b 3 a 3 b 3 3 a b x x^3 (ab)^3 a^3 3ab(ab) b^3 a^3 b^3 3ab x x3(ab)3a33ab(ab)b3a3b33abx 因此 x 3 − 3 a b x − ( a 3 b 3 ) 0 (1.1) x ^ 3 - 3abx - (a^3 b^3 ) 0 \tag{1.1} x3−3abx−(a3b3)0(1.1)
仔细观察上面的(1.0)和 (1.1)因为两个式子差别仅仅是一个代换问题如果代换成立的话必然可以成立两者是等价的也可以认为未知数的次数和系数形式是一样的由此得到如下结论 − 3 a b p -3ab p −3abp q − ( a 3 b 3 ) q - (a^3 b^3) q−(a3b3) x a b x a b xab
如此一来我们假设 x a b, 带入要解的方程中可得 ( a b ) 3 p ( a b ) q 0 (a b) ^ 3 p(ab) q 0 (ab)3p(ab)q0 a 3 b 3 3 a 2 b 3 a b 2 p ( a b ) a 0 a^3 b^3 3 a^2b 3ab^2 p(ab) a 0 a3b33a2b3ab2p(ab)a0 a 3 b 3 ( a b ) ( 3 a b p ) q 0 (1.2) a^3 b^3 (ab)(3ab p) q 0 \tag{1.2} a3b3(ab)(3abp)q0(1.2)
此时上述三个条件依然是满足的。未知数变为a 和 b其满足的关系为 a 3 b 3 − p 3 27 a^3b^3 - \frac{p^3}{27} a3b3−27p3 a 3 b 3 − q a^3 b^3 -q a3b3−q
到现在为止就可以讲三次方程转化为2次方程来求解了。
再次假设: a 3 m , b 3 n a^3 m, b^3 n a3m,b3n带入后可得 m ( − q − m ) − p 3 27 m(-q - m) -\frac{p^3}{27} m(−q−m)−27p3
即 m 2 m q − p 3 / 27 0 m^2 mq - p^3/27 0 m2mq−p3/270 m − q − q 2 4 p 3 27 2 − q / 2 − ( q 2 ) 2 ( p 3 ) 3 m \frac{-q-\sqrt{q^2\frac{4p^3}{27}}}{2} -q/2 - \sqrt{ (\frac{q}{2})^2 (\frac{p}{3})^3} m2−q−q2274p3 −q/2−(2q)2(3p)3 n − q / 2 − ( q 2 ) 2 ( p 3 ) 3 n -q/2 - \sqrt{ (\frac{q}{2})^2 (\frac{p}{3})^3} n−q/2−(2q)2(3p)3
将上面两个变量开三次方可得方程的一个根 a − q / 2 − ( q 2 ) 2 ( p 3 ) 3 3 a \sqrt[3]{ -q/2 - \sqrt{ (\frac{q}{2})^2 (\frac{p}{3})^3}} a3−q/2−(2q)2(3p)3 b − q / 2 − ( q 2 ) 2 ( p 3 ) 3 3 b \sqrt[3] { -q/2 - \sqrt{ (\frac{q}{2})^2 (\frac{p}{3})^3} } b3−q/2−(2q)2(3p)3
三其他的根
在获取了方程的一个根后利用等式 a 3 b 3 − q a^3 b^3 -q a3b3−q和 a b − p 3 ab - \frac {p}{3} ab−3p可以得到其他的两个根。 a 3 b 3 ( a b ) ( a 2 − a b b 2 ) − q a^3 b^3 (a b)(a ^2 - ab b^2) -q a3b3(ab)(a2−abb2)−q a 2 − a b b 2 − q a b a ^2 - ab b^2 \frac {-q}{a b} a2−abb2ab−q a b − p 3 ab - \frac {p}{3} ab−3p
