天津公司建站,宁波网站建设就找荣胜,个人网站栏目设计,企业营销推广型网站建设对矩阵A进行初等行变换相当于左乘一个可逆矩阵P。
把A看作是列向量组#xff0c;若有Ax0#xff0c;则其中的x就说明了列向量的线性关系#xff1a; [ α 1 , α 2 , α 3 ] [ x 1 x 2 x 3 ] [ 0 ] \left[ \alpha_1 ,\alpha_2, \alpha_3 \right] \begin{bmatrix} x_1\\ x…对矩阵A进行初等行变换相当于左乘一个可逆矩阵P。
把A看作是列向量组若有Ax0则其中的x就说明了列向量的线性关系 [ α 1 , α 2 , α 3 ] [ x 1 x 2 x 3 ] [ 0 ] \left[ \alpha_1 ,\alpha_2, \alpha_3 \right] \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0\end{bmatrix} [α1,α2,α3] x1x2x3 [0] x 1 α 1 x 2 α 2 x 3 α 3 0 x_1\alpha_1x_2\alpha_2x_3\alpha_30 x1α1x2α2x3α30
若对A进行初等行变换后得到了 P A x 0 PAx0 PAx0知 A x 0 Ax0 Ax0与 P A x 0 PAx0 PAx0同解就说明了x也适用于矩阵 P A PA PA的列向量之间的线性关系
所以 A A A 与 P A PA PA 的列向量有相同的线性关系。
此外 P A PA PA的行向量组与A的行向量组等价。把A看作是行向量组若 P A B PAB PAB有 [ p 11 p 12 p 13 p 21 p 22 p 23 p 31 p 32 p 33 ] [ α 1 α 2 α 3 ] [ β 1 β 2 β 3 ] [ p 11 α 1 p 12 α 2 p 13 α 3 p 21 α 1 p 22 α 2 p 23 α 3 p 31 α 1 p 32 α 2 p 33 α 3 ] \begin{bmatrix} p_{11} p_{12} p_{13} \\ p_{21} p_{22} p_{23} \\ p_{31} p_{32} p_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha _3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_{11}\alpha _{1}p_{12}\alpha_2 p_{13}\alpha _{3} \\ p_{21}\alpha _{1}p_{22}\alpha_2p_{23}\alpha_3 \\ p_{31}\alpha _{1}p_{32}\alpha_2p_{33}\alpha_3 \end{bmatrix} p11p21p31p12p22p32p13p23p33 α1α2α3 β1β2β3 p11α1p12α2p13α3p21α1p22α2p23α3p31α1p32α2p33α3 可知矩阵B的每一个行向量都能用矩阵A的行向量进行线性表出。又由于矩阵P可逆故 A P − 1 B AP^{-1}B AP−1B同理可知矩阵A的每一个行向量也可由矩阵B的行向量进行线性表出。
因此矩阵A的行向量组与矩阵B的行向量组等价。
