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《概率论与数理统计》/ 荣腾中主编. — 第 2 版. 高等教育出版社《2024高途考研数学——概率基础精讲》王喆
概率论与数理统计实际上是两个互补的分支#xff1a;概率论 在 已知随机…概率论与数理统计复习总结仅供笔者复习使用参考教材
《概率论与数理统计》/ 荣腾中主编. — 第 2 版. 高等教育出版社《2024高途考研数学——概率基础精讲》王喆
概率论与数理统计实际上是两个互补的分支概率论 在 已知随机变量及其概率分布 的基础上去描述随机现象的统计规律、挖掘随机变量的数字特征与数学性质、计算随机事件的发生概率数理统计 则是通过随机现象来研究其统计规律性即通过收集、整理和分析随机变量的观测数据对随机变量的性质和特征做出合理的推断或预测。
本文主要内容为数理统计2 概率论 部分见 概率论与数理统计复习总结1 数理统计1 部分见 概率论与数理统计复习总结2 数理统计2 部分见 概率论与数理统计复习总结3 目录 八. 假设检验1. 假设检验的基本原理2. 假设检验的步骤3. 假设检验的两类错误4. 参数假设检验4.1 单个正态总体的参数假设检验 八. 假设检验
假设检验利用样本信息对总体的某种假设进行检验用于推断数据样本中的差异是否真实存在或是由于随机变异导致的。假设检验一般分为参数假设检验与非参数假设检验本节主要介绍参数假设检验即对总体分布中未知参数的假设检验。
1. 假设检验的基本原理
假设检验的基本原理是通过样本数据来对总体特征提出的假设进行推断通过比较观察到的样本统计量例如平均值、比例、方差等与假设中的理论预期值来判断样本数据是否支持或反对该假设。这样的假设叫做原假设或零假设。
原假设也叫零假设记为 H 0 H_0 H0。原假设是关于总体特征的默认假设通常表述为无效、无差异或无影响的假设如 μ 8000 \mu8000 μ8000、 μ 1 μ 2 \mu_1\mu_2 μ1μ2 等备择假设记为 H 1 H_1 H1。备择假设一般是我们希望支持的假设它表述了我们认为有足够证据支持的观点或猜测。在假设检验中我们试图通过数据证明备择假设成立从而拒绝原假设。备择假设可以是双侧的two-tailed表明总体特征与原假设有明显差异也可以是单侧的one-tailed表明总体特征在某个方向上显著大于或小于原假设。如 μ ≠ 8000 \mu \neq 8000 μ8000、 μ 1 ≠ μ 2 \mu_1 \neq \mu_2 μ1μ2 等显著性水平假设检验中事先设定的一个临界值通常用符号 α \alpha α 表示用于判断在样本数据中观察到的统计显著性决定了在假设检验中拒绝原假设的标准一般取 0.05 或 0.01拒绝域样本数据的一个子集记为 X 0 \mathscr{X}_0 X0。当样本数据落入这个区域时我们将拒绝原假设因为拒绝域包含的样本数据在原假设成立的情况下发生的概率较小我们认为这样的结果对原假设提供了足够的反对证据从而拒绝原假设。通常拒绝域的边界由显著性水平 α \alpha α 确定接受域样本数据的另一个子集也是拒绝域的补集记为 X 0 ‾ \overline{\mathscr{X}_0} X0。当样本数据落入这个区域时我们将接受原假设因为接受域包含的样本数据在原假设成立的情况下发生的概率较大我们认为这样的结果并不足以提供充分证据来拒绝原假设
2. 假设检验的步骤
提出统计假设明确原假设和备择假设选择检验统计量对原假设 H 0 H_0 H0 通过 检验统计量 W W ( X 1 , X 2 ⋯ , X n ) WW\left(X_1, X_2 \cdots, X_n\right) WW(X1,X2⋯,Xn) 的判断需要确定 H 0 H_0 H0 成立条件下统计量 W W W 的精确分布或极限分布以便能根据显著性水平 α \alpha α 确定 H 0 H_0 H0 的拒绝域 一般地针对正态总体 N ( μ , σ 2 ) N\left(\mu, \sigma^2\right) N(μ,σ2) 的参数 μ \mu μ 提出假设 H 0 : μ μ 0 H_0: \mu\mu_0 H0:μμ0则选择统计量 U X ˉ − μ 0 σ n ( σ 2 U\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma} \sqrt{n}\left(\sigma^2\right. UσXˉ−μ0n (σ2 已知) 或 T X ˉ − μ 0 S n T\frac{\bar{X}-\mu_0}{S} \sqrt{n} TSXˉ−μ0n ( σ 2 \sigma^2 σ2 末知)针对正态总体 N ( μ , σ 2 ) N\left(\mu, \sigma^2\right) N(μ,σ2) 的参数 σ 2 \sigma^2 σ2 提出假设 H 0 : σ 2 σ 0 2 H_0: \sigma^2\sigma_0^2 H0:σ2σ02则选择统计量 χ 2 ( n − 1 ) S 2 σ 0 2 \chi^2\frac{(n-1) S^2}{\sigma_0^2} χ2σ02(n−1)S2针对总体 B ( 1 , p ) B(1, p) B(1,p) 的参数 p p p 提出假设 H 0 : p p 0 H_0: pp_0 H0:pp0则选择统计量 U X ˉ − p 0 p 0 ( 1 − p 0 ) n U\frac{\bar{X}-p_0}{\sqrt{p_0\left(1-p_0\right)}} \sqrt{n} Up0(1−p0) Xˉ−p0n 等。通常检验方法由统计量的分布来命名如 U U U 检验法、 t t t 检验法、 χ 2 \chi^2 χ2 检验法、 F F F 检验法等。 确立拒绝域形式和拒绝域通过备择假设 H 1 H_1 H1 来确立拒绝域的形式。由显著性水平 α \alpha α拒绝域 X 0 \mathscr{X}_0 X0 的形式检验统计量及分布和 P { ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ) ∈ X 0 ∣ H 0 成立 } ⩽ α P\left\{\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right) \in \mathscr{X}_0 \mid H_0 \text { 成立 } \right\} \leqslant \alpha P{(X1,X2,⋯,Xn)∈X0∣H0 成立 }⩽α 可确定待定常数 c c c这就确定了拒绝域 X 0 \mathscr{X}_0 X0通常 α \alpha α 选取 0.010.05 或 0.10 一般地如果 H 1 : μ ≠ μ 0 H_1: \mu \neq \mu_0 H1:μμ0 表示总体均值 μ \mu μ 与 μ 0 \mu_0 μ0 有显著差异用 X ˉ \bar{X} Xˉ 去估计参数 μ \mu μ 和引人待定常数 c c c 预估差异大小即小概率事件为 { X ˉ − μ 0 − c } ∪ { X ˉ − μ 0 \left\{\bar{X}-\mu_0-c\right\} \cup\left\{\bar{X}-\mu_0\right. {Xˉ−μ0−c}∪{Xˉ−μ0 c } c\} c}那么拒绝域形式为 { ∣ X ˉ − μ 0 ∣ c } \left\{\left|\bar{X}-\mu_0\right|c\right\} { Xˉ−μ0 c}称 H 1 : μ ≠ μ 0 H_1: \mu \neq \mu_0 H1:μμ0 为双侧假设检验问题如果 H 1 : μ μ 0 H_1: \mu\mu_0 H1:μμ0则选择拒绝域 { X ˉ − μ 0 c } \left\{\bar{X}-\mu_0c\right\} {Xˉ−μ0c}称 H 1 : μ μ 0 H_1: \mu\mu_0 H1:μμ0 为单侧假设检验问题。 作出判断或决策根据抽样信息计算检验统计量的样本值 w W ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) wW\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) wW(x1,x2,⋯,xn)。若 ( x 1 \left(x_1\right. (x1, x 2 , ⋯ , x n ) ∈ X 0 \left.x_2, \cdots, x_n\right) \in \mathscr{X}_0 x2,⋯,xn)∈X0则拒绝 H 0 H_0 H0接受 H 1 H_1 H1否则接受 H 0 H_0 H0
3. 假设检验的两类错误
由于抽样的随机性和小概率原理假设检验所作出的判断可能与事实不符合出现推断错误。把拒绝 H 0 H_0 H0 可能犯的错误称为第Ⅰ类错误或弃真错误把接受 H 0 H_0 H0 的判断可能犯的错误称为第Ⅱ类错误或纳伪错误。 \真实情况 假设检验结果\ H 0 H_0 H0 成立 H 0 H_0 H0 不成立拒绝 H 0 H_0 H0犯第Ⅰ类错误弃真错误推断正确接受 H 0 H_0 H0推断正确犯第Ⅱ类错误纳伪错误
第Ⅰ类错误原假设 H 0 H_0 H0 为真由于样本的随机性使样本观测值落入拒绝域 X 0 \mathscr{X}_0 X0 中判断为拒绝 H 0 H_0 H0。错误的概率记为 α \alpha α α P { 拒绝 H 0 ∣ H 0 成立 } P { ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ) ∈ X 0 ∣ H 0 成立 } \alpha P\{拒绝 H_0 | H_0 成立\} P\left\{\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right) \in \mathscr{X}_0 \mid H_0 成立 \right\} αP{拒绝H0∣H0成立}P{(X1,X2,⋯,Xn)∈X0∣H0成立}第Ⅱ类错误原假设 H 0 H_0 H0 为假判断为接受 H 0 H_0 H0错误的概率记为 β \beta β β P { 接受 H 0 ∣ H 0 不成立 } P { ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ) ∈ X 0 ‾ ∣ H 0 不成立 } \beta P\{接受 H_0 | H_0 不成立\} P\left\{\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right) \in \overline{\mathscr{X}_0} \mid H_0 不成立 \right\} βP{接受H0∣H0不成立}P{(X1,X2,⋯,Xn)∈X0∣H0不成立} 在样本容量固定的条件下减少犯一类错误的概率就会增加犯另一类错误的概率。举例如下 4. 参数假设检验
实际问题中很多随机变量服从或近似服从正态分布因此这节重点介绍单个正态总体的参数假设检验。
4.1 单个正态总体的参数假设检验 参数 μ \mu μ 的假设检验 参数 σ 2 \sigma^2 σ2 的假设检验 μ \mu μ 未知 拒绝域同时在数轴左右两侧的假设检验称为 双侧假设检验 或双尾假设检验拒绝域在数轴左侧或右侧的假设检验分别称为左侧假设检验或右侧假设检验统称为 单侧检验 或单尾检验。双侧假设检验关注的是 总体参数是否有明显的变化而单侧假设检验关注 总体参数明显变化的方向左侧检验关注总体参数是否明显减少右侧检验关注总体参数是否明显增加。举例如下
