北京模板网站开发公司,网站建设行业税率,宣传推广方案怎么写,专业制作网站的基本步骤1. 数值加法和乘法
数值加法与乘法#xff0c;是小学数学课程中的基本数学运算。例如#xff1a; 加法#xff1a;112 乘法#xff1a;2*24 在这个知识层次下#xff0c;运算的基本单位是数字。
2. 从数值到向量
数值加法#xff0c;可以看作一维空间中的向量加法是小学数学课程中的基本数学运算。例如 加法112 乘法2*24 在这个知识层次下运算的基本单位是数字。
2. 从数值到向量
数值加法可以看作一维空间中的向量加法即 加法(1) (1) (2) 数值乘法可以看作一维空间中的向量乘法即 乘法(2) * (2) 2 * 2 * cos(0) 4 通过将数值推广成一维向量实现了数值和向量概念的统一。在这个知识层次下向量是运算的基本单位。
3. 向量到矩阵
向量加法和乘法总是两两进行运算这种运算比较简单。
现实应用中往往需要对很多向量组成的向量集合进行批量运算向量批量运算有何规律为了研究向量的批量运算需要将一个向量集合视为一个整体这个整体看起来是矩形的数字阵列所以叫做 矩阵。例如下图是一个矩阵此矩阵由 (a, b, c) 和 (d, e, f) 两个三维向量组成 ( a b c d e f ) \begin{pmatrix} a b c\\ d e f \end{pmatrix} (adbecf)
矩阵的行数表示向量个数矩阵的列数表示向量的维度。
目前矩阵仅仅表示多个向量的组合没有其他任何含义不需要想得太复杂。
下面将根据我们自己的理解对矩阵运算规则进行推导然后再和教科书上的运算规则进行比对从而验证我们的理论。
3.1 矩阵加法
矩阵加法含义很简单就是一组向量加上另外一组向量对应位置的向量相加即可。因为向量相加必须在两个向量之间进行所以矩阵相加两个相加的矩阵包含的向量个数必须相等否则会因为缺少向量而无法进行。
可以正确进行的矩阵加法如下 ( a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 f 1 ) ( a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 f 2 ) ( a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 d 1 d 2 e 1 e 2 f 1 f 2 ) \begin{pmatrix} a1 b1 c1\\ d1 e1 f1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a2 b2 c2\\ d2 e2 f2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a1a2 b1b2 c1c2\\ d1d2 e1e2 f1f2 \end{pmatrix} (a1d1b1e1c1f1)(a2d2b2e2c2f2)(a1a2d1d2b1b2e1e2c1c2f1f2)
无法进行的矩阵加法如下 ( a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 f 1 ) ( a 2 b 2 c 2 ) 非法 \begin{pmatrix} a1 b1 c1\\ d1 e1 f1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a2 b2 c2 \end{pmatrix} 非法 (a1d1b1e1c1f1)(a2b2c2)非法
3.2 矩阵乘法
下面从简单向复杂推导矩阵乘法运算规则。
3.2.1 1行3列矩阵 * 1行3列矩阵
设矩阵A A ( a 1 b 1 c 1 ) A \begin{pmatrix} a1 b1 c1 \end{pmatrix} A(a1b1c1)
和矩阵B B ( a 2 b 2 c 2 ) B \begin{pmatrix} a2 b2 c2 \end{pmatrix} B(a2b2c2)
进行乘法运算因为只有两个向量可以尝试将这两个向量进行点乘运算即 A ∗ B a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 ( a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 ) A * B a1a2 b1b2 c1c2 (a1a2 b1b2 c1c2) A∗Ba1a2b1b2c1c2(a1a2b1b2c1c2)
结果是一个数值也可以看作是一个一维向量。
分析 矩阵A包含1个三维向量矩阵B包含1个三维向量矩阵B可以代表三维空间中的一个一维空间所以A中的所有向量投影到B最终的结果变成了一个一维向量符合我们对向量点乘及矩阵的理解。
3.2.2 2行3列矩阵 * 1行3列矩阵
增加矩阵A的行数设矩阵A A ( a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 f 1 ) A \begin{pmatrix} a1 b1 c1 \\ d1 e1 f1 \end{pmatrix} A(a1d1b1e1c1f1)
和矩阵B B ( a 2 b 2 c 2 ) B \begin{pmatrix} a2 b2 c2 \end{pmatrix} B(a2b2c2)
进行乘法运算尝试分别进行点乘运算即 A ∗ B ( a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 d 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 ) A * B \begin{pmatrix} a1a2 b1b2 c1c2 \\ d1a2 b1b2 c1c2 \end{pmatrix} A∗B(a1a2b1b2c1c2d1a2b1b2c1c2)
结果矩阵是一个2行1列的矩阵。
分析 矩阵A包含2个三维向量矩阵B包含1个三维向量矩阵B可以代表三维空间中的一个一维空间所以A中的所有向量投影到B最终的结果变成了2个一维向量符合我们对向量点乘及矩阵的理解。
3.2.3 2行3列矩阵 * 2行3列矩阵
设矩阵A A ( a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 f 1 ) A \begin{pmatrix} a1 b1 c1 \\ d1 e1 f1 \end{pmatrix} A(a1d1b1e1c1f1)
和矩阵B B ( a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 f 2 ) B \begin{pmatrix} a2 b2 c2 \\ d2 e2 f2 \end{pmatrix} B(a2d2b2e2c2f2)
进行乘法运算尝试分别进行点乘运算即 A ∗ B ( a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 a 1 d 2 b 1 e 2 c 1 f 2 d 1 a 2 e 1 b 2 f 1 c 2 d 1 d 2 e 1 e 2 f 1 f 2 ) A * B \begin{pmatrix} a1a2 b1b2 c1c2 a1d2b1e2c1f2\\ d1a2 e1b2 f1c2 d1d2e1e2f1f2 \end{pmatrix} A∗B(a1a2b1b2c1c2d1a2e1b2f1c2a1d2b1e2c1f2d1d2e1e2f1f2)
结果矩阵是一个2行2列的矩阵。
分析 矩阵A包含2个二维向量矩阵B包含2个三维向量矩阵B可以代表三维空间中的一个二维平面空间两条线组成一个面所以A中的所有向量投影到B最终的结果变成了2个二维向量符合我们对向量点乘及矩阵的理解。
这个矩阵乘法稍微有些复杂但有计算过程中有一个量没变那就是矩阵A中向量的个数等于变换结果矩阵中向量的个数即矩阵A的行数和变换结果矩阵的行数相等。在行数相等不变的情况下只能将向 量点乘的结果按列依次向后摆放最终结果矩阵的列数和矩阵B的行数相同。
3.2.4 矩阵不能相乘的情况
如果两个矩阵列数不同也就是维度不同还能相乘吗
不能因为向量点乘要求两个向量具有相同的维度如果两个矩阵列数不同矩阵中的向量互相无法进行点乘。不同维度的向量坐标个数不一样无法做乘法。
所以两个矩阵相乘必须乘号两边的矩阵有相同的维度。
3.2.5 推广
以 A ∗ B C A * B C A∗BC 为例。
只要矩阵A和矩阵B的列数相同不管矩阵A、矩阵B各自有多少行都可以进行相乘。并且有
结果矩阵C包含的向量个数和A中的向量个数相同投影过程是一个线性变换向量个数不会增加也不会减少故投影前后向量个数不变。结果矩阵C的向量维度和矩阵B的维度相同因为矩阵C包含的向量是矩阵A向矩阵B的投影所以它们全部位于矩阵B所代表的空间中所以C和B的维度必然相同。
3.2.6 验证复杂矩阵相乘2行3列矩阵 * 3行3列矩阵
设矩阵A A ( a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 f 1 ) A \begin{pmatrix} a1 b1 c1 \\ d1 e1 f1 \end{pmatrix} A(a1d1b1e1c1f1)
和矩阵B B ( a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 f 2 g 2 h 2 i 2 ) B \begin{pmatrix} a2 b2 c2 \\ d2 e2 f2 \\ g2 h2 i2 \end{pmatrix} B a2d2g2b2e2h2c2f2i2
进行乘法运算结果为 A ∗ B ( a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 a 1 d 2 b 1 e 2 c 1 f 2 a 1 g 2 b 1 h 2 c 1 i 2 d 1 a 2 e 1 b 2 f 1 c 2 d 1 d 2 e 1 e 2 f 1 f 2 d 1 g 2 e 1 h 2 f 1 i 2 ) A * B \begin{pmatrix} a1a2 b1b2 c1c2 a1d2b1e2c1f2 a1g2b1h2c1i2\\ d1a2 e1b2 f1c2 d1d2e1e2f1f2 d1g2e1h2f1i2 \end{pmatrix} A∗B(a1a2b1b2c1c2d1a2e1b2f1c2a1d2b1e2c1f2d1d2e1e2f1f2a1g2b1h2c1i2d1g2e1h2f1i2)
结果矩阵是一个2行3列的矩阵。
分析 矩阵A包含2个三维向量矩阵B包含3个三维向量矩阵B可以代表三维空间中的一个三维立体子空间所以A中的所有向量投影到B最终的结果变成了2个三维向量符合我们对向量点乘及矩阵的理解。
3.2.7 和书本理论进行比较
书本上的矩阵规则和我们理解的矩阵只有一点不同。还是以 A ∗ B C A * B C A∗BC 为例。
书本上将矩阵B进行了转置。也就是说B矩阵中的向量按照我们的理解应该一行一行依次摆放但是书本上规定应该竖着依次摆放。为什么因为书本规定矩阵A乘矩阵B矩阵A的每一个行向量要和矩阵B的每一个列向量进行点乘而我们的运算规则是矩阵A的每一个行向量要和矩阵B的每一个行向量进行点乘所以在书本上规定的运算规则下必须将向量B进行转置。其实运算结果和原理是完全一样的。
3.2.8 特别的变换
如果矩阵B为三行三列的单位矩阵单位矩阵用E表示即 B E ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) B E \begin{pmatrix} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 1 \end{pmatrix} BE 100010001
任意一个m行3列的矩阵A乘以矩阵B都等于矩阵A本身即 A ∗ B A ∗ E A A * B A * E A A∗BA∗EA
这个大家可以自己尝试演算一下。我们这里不做演算我们这里做一个理论分析
B矩阵为单位矩阵时B矩阵所代表的空间和当前的整个三维空间完全重合。矩阵A乘矩阵B就是将矩阵A变换到原空间而且不改变向量的长度那么变换结果必然也和A重合也就是说结果等于A。通过分析我们可以很容易地理解为什么一个矩阵乘以单位矩阵结果是它本身。 下一篇《矩阵乘法进阶》
