潍坊建设厅网站,效果图在线网,开网站建设,免费ppt模板下载公众号2.4_数理统计的基本概念
数理统计思维导图 更多详细内容见notebook
1.基本概念
总体#xff1a;研究对象的全体#xff0c;它是一个随机变量#xff0c;用 X X X表示。
个体#xff1a;组成总体的每个基本元素。
简单随机样本#xff1a;来自总体 X X X的 n n n个相互…2.4_数理统计的基本概念
数理统计思维导图 更多详细内容见notebook
1.基本概念
总体研究对象的全体它是一个随机变量用 X X X表示。
个体组成总体的每个基本元素。
简单随机样本来自总体 X X X的 n n n个相互独立且与总体同分布的随机变量 X 1 , X 2 ⋯ , X n X_{1},X_{2}\cdots,X_{n} X1,X2⋯,Xn称为容量为 n n n的简单随机样本简称样本。
统计量设 X 1 , X 2 ⋯ , X n , X_{1},X_{2}\cdots,X_{n}, X1,X2⋯,Xn,是来自总体 X X X的一个样本 g ( X 1 , X 2 ⋯ , X n ) g(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n}) g(X1,X2⋯,Xn)是样本的连续函数且 g ( ) g() g()中不含任何未知参数则称 g ( X 1 , X 2 ⋯ , X n ) g(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n}) g(X1,X2⋯,Xn)为统计量。
样本均值 X ‾ 1 n ∑ i 1 n X i \overline{X} \frac{1}{n}\sum_{i 1}^{n}X_{i} Xn1∑i1nXi 样本方差 S 2 1 n − 1 ∑ i 1 n ( X i − X ‾ ) 2 S^{2} \frac{1}{n - 1}\sum_{i 1}^{n}{(X_{i} - \overline{X})}^{2} S2n−11∑i1n(Xi−X)2
样本矩样本 k k k阶原点矩 A k 1 n ∑ i 1 n X i k , k 1 , 2 , ⋯ A_{k} \frac{1}{n}\sum_{i 1}^{n}X_{i}^{k},k 1,2,\cdots Akn1∑i1nXik,k1,2,⋯
样本 k k k阶中心矩 B k 1 n ∑ i 1 n ( X i − X ‾ ) k , k 1 , 2 , ⋯ B_{k} \frac{1}{n}\sum_{i 1}^{n}{(X_{i} - \overline{X})}^{k},k 1,2,\cdots Bkn1∑i1n(Xi−X)k,k1,2,⋯
2.分布 χ 2 \chi^{2} χ2分布 χ 2 X 1 2 X 2 2 ⋯ X n 2 ∼ χ 2 ( n ) \chi^{2} X_{1}^{2} X_{2}^{2} \cdots X_{n}^{2}\sim\chi^{2}(n) χ2X12X22⋯Xn2∼χ2(n)其中 X 1 , X 2 ⋯ , X n , X_{1},X_{2}\cdots,X_{n}, X1,X2⋯,Xn,相互独立且同服从 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1) t t t分布 T X Y / n ∼ t ( n ) T \frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n) TY/n X∼t(n) 其中 X ∼ N ( 0 , 1 ) , Y ∼ χ 2 ( n ) , X\sim N\left( 0,1 \right),Y\sim\chi^{2}(n), X∼N(0,1),Y∼χ2(n),且 X X X Y Y Y 相互独立。 F F F分布 F X / n 1 Y / n 2 ∼ F ( n 1 , n 2 ) F \frac{X/n_{1}}{Y/n_{2}}\sim F(n_{1},n_{2}) FY/n2X/n1∼F(n1,n2)其中 X ∼ χ 2 ( n 1 ) , Y ∼ χ 2 ( n 2 ) , X\sim\chi^{2}\left( n_{1} \right),Y\sim\chi^{2}(n_{2}), X∼χ2(n1),Y∼χ2(n2),且 X X X Y Y Y相互独立。
分位数若 P ( X ≤ x α ) α , P(X \leq x_{\alpha}) \alpha, P(X≤xα)α,则称 x α x_{\alpha} xα为 X X X的 α \alpha α分位数
3.正态总体的常用样本分布
设 X 1 , X 2 ⋯ , X n X_{1},X_{2}\cdots,X_{n} X1,X2⋯,Xn为来自正态总体 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^{2}) N(μ,σ2)的样本 X ‾ 1 n ∑ i 1 n X i , S 2 1 n − 1 ∑ i 1 n ( X i − X ‾ ) 2 , \overline{X} \frac{1}{n}\sum_{i 1}^{n}X_{i},S^{2} \frac{1}{n - 1}\sum_{i 1}^{n}{{(X_{i} - \overline{X})}^{2},} Xn1∑i1nXi,S2n−11∑i1n(Xi−X)2,则
(1) X ‾ ∼ N ( μ , σ 2 n ) \overline{X}\sim N\left( \mu,\frac{\sigma^{2}}{n} \right){\ \ } X∼N(μ,nσ2) 或者 X ‾ − μ σ n ∼ N ( 0 , 1 ) \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1) n σX−μ∼N(0,1)
(2) ( n − 1 ) S 2 σ 2 1 σ 2 ∑ i 1 n ( X i − X ‾ ) 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}} \frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i 1}^{n}{{(X_{i} - \overline{X})}^{2}\sim\chi^{2}(n - 1)} σ2(n−1)S2σ21∑i1n(Xi−X)2∼χ2(n−1)
(3) 1 σ 2 ∑ i 1 n ( X i − μ ) 2 ∼ χ 2 ( n ) \frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i 1}^{n}{{(X_{i} - \mu)}^{2}\sim\chi^{2}(n)} σ21∑i1n(Xi−μ)2∼χ2(n)
(4) X ‾ − μ S / n ∼ t ( n − 1 ) {\ \ }\frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n - 1) S/n X−μ∼t(n−1)
4.重要公式与结论
(1) 对于 χ 2 ∼ χ 2 ( n ) \chi^{2}\sim\chi^{2}(n) χ2∼χ2(n)有 E ( χ 2 ( n ) ) n , D ( χ 2 ( n ) ) 2 n ; E(\chi^{2}(n)) n,D(\chi^{2}(n)) 2n; E(χ2(n))n,D(χ2(n))2n;
(2) 对于 T ∼ t ( n ) T\sim t(n) T∼t(n)有 E ( T ) 0 , D ( T ) n n − 2 ( n 2 ) E(T) 0,D(T) \frac{n}{n - 2}(n 2) E(T)0,D(T)n−2n(n2)
(3) 对于 F ~ F ( m , n ) F\tilde{\ }F(m,n) F ~F(m,n)有 1 F ∼ F ( n , m ) , F a / 2 ( m , n ) 1 F 1 − a / 2 ( n , m ) ; \frac{1}{F}\sim F(n,m),F_{a/2}(m,n) \frac{1}{F_{1 - a/2}(n,m)}; F1∼F(n,m),Fa/2(m,n)F1−a/2(n,m)1;
(4) 对于任意总体 X X X有 E ( X ‾ ) E ( X ) , E ( S 2 ) D ( X ) , D ( X ‾ ) D ( X ) n E(\overline{X}) E(X),E(S^{2}) D(X),D(\overline{X}) \frac{D(X)}{n} E(X)E(X),E(S2)D(X),D(X)nD(X)
