《网站建设与维护》讲义,网站搜索建设,手机网站关键词优化软件,营销型网站建设php源码条件期望例题—连续发生的事情
连续地做二项实验, 每一次成功概率为p. 当连续k次成功时, 停止实验. 求停止实验时做的总实验次数的期望.
解: 错误解法 设NkN_kNk为停止实验时做的总实验次数, 则 E[Nk]E[E[Nk∣Nk−1]]∑jk−1∞E[Nk∣Nk−1j]\begin{split} E[N_k] E[E…条件期望例题—连续发生的事情
连续地做二项实验, 每一次成功概率为p. 当连续k次成功时, 停止实验. 求停止实验时做的总实验次数的期望.
解: 错误解法 设NkN_kNk为停止实验时做的总实验次数, 则 E[Nk]E[E[Nk∣Nk−1]]∑jk−1∞E[Nk∣Nk−1j]\begin{split} E[N_k] E[E[N_k|N_{k-1}]] \\ \sum_{j k-1}^{\infin}E[N_k|N_{k-1}j] \end{split} E[Nk]E[E[Nk∣Nk−1]]jk−1∑∞E[Nk∣Nk−1j] 因为 E[Nk∣Nk−1]p⋅(NK−11)(1−p)⋅E[Nk]E[N_k|N_{k-1}] p\cdot(N_{K-1} 1) (1-p)\cdot E[N_k] E[Nk∣Nk−1]p⋅(NK−11)(1−p)⋅E[Nk] (一旦错了又得重开) 对两边去取期望 E[E[Nk∣Nk−1]]E[Nk]p⋅(E[Nk−1]1)(1−p)⋅E[Nk]E[E[N_k|N_{k-1}]] E[N_k] p \cdot (E[N_{k-1}] 1) (1-p) \cdot E[N_k] E[E[Nk∣Nk−1]]E[Nk]p⋅(E[Nk−1]1)(1−p)⋅E[Nk] 即 E[Nk]E[Nk−1]1E[N_k] E[N_{k-1}] 1 E[Nk]E[Nk−1]1 因为E[N1]1pE[N_1] \frac{1}{p}E[N1]p1, 所以
E[N2]1p1↓E[Nn]1p(n−1)\begin{split} E[N_2] \frac{1}{p} 1 \\ \downarrow \\ E[N_n] \frac{1}{p} (n-1) \end{split} E[N2]E[Nn]p11↓p1(n−1) 易知上述解法的答案在直觉上是不成立的, 因为随着k的增大, E[Nk]E[N_k]E[Nk]的增长速度应该以非常快的速度增大, 而非仅仅是线性增长, 所以显然是错误的.
正确解法 E[Nk]E[E[Nk∣Nk−1]]E[N_k] E[E[N_k|N_{k-1}]] E[Nk]E[E[Nk∣Nk−1]] 显然, 最要紧的是找出E[Nk∣Nk−1]E[N_k|N_{k-1}]E[Nk∣Nk−1]作为Nk−1N_{k-1}Nk−1的函数, 这个函数关系是什么 (一旦错了又得重开), 这个思路对的, 但(1)式是错的 E[Nk∣Nk−1]p⋅(NK−11)(1−p)⋅E[Nk](1)E[N_k|N_{k-1}] p\cdot(N_{K-1} 1) (1-p)\cdot E[N_k] \tag{1} E[Nk∣Nk−1]p⋅(NK−11)(1−p)⋅E[Nk](1)
应该是这样的思路 现在已经做了Nk−1次试验↙↘成功(概率p)失败(概率1−p)NkNk−11NkNk−11Nk\begin{split} 现在已经做了N_{k-1}次试验 \\ \swarrow\searrow \\ 成功(概率p)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 失败(概率1-p) \\ N_k N_{k-1} 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ N_k N_{k-1} 1 N_k \end{split} 现在已经做了↙成功(概率p) NkNk−11 Nk−1次试验↘ 失败(概率1−p) NkNk−11Nk 所以(2)(2)(2)式才是正确的 E[Nk∣Nk−1]p⋅(NK−11)(1−p)⋅(NK−11E[Nk])NK−1(1−p)⋅E[Nk](2)\begin{split} E[N_k|N_{k-1}] p\cdot(N_{K-1} 1) (1-p)\cdot (N_{K-1} 1E[N_k]) \\ N_{K-1} (1-p)\cdot E[N_k] \tag{2} \end{split} E[Nk∣Nk−1]p⋅(NK−11)(1−p)⋅(NK−11E[Nk])NK−1(1−p)⋅E[Nk](2)
其他的推导过程同上, 最终也是一个递归方程 E[Nk]E[Nk−1]p1pE[N_k] \frac{E[N_{k-1}]}{p} \frac{1}{p} E[Nk]pE[Nk−1]p1 最终的结果是 E[Nk]1p1p2⋯1pkE[N_k] \frac{1}{p} \frac{1}{p^2} \cdots \frac{1}{p^k} E[Nk]p1p21⋯pk1 显然这一结果才是正确的结果, 直观上也更加准确.
