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#xff08;三#xff09;LMI在与Lyapunov不等式的关系
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一Matlab中的LMI处理工具包 二为什么LMI成为控制理论领域重要工具
三LMI在与Lyapunov不等式的关系
1线性矩阵不等式 2线性矩阵不等式系统
3舒尔(Schur)补
四LMI中常见引理
引理2广义KYP引理[4]
推论1广义KYP引理推论[4]
引理3射影定理[1])
引理4 (Jensen不等式[5,6]
引理5 (Finslers引理[7]):
参考文献 一Matlab中的LMI处理工具包 matlab中有专门求解线性矩阵不等式的工具包YALMIP可以在官网上下载安装可参考yalmip安装教程。yalmip只提供了一些基本的LMI求解方法有更复杂的不等式求解需求可以再安装cplex工具包。关于怎么使用yalmip工具包可参考yalmip代码编写教程。 二为什么LMI成为控制理论领域重要工具 线性矩阵不等式LMI技术是分析和综合控制系统的重要工具尤其是鲁棒控制领域主要因素有以下三个[1]
对于经典的控制方法LMI技术的优点就是操作简单。在LMI技术出现以前人们通过求解Ricaati方程来设计最优控制器但是Ricaati方程求解很难。而LMI技术仅需少量的概念和基本原理就能开发出实用的工具现在我们用YALMIP工具包就能很方便的求解LMI问题。LMI技术提供了控制问题的广泛前景包括鲁棒性分析标称H∞H2和鲁棒控制综合多目标综合线性参数变化综合其中一些无法在古典控制领域中解决处理。LMI技术是利用凸优化的强有效的数值工具并在理论体系上附加上有效的软件工具。
三LMI在与Lyapunov不等式的关系
1线性矩阵不等式 考虑线性矩阵不等式表达如下[2] 上式中 为决策变量,特别地,在上述一般形式中的函数 为实对称矩阵。上式中的F(x)0表示矩阵F(x)是负定的即对所有的非零向量 , 或者F(x)的最大特征值小于0。 在许多系统与控制问题中问题的变量以矩阵的形式出现如Lyapunov矩阵不等式 其中矩阵 为已知的具有合适的维度的常数矩阵且Q 为已知的对称矩阵 为对称矩阵变量。假定 为中的一组基则对任意对称 存在使得 因此有 通过这种转化就得到了一个更为一般的线性矩阵不等式的表达方式。 2线性矩阵不等式系统
假设存在多个矩阵不等式 总体构成称线性矩阵不等式系统。引进,则同时成立当且仅当。因此一个线性矩阵不等式系统也可以用一个单一的线性矩阵不等式表示。
3舒尔(Schur)补 在许多一些非线性矩阵不等式转化成线性矩阵不等式的问题中我们常常用到矩阵的Schur补性质。考虑一个矩阵并将S分块: 其中是维的。假定是非奇异的则称为“在S中的Sehar补”。以下引理给出了矩阵的Schur补性质。 引理1 Schur补性质 对给定的对称矩阵 其中是维的。以下3个条件是等价的 1 2 3 (证明方法可参考 俞立的《鲁棒控制——线性矩阵不等式处理方法》 p8页) 在一些控制问题中经常遇到二次型矩阵不等式[3] 其中是给定的适当维数的常数矩阵是对称矩阵变量则应用引理1可以将上面的矩阵不等式的可行性问题转化成一个等价的矩阵不等式 的可行性问题而后者是一个关于矩阵变量P的线性矩阵不等式。 因此在控制问题中我们经常要设计Lyapunov函数V(t)并为了保证系统稳定性要求那我们就可以把这个不等式转化为线性矩阵不等式的形式并用matlab中的YALMIP直接求解出即可。
四LMI中常见引理 引理2广义KYP引理[4] 给定矩阵以及且代表的零空间其中则不等式 成立当且仅当存在对称矩阵以及,使得成立其中 其中*表示矩阵的共轭转置j是虚数单位表示右克罗内克积即 推论1广义KYP引理推论[4] 针对线性系统为系统由扰动到控制输出的传递函数则对于给定的对称矩阵下面两个陈述是等价的: 1有限频域不等式 成立。 2)存在对称矩阵Р和Q满足Q0使得 成立其中 且表示矩阵的右上块和右下块矩阵中*表示其对应块的转置。 引理3射影定理[1]) 对于给定的标量矩阵满足,当且仅当下面两个条件成立: 引理3反射影定理[1]):是给定的正定对称矩阵不等式等价于下面的线性矩阵不等式(LMI)求解问题: 式中符号用以表示矩阵与其转置的加和即。 引理4 (Jensen不等式[5,6] 对于任意正定对称常数矩阵,标量满足,并且存在一个向量,那么以下不等式成立: 引理5 (Finslers引理[7]): 令,,以及满足H的秩小于n,rank(H) r n.则下列两式等价: 参考文献
【1】Apkarian P,Tuan H D,Bernussou J.Continuous-Time analysis,eigenstructure as-signment,and H2synthesis with enhanced Linear Matrix Inequalities(LMI)char-acterizations[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2001,42(12):1941–1946.
【2】《鲁棒控制理论及应用》王娟 张涛 徐国凯
【3】《鲁棒控制——线性矩阵不等式处理方法》俞立
【4】Iwasaki T,Hara S.Generalized KYP Lemma:unified frequency domain inequal-ities with design applications[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2005,50(1):41–59.
【5】Wu J,Chen X,Gao H.H∞filtering with stochastic sampling[J].Signal Proces-siong,2010,90(4):1131–1145.
【6】Gao H,Wu J,Shi P.Robust sampled-data H∞control with stochastic sampling[J].Automatica,2009,45(7):1729–1736.
【7】Qiu J,Feng G,Yang J.New results on robust energy-to-peakfiltering for discrete-time switched polytopic linear systems with time-varying delay[J].IET ControlTheory and Applications,2008,2(9):795–806. ·
