网站html5自适应屏幕大小,自建网站餐饮服务提供者,策划案模板,网站建设小说线性代数#xff1a;向量、张量、矩阵和标量
背景
在线性代数中#xff0c;向量、张量、矩阵和标量都属于基础概念#xff0c;特别是最近AI的爆火#xff0c;向量和张量的概念也越来越普及#xff0c;本文将介绍下这些基本概念。
1. 标量#xff08;Scalar#xff0…线性代数向量、张量、矩阵和标量
背景
在线性代数中向量、张量、矩阵和标量都属于基础概念特别是最近AI的爆火向量和张量的概念也越来越普及本文将介绍下这些基本概念。
1. 标量Scalar
1.1 定义和表示
标量是数学中的一个基本概念它表示一个单独的实数没有方向或位置。在数学表示中我们通常用小写字母表示标量例如 a 或 x。
1.2 例子
温度32℃质量62kg速度102km/h
标量是我们日常生活中常见的量它们具有大小但没有方向。
在python代码中表示 x 1# 或者可以表示为0阶张量x np.array(1)print(x.ndim)2. 向量Vector
2.1 定义和表示
向量是有序的一维数组其中包含多个标量元素。每个元素都有一个索引表示其在向量中的位置。在数学表示中我们通常用小写粗体字母表示向量如 v。
2.2 例子
位移向东200米力向左10牛米
向量不仅有大小还有方向因此它可以表示在空间中的运动或力的作用方向。
2.3 代码和图示
一个二维向量可以表示为 v [ 1 2 3 ] v \begin{bmatrix} 1 2 3 \end{bmatrix} v[123] 在python代码中表示 v np.array([1, 2, 3])print(v.ndim) # 13. 矩阵Matrix
3.1 定义和表示
矩阵是一个二维数组其中包含多个标量元素这些元素按行和列排列。在数学表示中我们通常用大写字母表示矩阵如 A。
3.2 例子
图像的像素值线性变换
公式和图示
一个 m x n 的矩阵 A 可以表示为 A [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] A \begin{bmatrix} a_{11} a_{12} \cdots a_{1n} \\ a_{21} a_{22} \cdots a_{2n} \\ \vdots \vdots \ddots \vdots \\ a_{m1} a_{m2} \cdots a_{mn} \end{bmatrix} A a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn
在python代码中例子 m np.array([[1, 2], [3, 4]])print(m.ndim) # 24. 张量Tensor
4.1 定义和表示
在线性代数里面可以简单的将张量理解为一个多维数组可以包含标量、向量和矩阵。在数学表示中我们通常用大写粗体字母表示张量如 T
4.2 例子
神经网络中的输入多模态数据的表示如图片语音视频等
公式和图示
在深度学习中一个三维张量 T 可以表示为 T [ A B C D E F G H I ] \mathbf{T} \begin{bmatrix} \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{C} \\ \mathbf{D} \mathbf{E} \mathbf{F} \\ \mathbf{G} \mathbf{H} \mathbf{I} \end{bmatrix} T ADGBEHCFI
这里A、B、C、D等可以是标量、向量或矩阵。
之间的关系
标量是零阶张量向量是一阶张量矩阵是二阶张量。张量的阶数表示它包含的维度数量不止是3阶张量张量可以是无数阶。从这种角度来看万物皆张量
