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在前面的内容中#xff0c;我们已经陆陆续续地给出了秩的概念。本文可以看成是对以往概念与性质的总结#xff0c;那专门针对秩进行分析。 一、向量组的秩
在笔记2.2中#xff0c;我们学习了极大线… 文章目录 前言一、向量组的秩二、矩阵的秩三、矩阵的可逆性与秩总结 前言
在前面的内容中我们已经陆陆续续地给出了秩的概念。本文可以看成是对以往概念与性质的总结那专门针对秩进行分析。 一、向量组的秩
在笔记2.2中我们学习了极大线性无关组的概念。现在我们给出向量组的秩定义一组向量的秩表示该组向量的极大线性无关组的向量数量。结合向量空间的维数定义可知由该组向量张成的向量空间的维数等于秩。
当我们往向量组中添加线性无关的向量时秩也会增加。但是我们可以一直重复这个过程来增加秩吗换言之我们总能找到一个向量与原向量组线性无关吗
答案当然是否定的。由 n n n维向量组成的一组向量其秩的上界为 n n n。因为 n n n维空间中任意n个线性无关的向量构成该空间的一组基。因此当增加到大于 n n n个向量时新增加的向量一定可以被之前 n n n个向量线性表示。
二、矩阵的秩
矩阵的秩即为矩阵列向量组的秩也等于矩阵行向量组的秩也等于其化为行最简矩阵时主元的数量。下面我们分析几种常见操作对矩阵秩的影响。
1)乘上一个矩阵 r ( A B ) ⩽ r ( A ) r(\bm{AB})\leqslant r(\bm{A}) r(AB)⩽r(A) 这个性质在笔记2.6中已有说明即 A B \bm{AB} AB的列向量为 A \bm{A} A的列向量的线性组合而线性组合得到的向量与原向量组是线性相关的因此无法增加线性无关的列向量数量。当 B \bm{B} B为可逆矩阵时等号一定成立证明可见笔记2.6。
2加上一个矩阵 r ( A B ) ⩽ r ( A ) r ( B ) r(\bm{A}\bm{B})\leqslant r(\bm{A})r(\bm{B}) r(AB)⩽r(A)r(B) 矩阵相加相当于将两个矩阵的列向量做了一个简单的线性组合同样的线性组合无法增加与两原矩阵的列向量线性无关的向量。
3增广矩阵 r ( A B ) ⩽ r ( [ A , B ] ) ⩽ r ( A ) r ( B ) r(\bm{A}\bm{B})\leqslant r([\bm{A,B}])\leqslant r(\bm{A})r(\bm{B}) r(AB)⩽r([A,B])⩽r(A)r(B) 矩阵相加即对增广矩阵列向量进行线性组合因此秩小于等于增广矩阵。增广矩阵的增加的线性无关列向量不会超过 r ( B ) r(\bm{B}) r(B)。 max { r ( A ) , r ( B ) } ⩽ r ( [ A , B ] ) \max\{r(\bm{A}),r(\bm{B})\}\leqslant r([\bm{A,B}]) max{r(A),r(B)}⩽r([A,B]) 增广矩阵不会使得原本线性无关的向量变成线性相关因此不会减少秩。
三、矩阵的可逆性与秩
因为矩阵的秩等于行最简的主元数而n阶可逆矩阵的行等价于n阶单位矩阵即主元素等于n。因此方阵的秩等于列数时必然可逆。
至此我们得到了一组等价关系 n阶方阵可逆 ⟺ \iff ⟺行等价于n阶单位阵 ⟺ \iff ⟺秩等于n ⟺ \iff ⟺零空间维度为0齐次方程组只有零解 ⟺ \iff ⟺矩阵的列(行)向量均线性无关 总结
之前虽然已经提到秩的定义并推导了一些性质但还不够全面。本文可以算是对矩阵的秩的一点简单的查缺补漏吧。
