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设 X X X和 Y Y Y是定义在同一样本空间 Ω \varOmega Ω上的两个随机变量#xff0c;称由它们组成的向量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)为二维随机变量#xff0c;亦称为二维随机向量#xff0c;其中称 X X X和 Y Y Y是二维随机变量的分量。
采用多个随机变量去描述…二维随机变量
设 X X X和 Y Y Y是定义在同一样本空间 Ω \varOmega Ω上的两个随机变量称由它们组成的向量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)为二维随机变量亦称为二维随机向量其中称 X X X和 Y Y Y是二维随机变量的分量。
采用多个随机变量去描述一个随机现象所以定义中的随机变量 X X X和 Y Y Y是要求定义在同一个样本空间上。相对于二维随机变量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)也称 X X X和 Y Y Y是一维随机变量。
若随机变量 X X X和 Y Y Y之间存在相互关系则需要将 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)作为一个整体向量来进行研究。通过将两个随机变量 X X X和 Y Y Y组合成一个二维随机变量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)可以更全面地描述和分析随机现象。
二维离散随机变量
若二维随机变量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)的取值只有有限多对或可列无穷多对则称 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)为二维离散随机变量。
二维离散随机变量及其联合分布律
设二维离散随机变量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)所有可能取到的不同值为 ( x i , y j ) (x_i, y_j) (xi,yj) i , j 1 , 2 , … i, j 1, 2, \ldots i,j1,2,…称 p i j p ( x i , y j ) P ( X x i , Y y j ) p_{ij} p(x_i, y_j) P(X x_i, Y y_j) pijp(xi,yj)P(Xxi,Yyj)
为 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)的联合概率函数或联合分布律简称为 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)的概率函数或分布律。
二维离散随机变量如果二维随机变量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)的取值只有有限多对或可列无穷多对则称其为二维离散随机变量。联合概率函数 p i j p_{ij} pij表示随机变量 X X X取值为 x i x_i xi且随机变量 Y Y Y取值为 y j y_j yj的概率。联合分布律所有可能的 ( x i , y j ) (x_i, y_j) (xi,yj)对应的概率 p i j p_{ij} pij构成了二维离散随机变量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)的联合分布律。
设随机变量 X X X可以取值 x 1 , x 2 , … , x m x_1, x_2, \ldots, x_m x1,x2,…,xm而随机变量 Y Y Y可以取值 y 1 , y 2 , … , y n y_1, y_2, \ldots, y_n y1,y2,…,yn。那么 X X X和 Y Y Y的联合分布律可以通过以下方式表示 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y) Y y 1 Y y_1 Yy1 Y y 2 Y y_2 Yy2 ⋯ \cdots ⋯ Y y j Y y_j Yyj ⋯ \cdots ⋯ Y y n Y y_n Yyn X x 1 X x_1 Xx1 p 11 p_{11} p11 p 12 p_{12} p12 ⋯ \cdots ⋯ p 1 j p_{1j} p1j ⋯ \cdots ⋯ p 1 n p_{1n} p1n X x 2 X x_2 Xx2 p 21 p_{21} p21 p 22 p_{22} p22 ⋯ \cdots ⋯ p 2 j p_{2j} p2j ⋯ \cdots ⋯ p 2 n p_{2n} p2n ⋮ \vdots ⋮ ⋮ \vdots ⋮ ⋮ \vdots ⋮ ⋱ \ddots ⋱ ⋮ \vdots ⋮ ⋱ \ddots ⋱ ⋮ \vdots ⋮ X x i X x_i Xxi p i 1 p_{i1} pi1 p i 2 p_{i2} pi2 ⋯ \cdots ⋯ p i j p_{ij} pij ⋯ \cdots ⋯ p i n p_{in} pin ⋮ \vdots ⋮ ⋮ \vdots ⋮ ⋮ \vdots ⋮ ⋱ \ddots ⋱ ⋮ \vdots ⋮ ⋱ \ddots ⋱ ⋮ \vdots ⋮ X x m X x_m Xxm p m 1 p_{m1} pm1 p m 2 p_{m2} pm2 ⋯ \cdots ⋯ p m j p_{mj} pmj ⋯ \cdots ⋯ p m n p_{mn} pmn
在这个表中
每个元素 p i j p_{ij} pij表示 X x i X x_i Xxi且 Y y j Y y_j Yyj同时发生的概率。所有 p i j p_{ij} pij值加起来等于 1因为它们代表了所有可能事件的概率总和。
二维连续型随机变量及其联合概率密度函数
设 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)是二维随机变量 F ( x , y ) F(x, y) F(x,y)是其联合分布函数。若存在非负二元函数 p ( x , y ) p(x, y) p(x,y)使得对于任意的实数 x x x和 y y y有 F ( x , y ) ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( u , v ) d u d v , F(x, y) \int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f(u, v) \, {\rm d}u \, {\rm d}v, F(x,y)∫−∞x∫−∞yf(u,v)dudv,
则称 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)为二维连续型随机变量称 p ( x , y ) p(x, y) p(x,y)为 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)的联合概率密度函数简称为概率密度。
联合分布函数 F ( x , y ) F(x, y) F(x,y)描述了随机变量 X X X和 Y Y Y同时小于等于 x x x和 y y y的概率。联合概率密度函数 p ( x , y ) p(x, y) p(x,y)是一个非负二元函数通过积分可以得到联合分布函数 F ( x , y ) F(x, y) F(x,y)。二维连续型随机变量如果存在这样的联合概率密度函数 p ( x , y ) p(x, y) p(x,y)则称 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y)为二维连续型随机变量。 n n n维随机变量
设 X 1 , X 2 , … , X n X_1, X_2, \ldots, X_n X1,X2,…,Xn是定义在同一样本空间 Ω \varOmega Ω上的 n n n个随机变量称由它们组成的向量 ( X 1 , X 2 , … , X n ) (X_1, X_2, \ldots, X_n) (X1,X2,…,Xn)为 n n n维随机变量亦称为 n n n维随机向量其中称 X i X_i Xi 1 ≤ i ≤ n 1 \leq i \leq n 1≤i≤n是 n n n维随机向量的第 i i i个分量。 n n n维随机变量由 n n n个随机变量 X 1 , X 2 , … , X n X_1, X_2, \ldots, X_n X1,X2,…,Xn组成的向量。 n n n维随机向量与 n n n维随机变量同义表示一个包含 n n n个随机变量的向量。分量每个随机变量 X i X_i Xi 1 ≤ i ≤ n 1 \leq i \leq n 1≤i≤n是 n n n维随机向量的一个组成部分。
