重庆黄埔seo整站优化,黄页88官网,做搜索网站,wordpress 博客 安装教程行列式#xff08;determinant#xff09;是方阵的一个重要特征#xff0c;常记作detA或者|A|#xff0c;其包含了矩阵的很多重要信息。行列式为0#xff0c;则矩阵不可逆#xff0c;否则矩阵可逆#xff0c;所以行列式可用来检验矩阵的可逆性。这篇文章主要介绍行列式的…行列式determinant是方阵的一个重要特征常记作detA或者|A|其包含了矩阵的很多重要信息。行列式为0则矩阵不可逆否则矩阵可逆所以行列式可用来检验矩阵的可逆性。这篇文章主要介绍行列式的10个性质。
性质1单位矩阵的行列式为1
性质2如果交换矩阵的两行则行列式的符号要取反。从这个性质我们可得出置换矩阵的行列式总是为1或-1这取决于行交换的次数行交换奇数次则为-1偶数则为1。
性质3.1如果用某数t乘以矩阵的一行则行列式等于原行列式的t倍即
性质3.2
注意性质3两个性质都是关于行的线性并不是整个矩阵的线性。而且我这里举例用了第一行其实对其他行也是这样的性质但是不管怎样不能同时组合第1行和第2行。
性质4如果矩阵中有两行相等那么行列式为0。假设m*n的矩阵A中第2行和第3行相等交换第2行和第3行矩阵不变但是根据性质2行列式符号会取反也就是|A|-|A|则|A|0可以看到这跟结论有两个行相等的矩阵不可逆是一致的。
性质5从矩阵的行k减去行i的l倍行列式不会改变即消元过程不改变行列式。根据性质3.2可证明这个性质 性质6若矩阵中有一行是全0则|A|0。根据性质3.1取t0即可证明。
性质7三角阵的行列式等于对角线元素乘积。现假设有上三角阵 这个矩阵很常见因为通过消元总能得到这样的三角阵det(U)d1d2…dn实际上matlab中也是根据这种方法求行列式的。假设主元都不为0我们可以再对U向上消元那么星号的地方都会被消为0此时我们再利用性质3就可得到
但是如果主元位置上出现0我们将得到全零行利用性质6则行列式为0。根据性质7我们掌握了一种求解行列式的方法即消元。比如对于我们所熟知的 根据消元法有 也能得出其行列式为ad-bc。 性质8当且仅当A是奇异阵时detA0否则就是非奇异阵。
性质9detABdet(A)det(B)。但是要注意行列式不具有加法性质即不成立det(AB)detAdetB性质9是非常有用的公式比如说通过性质9我们可以求A-1的行列式detI1det(A)det(A-1)所以det(A-1)1/det(A)另外如果A是对角阵比如A 那么根据性质9我们可以快速写出A-1 此外还有det(A2)(detA)2既然前面提到det(AB)detAdetB不成立那么如果矩阵乘以2行列式会变为多少呢根据性质3.1有行列式det(2A)2ndetA其中A是n*n的矩阵这就像求体积对于一个立方体令每条边乘以2体积是2的n次方倍对于三维的立方体体积就是原来的8倍。
性质10det(AT)det(A)。这个性质表明前面所说的所有对行的性质对列也是成立的。例如如果存在全零列行列式也为0。
