凡科做网站视频,wordpress sae 4.4,德阳高端网站建设,5在线做网站FFT是离散傅立叶变换的快速算法#xff0c;可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的#xff0c;但是如果变换到频域之后#xff0c;就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外#xff0c;FFT可以将一个信号的频谱提取出来可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的但是如果变换到频域之后就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外FFT可以将一个信号的频谱提取出来这在频谱分析方面也是经常用的。采样频率要大于信号频率的两倍。为了方便进行FFT运算通常N取2的整数次方。
一、DFT
1.1 原理
定义来自百科离散傅里叶变换Discrete Fourier Transform缩写为DFT是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式将信号的时域采样变换为其DTFT的频域采样。在形式上变换两端时域和频域上的序列是有限长的而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT也应当将其看作其周期延拓的变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换计算DFT。
DFT的公式是设x(n)为M点的有限长序列即在0≤n≤M-1内有值则定义x(n)的N点N≥M。当NM时补N-M个零值点离散傅里叶变化定义为 其中为旋转因子为方便编辑后续记作W(N, nk)特此说明其计算公式为具有以下性质
①周期性W(N, nk) W(N, (nrN)k) W(N, n(krN))其中r问整数。
②共轭对称性(W(N, nk))* W(N, -nk)。
③可约性W(N, nk) W(mN, mnk)W(N, nk) W(N/m, nk/m)其中m为整数N/m为整数。
④特殊值W(N, N/2) -1 W(N, (kN/2)) -W(N, k) W(N, (N-k)n) W(N, (N-n)k) W(N, -nk)。
所以在计算旋转因子的过程中可以适当的使用特殊值来提高运算的效率。 在计算DFT时如果数据的点数够计算的点数则截取计算点数长的数据进行DFT运算否则将数据点个数补0至计算点个数然后进行计算举例如下举例只是为了说明问题没有按照编程语言的书写格式。
比如数据点数组为 dataArray {1 2 3 45}可以看出数据长度为5。
如果要求做4点DFT运算则只需截取前4个数作为运算数组进行运算即可即为{1 2 3 4}
如果要求做8点DFT运算则需在原数组后补三个0使长度为8后再进行计算计算数组为{1 2 3 45000}。
1.2 流程图 二、FFT
2.1 原理
设序列x(n)点数为N2^LL为整数。将N2^L先按照n的奇偶分为两组
其中r 0, 1, ..., N/2-1x(2r) x1(r)x(2r-1) x2(r)
则可将DFT化为 由上式可以看出一个N点的DFT可以分为两个N/2点的DFT按照上式右组合成N点DFT。但是这里的x1(r)、x2(r)以及X1(k)、X2(k)都是N/2点的序列即r,k满足r,k0, 1, ..., N/2-1。而X(k)却有N点上式计算的只是X(k)的前半项数的结果因此还需要计算后半项的值。 将①②③代入式1就可将X(k)表达为前后两部分
前半部分X(k)当k0, 1, ..., N/2-1 后半部分X(k)当kN/2, ..., N-1 2.2 流程图
①FFT运算总流程图包括 ②根据1中推导的内容FFT的流程图可化为 蝶形运算中又三层循环
第一层最外层完成M次迭代过程即算出A0(k), A1(k), ..., Am(k)其中k0, 1, ..., NA2(k)为蝶形运算第2级的结果如A0(k)x(k), Am(k)X(k)
第二层中间层完成旋转因子的变化步进为2^L
第三层最里层完成相同旋转因子的蝶形运算。
三、DFT与FFT
1.DFT的运算量
复数乘法次数为N*N复数加法次数为N(N-1)若N1则这两者都近似为N*N它随N增大为急速增大。改进途径①利用旋转因子性质减小计算量②由于运算量和N*N成正比因而可将N点DFT分解成小点数的DFT以减少运算量点数越小计算量越小③改为用FFT计算复数乘法次数为(N/2)*log(2,N)。
2.FFT可分为按照时间抽选的基-2算法库利-图基算法DIT-FFT和按频率抽选的基-2算法桑德-图基算法DIF-FFT。
3.FFT计算原理
FFT的计算要求点数必须为2的整数次幂如果点数不够用0补齐。例如计算{23584}的8点FFT需要补3个0后进行计算如果计算该数组的5点FFT则先计算8点FFT后截取前5个值即可不提倡。
四、蝴蝶运算
4.1 基本流程
蝶形运算符号表示如下图所示 所以FFT的蝶形运算图表示为8点2^3 8运算级数最大为L3 在蝶形运算中变化规律由W(N, p)推导其中N为FFT计算点数J为下角标的值 L 1时W(N, p) W(N, J) W(2^L, J)其中J 0; L 2时W(N, p) W(N, J) W(2^L, J)其中J 0, 1; L 3时W(N, p) W(N, J) W(2^L, J)其中J 0, 1, 2, 3;
所以W(N, p) W(2^L, J)其中J 0, 1, ..., 2^(L-1)-1
又因为2^L 2^M*2^(L-M) N*2^(L-M)这里N为2的整数次幂即N2^M
W(N, p) W(2^L, J) W(N*2^(L-M), J) W(N, J*2^(M-L))
所以p J*2^(M-L)此处J 0, 1, ..., 2^(L-1)-1当J遍历结束但计算点数不够N时JJ2^L后继续遍历直到计算点数为N时不再循环。
4.2 举例N8点的FFT计算
当L2时J 0, 1两个值因此p J*2^(M-L) 0, 2两个值即旋转因子有两个值W(8, 0)和W(8, 2)计算中两行之间的距离B 2^(L-1)2^(2-1)2 代入J0, 1可求得X(0)、X(02)和X(1)、X(12)即可求出第2级蝶形运算的X(0), X(1), X(2), X(3)也就是求出一半此时J加步进2^L4即JJ2^L4, 5
再代入J4, 5可求出X(4), X(42)和X(5), X(52)即可求出第2级蝶形运算的X(4), X(5), X(6), X(7)已经全部求出J循环结束。
4.3 二进制倒序说明
前面数的排列顺序是进行二进制倒序后的排序。二进制倒序是指将某数转化为二进制表示将最高位看做最低位、次高位看做次低位...以此类推计算后的纸进行排序。例如3的二进制表示为011b30*2^21*21二进制倒序值为6011b最高位看做最低位...即601*21*2^2
即0到7的二进制排序是 0, 4, 2, 6, 1, 5, 3, 7
000→000 001→100 010→010 011→110 100→001 101→101 110→011 111→111
五、从振幅或快速傅立叶变换到dB
从振幅或快速傅立叶变换到dB是一个涉及信号处理和单位转换的问题。
函数f(t)为一元连续函数其傅里叶变换定义为 其中i为虚数单位。欧拉公式 5.1 相关名词
1.振幅Amplitude振幅是指信号的最大偏离值表示信号的强度或能量大小。在信号处理中振幅常用于描述波形的高低或振动的幅度。
2.dB分贝分贝是一种用于表示信号强度或功率比例的对数单位。在信号处理中分贝常用于描述信号的增益或衰减程度。分贝的计算公式为dB 10 * log10(P1/P0)其中P1为信号的功率P0为参考功率。当保持输入信号的幅度不变改变频率使输出信号降至最大值的0.707倍即用频响特性来表述即为-3dB点处即为截止频率它是用来说明频率特性指标的一个特殊频率。
利用系统函数的模来表示电路的放大倍数由于20lgAω-3dB解得
Aω10^-0.150.707945784≈1/√2又因为Aω|Hjω|则|Hjω|^21/2
在高频端和低频端各有一个截止频率分别称为上截止频率和下截止频率。两个截止频率之间的频率范围称为通频带。
5.2 物理意义理解
假设采样频率为Fs信号频率F采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。
1.幅值这个点的模值就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢假设原始信号的峰值为A那么FFT的结果的每个点除了第一个点直流分量之外的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量它的模值就是直流分量的N倍。
2.相位而每个点的相位呢就是在该频率下的信号的相位。
3.分辨率第一个点表示直流分量即0Hz而最后一个点N的再下一个点实际上这个点是不存在的这里是假设的第N1个点也可以看做是将第一个点分做两半分另一半移到最后则表示采样频率Fs这中间被N-1个点平均分成N等份每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为Fn(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出Fn所能分辨到频率为为Fs/N如果采样频率Fs为1024Hz采样点数为1024点则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点刚好是1秒也就是说采样1秒时间的信号并做FFT则结果可以分析到1Hz如果采样2秒时间的信号并做FFT则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力则必须增加采样点数也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。
4.表达式假设FFT之后某点n用复数abi表示那么这个复数的模就是An根号a*ab*b相位就是Pnatan2(b,a)。根据以上的结果就可以计算出n点n≠1且nN/2对应的信号的表达式为An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*tPn)即2*An/N*cos(2*pi*Fn*tPn)。对于n1点的信号是直流分量幅度即为A1/N。
由于FFT结果的对称性通常我们只使用前半部分的结果即小于采样频率一半的结果。
5.3 示例
假设我们有一个信号它含有2V的直流分量频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下式中cos参数为弧度所以-30度和90度要分别换算成弧度
S23*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)1.5*cos(2*pi*75*tpi*90/180)
我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样总共采样256点。按照我们上面的分析Fn(n-1)*Fs/N我们可以知道每两个点之间的间距就是1Hz第n个点的频率就是n-1。我们的信号有3个频率0Hz、50Hz、75Hz应该分别在第1个点、第50个点、第76个点上出现峰值其它各点应该接近0。
幅值 相位弧度相位角度直流分量 512/N 512/256 2 \\50Hz 384/(N/2) 384/(256/2) 3 atan2(-192, 332.55) -0.5236 (-0.5236)/pi -30.0001 75Hz 192/(N/2) 192/(256/2) 1.5 atan2(192, 3.4315E-12) 1.5708 180*1.5708/pi 90.0002 图片横坐标为第几个点即Hz纵坐标为模
5.4 波特图
1、伯德图的定义
伯德图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线构成。 伯德图一般是由二张图组合而成 伯德图由两张图组成①G(jω)的幅值(以分贝dB表示)-频率(以对数标度)对数坐标图其上画有对数幅频曲线②G(jω)的相角-频率(以对数标度)对数坐标图其上画有相频曲线。
对数幅值的标准表达式为20 lg|G(jω)|单位是分贝相角的单位是度。由于增益用对数来表示log(ab)log(a)log(b)因此一传递函数乘以一常数在伯德增益图只需将图形的纵向移动即可二传递函数的相乘在波德幅频图就变成图形的相加。幅频图纵轴0分贝以下具有正增益裕度、属稳定区反之属不稳定区。
配合波德相频图可以估算一信号进入系统后输出信号及原始信号的比例关系及相位。例如一个Asin(ωt) 的信号进入系统后振幅变原来的k倍相位落后原信号Φ则其输出信号则为(Ak)sin(ωt−Φ)其中的k和Φ都是频率的函数。相频图纵轴-180度以上具有正相位裕度、属稳定区反之属不稳定区。
2、伯德图的画法
画伯德图时分三个频段进行先画幅频特性顺序是中频段、低频段和高频段。将三个频段的频率特性(或称频率响应)合起来就是全频段的幅频特性然后再根据幅频特性画出相应的相频特性来。 作伯德图时首先写出频率特性然后按常数因子K、积分和微分因子(jω)、一阶因子(1jωT)和二阶因子[12ζ(jω/ωn)(jω)/ω]1这样四种基本因子分别画出伯德图再总加而成。
下图是常见简易传递函数的伯德图趋势 五、代码实现C语言
FFT.H FFT.C 六、代码实现Matlab
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