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2.最大似然估计的概念的理解2
3.最大似然估计的概念的理解3
4.例子 1.最大似然估计的概念的理解1 最大似然估计是一种概率论在统计学上的概念#xff0c;是参数估计的一种方法。给定观测数据来评估模型参数。也就是模型已知#xff0c;参…目录 1.最大似然估计的概念的理解1
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4.例子 1.最大似然估计的概念的理解1 最大似然估计是一种概率论在统计学上的概念是参数估计的一种方法。给定观测数据来评估模型参数。也就是模型已知参数未定。已知某个随机样本满足某种概率分布但是其中具体参数不太清楚参数估计通过若干次的实验观察其结果利用结推出参数的大概值。最大似然估计是建立在这样的思想上已知某个参数能使这个样本出现的概率最大我们当然不会再去选择其他小概率的样本所以干脆值把这个参数作为估计的真实值。 最大似然估计是建立在最大似然原理的基础上。最大似然原理设一个随机实验有若干个可能出现的结果A1、A2、…、An在一次实验中结果Ak出现则认为实验Ak的出现最有利即Ak出现概率较大。这里用到概率最大概率最可能出现的直观想法然后对Ak出现的概率公式求极大值这样便可解未知参数。 最大似然估计定义最有可能的情况即找出与样本分布最接近的概率分布模型 似然函数它是一种关于统计模型中的参数的函数表示模型参数的似然性(likelyhood)“似然性”它 与 (或然性或 “概率性”或”概率“)意思相近都是指事件发生的可能性。但是 似然性 和 概率 在统计学中还是有明确的区分 概率在参数已知的情况下预测观测结果 似然性在观测结果已知的情况下对参数进行估值和猜测。 2.最大似然估计的概念的理解2 最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation)是一种可以生成拟合数据的任何分布的参数的最可能估计的技术。它是一种解决建模和统计中常见问题的方法——将概率分布拟合到数据集。 例如假设数据来自泊松(λ)分布在数据分析时需要知道λ参数来理解数据。这时就可以通过计算MLE找到给定数据的最有可能的λ并将其用作对参数的良好估计。 MLE是用于拟合或估计数据集概率分布的频率法。这是因为MLE从不计算假设的概率而贝叶斯解会同时使用数据和假设的概率。MLE假设在计算方法之前所有的解决方案(分布的参数)都是等可能的而贝叶斯方法(MAP)不是这样它使用了关于分布参数的先验信息。 MLE之所以有效是因为它将寻找数据分布的参数视为一个优化问题。通过最大化似然函数找到了最可能的解。 3.最大似然估计的概念的理解3 最大似然估计把抽这些样本的每一次抽取看成一个个独立的事件然后将它们的概率密度乘起来视为一个整体事件A然后反推“参数为什么值的时候事件A最有可能发生” 4.例子
假如有一个罐子里面有黑白两种颜色的球数目多少不知两种颜色的比例也不知。我们想知道罐中白球和黑球的比例现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来记录球的颜色然后把拿出来的球再放回罐中。假如在前面的一百次重复记录中有七十次是白球请问罐中白球所占的比例最有可能是多少
很多人马上就有答案了70%。而其后的理论支撑是什么呢
我们假设罐中白球的比例是p那么黑球的比例就是1-p。因为每抽一个球出来在记录颜色之后我们把抽出的球放回了罐中并摇匀所以每次抽出来的球的颜色服从同一独立分布。
那么问题来了既然有无数种分布可以选择极大似然估计应该按照什么原则去选取这个分布呢
如果第一次抽象的结果记为x1,第二次抽样的结果记为x2....那么样本结果为(x1,x2.....,x100)。这样我们可以得到如下表达式
P(样本结果|Model) P(x1,x2,…,x100|Model) P(x1|Mel)P(x2|M)…P(x100|M) p^70(1-p)^30.
答采取的方法是让这个样本结果出现的可能性最大也就是使得p^70(1-p)^30值最大那么我们就可以看成是p的方程求导即可
那么既然事情已经发生了为什么不让这个出现的结果的可能性最大呢这也就是最大似然估计的核心。
我们想办法让观察样本出现的概率最大转换为数学问题就是使得
p^70(1-p)^30最大这太简单了未知数只有一个p我们令其导数为0即可求出p为70%与我们一开始认为的70%是一致的。其中蕴含着我们的数学思想在里面。
求最大似然估计的问题就变成了求似然函数的极值问题。
