腾讯云做网站选哪个,网页设计图片与文字的研究,公司网站费用怎么做分录,wordpress 默认评论文章目录 1. 相似矩阵1.1 A T A A^TA ATA正定性证明 2. 相似矩阵2.1 举例2.2 证明相似矩阵具有相同特征值 1. 相似矩阵
假设矩阵A#xff0c;B为正定矩阵#xff0c;那么对于任意非零列向量x来说#xff0c;二次型 x T A x , x T B x x^TAx,x^TBx xTAx,xTBx恒为正 x T A … 文章目录 1. 相似矩阵1.1 A T A A^TA ATA正定性证明 2. 相似矩阵2.1 举例2.2 证明相似矩阵具有相同特征值 1. 相似矩阵
假设矩阵AB为正定矩阵那么对于任意非零列向量x来说二次型 x T A x , x T B x x^TAx,x^TBx xTAx,xTBx恒为正 x T A x 0 x T B x 0 \begin{equation} x^TAx0x^TBx0 \end{equation} xTAx0xTBx0
如果AB均是正定矩阵那么AB也是正定矩阵 x T ( A B ) x ( x T A x T B ) x x T A x x T B x 0 \begin{equation} x^T(AB)x(x^TAx^TB)xx^TAxx^TBx0 \end{equation} xT(AB)x(xTAxTB)xxTAxxTBx0 我们在做最小二乘法的过程中需要拟合一条直线满足直线基本能反映点的情况我们知道b值不一定在A的列空间中所以我们通过同时乘以 A T A^T AT 得到 A T b A^Tb ATb,使得方程能求得最优解 x ^ \hat{x} x^ A T A x ^ A T b \begin{equation} A^TA\hat{x}A^Tb \end{equation} ATAx^ATb 这时候我们就遇到了 A T A A^TA ATA矩阵那么这个矩阵肯定是对称矩阵请问 A T A A^TA ATA 是否是正定矩阵呢
1.1 A T A A^TA ATA正定性证明
首先 A T A A^TA ATA是对称的那么我们只需要证明对于任意非零向量x二次型恒正即可 x T A T A x ? ? ? 0 \begin{equation} x^TA^TAx???0 \end{equation} xTATAx???0
整理上述公式可得 ( x T A T ) ( A x ) ( A x ) T ( A x ) \begin{equation} (x^TA^T)(Ax)(Ax)^T(Ax) \end{equation} (xTAT)(Ax)(Ax)T(Ax)我们知道Ax表示的是A列向量的组合最后还是一个列向量所以上述值都是一个标量的平方所以可以得到如下 ( x T A T ) ( A x ) ( A x ) T ( A x ) ∣ ∣ A x ∣ ∣ 2 ≥ 0 \begin{equation} (x^TA^T)(Ax)(Ax)^T(Ax)||Ax||^2 \ge 0 \end{equation} (xTAT)(Ax)(Ax)T(Ax)∣∣Ax∣∣2≥0那么什么时候 ∣ ∣ A x ∣ ∣ ≠ 0 ||Ax|| \neq0 ∣∣Ax∣∣0呢也就是当Ax0无零解也就是说矩阵A的秩等于列数n所以可以得到只要给定一个m行n列的矩阵A如果矩阵A的秩为n即满列秩那么就可以得到 A T A A^TA ATA为正定矩阵
2. 相似矩阵
假设A,B均是N×N的矩阵如果存在一个可以矩阵M使得三个矩阵满足如下关系那么A相似于B B M − 1 A M \begin{equation} BM^{-1}AM \end{equation} BM−1AM 特征向量矩阵S当我们有一个矩阵A其特征值矩阵为 Λ \Lambda Λ,特征向量矩阵为S,满足如下条件 Λ S − 1 A S ⇒ A ∼ Λ \begin{equation} \LambdaS^{-1}AS \Rightarrow A \sim \Lambda \end{equation} ΛS−1AS⇒A∼Λ
按照新的说法来说矩阵A相似于特征向量 Λ \Lambda Λ也就是说当矩阵M是特征向量矩阵S时候矩阵A相似于特征值矩阵 Λ \Lambda Λ,如果 M ≠ S M \ne S MS,那么矩阵A相似于其他的。 B M − 1 A M ⇒ { A ∼ Λ M S A ∼ B M ≠ S \begin{equation} BM^{-1}AM \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} A \sim \LambdaMS\\ A \sim BM\neq S\\ \end{aligned} \right.\end{equation} BM−1AM⇒{A∼ΛMSA∼BMS
2.1 举例
当我们矩阵A表示如下可以得到其特征向量矩阵S特征值矩阵 Λ \Lambda Λ A [ 2 1 1 2 ] ⇒ S [ 1 1 − 1 1 ] , Λ [ 1 0 0 3 ] ⇒ A ∼ Λ \begin{equation} A\begin{bmatrix} 21\\\\ 12 \end{bmatrix}\Rightarrow S\begin{bmatrix} 11\\\\ -11 \end{bmatrix},\Lambda\begin{bmatrix} 10\\\\ 03 \end{bmatrix}\Rightarrow A \sim \Lambda \end{equation} A 2112 ⇒S 1−111 ,Λ 1003 ⇒A∼Λ
给定一个矩阵M可得如下B A [ 2 1 1 2 ] ⇒ M [ 1 4 0 1 ] , B M − 1 A M [ − 2 − 15 1 6 ] ⇒ A ∼ B \begin{equation} A\begin{bmatrix} 21\\\\ 12 \end{bmatrix}\Rightarrow M\begin{bmatrix} 14\\\\ 01 \end{bmatrix},BM^{-1}AM\begin{bmatrix} -2-15\\\\ 16 \end{bmatrix}\Rightarrow A \sim B \end{equation} A 2112 ⇒M 1041 ,BM−1AM −21−156 ⇒A∼B矩阵A,B, Λ \Lambda Λ之间有什么关系呢 ∣ ∣ A ∣ ∣ 3 , λ A 1 1 λ A 2 3 ; t r a c e A 4 \begin{equation} ||A||3,\lambda_{A1}1\lambda_{A2}3;trace_A4 \end{equation} ∣∣A∣∣3,λA11λA23;traceA4 ∣ ∣ B ∣ ∣ 3 , λ B 1 1 λ B 2 3 ; t r a c e B 4 \begin{equation} ||B||3,\lambda_{B1}1\lambda_{B2}3;trace_B4 \end{equation} ∣∣B∣∣3,λB11λB23;traceB4
1、两者的秩相等。 2、两者的行列式值相等。 3、两者的迹数相等。 4、两者拥有同样的特征值尽管相应的特征向量一般不同
2.2 证明相似矩阵具有相同特征值 B M − 1 A M , A x λ x \begin{equation} BM^{-1}AM,Ax\lambda x \end{equation} BM−1AM,Axλx M B M − 1 A ⇒ M B M − 1 x A x λ x ⇒ B [ M − 1 x ] λ [ M − 1 x ] \begin{equation} MBM^{-1}A\Rightarrow MBM^{-1}xAx\lambda x \Rightarrow B[M^{-1}x]\lambda [M^{-1}x] \end{equation} MBM−1A⇒MBM−1xAxλx⇒B[M−1x]λ[M−1x]
故可以得到如果矩阵A相似于矩阵B那么A,B具有相同的特征值矩阵。
