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矩阵的转置#xff08;Transpose#xff09;是矩阵操作中的一种基本运算。它通过交换矩阵的行和列来生成一个新的矩阵。具体来说#xff0c;如果 A 是一个
mn 的矩阵#xff0c;那么它的转置矩阵 A^T 是一个 nm 的矩阵#xff0c;其中 A^T 的第 i 行第 j 列…9.矩阵的转置
矩阵的转置Transpose是矩阵操作中的一种基本运算。它通过交换矩阵的行和列来生成一个新的矩阵。具体来说如果 A 是一个
m×n 的矩阵那么它的转置矩阵 A^T 是一个 n×m 的矩阵其中 A^T 的第 i 行第 j 列的元素等于 A 的第 j 行第i 列的元素。
定义
设 A 是一个 m×n 的矩阵其元素为 aij那么 A 的转置矩阵 A^T 是一个 n×m 的矩阵其元素为 aji。
例子
假设有一个矩阵 A A ( 1 2 3 4 5 6 ) A\begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 4 5 6\end{pmatrix} A(142536) 这个矩阵是一个 2×3 的矩阵。它的转置矩阵 A^T 是一个 3×2 的矩阵计算如下 A T ( 1 4 2 5 3 6 ) A^{T}\begin{pmatrix} 1 4 \\ 2 5\\3 6 \end{pmatrix} AT 123456 性质
矩阵转置具有以下性质
(AT)T A一个矩阵的转置的转置等于原矩阵。(A B)^T A^T B^T两个矩阵和的转置等于它们各自转置的和。(kA)^T kA^T一个矩阵乘以一个标量的转置等于该矩阵的转置乘以该标量。(AB)^T B^T A^T两个矩阵乘积的转置等于它们各自转置的乘积但顺序相反。
特殊矩阵 对称矩阵如果一个矩阵 A 满足 A^TA那么 A 是对称矩阵。对称矩阵的元素关于主对角线对称。 如 A ( 1 1 3 1 1 4 3 4 1 ) A\begin{pmatrix} 1 1 3 \\ 1 1 4 \\ 3 4 1\end{pmatrix} A 113114341 反对称矩阵如果一个矩阵 A 满足 A^T−A那么 A 是反对称矩阵。反对称矩阵的主对角线元素必须为零且关于主对角线对称的元素互为相反数。 如 A ( 0 1 3 − 1 0 4 − 3 − 4 0 ) A\begin{pmatrix} 0 1 3 \\ -1 0 4 \\ -3 -4 0\end{pmatrix} A 0−1−310−4340 A T ( 0 − 1 − 3 1 0 − 4 3 4 0 ) − A A^{T}\begin{pmatrix} 0 -1 -3 \\ 1 0 -4 \\ 3 4 0\end{pmatrix}-A AT 013−104−3−40 −A 反对称矩阵 a i j − a j i a_{ij}-a_{ji} aij−aji 所以 a i i − a i i 2 a i i 0 a i i 0 a_{ii}-a_{ii}2a_{ii}0a_{ii}0 aii−aii2aii0aii0 得出主对角线元素必须为零。
对称矩阵和反对称矩阵都是方阵。
矩阵A和B为同阶对称矩阵AB对称的充要条件为ABBA
证明
AB对称则 ( A B ) T A B (AB)^{T}AB (AB)TAB 同时 ( A B ) T B T A T (AB)^{T}B^{T}A^{T} (AB)TBTAT 由于A和B是对称矩阵则 ( A B ) T B T A T B A (AB)^{T}B^{T}A^{T}BA (AB)TBTATBA 所以 A B B A ABBA ABBA 思考
A为反对称矩阵则A^k为
证明 ( A k ) T ( A × A . . . × A ) T A T × A T . . . × A T ( − A ) × ( − A ) . . . × ( − A ) ( − 1 ) k A k (A^{k})^{T}(A\times A ...\times A)^{T}A^{T}\times A^{T}...\times A^{T}(-A)\times (-A)...\times (-A)(-1)^{k}A^{k} (Ak)T(A×A...×A)TAT×AT...×AT(−A)×(−A)...×(−A)(−1)kAk 如果k为偶数则 ( A k ) T A k (A^{k})^{T}A^{k} (Ak)TAk 此时A^k为对称矩阵
如果k为奇数则 ( A k ) T − A k (A^{k})^{T}-A^{k} (Ak)T−Ak 此时A^k为反对称矩阵
10.方阵的行列式
要计算行列式的前提为矩阵A为方阵。
性质A为n阶的方阵 ∣ A T ∣ ∣ A ∣ |A^{T}||A| ∣AT∣∣A∣ ∣ k A ∣ k n ∣ A ∣ |kA|k^{n}|A| ∣kA∣kn∣A∣ ∣ − A ∣ ( − 1 ) n ∣ A ∣ |-A|(-1)^{n}|A| ∣−A∣(−1)n∣A∣ ∣ A B ∣ ∣ A ∣ ∣ B ∣ |AB||A||B| ∣AB∣∣A∣∣B∣ ∣ A m ∣ ∣ A ∣ m |A^{m}||A|^{m} ∣Am∣∣A∣m ∣ E ∣ 1 |E|1 ∣E∣1
例子
1.有矩阵A A ( 1 2 0 0 3 0 − 1 4 5 ) A\begin{pmatrix} 1 2 0 \\ 0 3 0 \\ -1 4 5\end{pmatrix} A 10−1234005 求|2A|和|A|A
解 d e t ( A ) ∣ 1 2 0 0 3 0 − 1 4 5 ∣ 3 × ( − 1 ) 2 2 ∣ 1 0 − 1 5 ∣ 15 det(A)\begin{vmatrix} 1 2 0 \\ 0 3 0 \\ -1 4 5\end{vmatrix}3\times (-1)^{22}\begin{vmatrix} 1 0\\-1 5 \end{vmatrix}15 det(A) 10−1234005 3×(−1)22 1−105 15 则 d e t ( 2 A ) 2 3 d e t ( A ) 120 det(2A)2^{3}det(A)120 det(2A)23det(A)120 d e t ( A ) A 15 A 15 ( 1 2 0 0 3 0 − 1 4 5 ) ( 15 30 0 0 45 0 − 15 60 75 ) det(A)A15A15\begin{pmatrix} 1 2 0 \\ 0 3 0 \\ -1 4 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 15 30 0 \\ 0 45 0 \\ -15 60 75\end{pmatrix} det(A)A15A15 10−1234005 150−153045600075
2.A为n阶方阵|A|3求 ∣ ∣ A ∣ A T ∣ ? ||A|A^{T}|? ∣∣A∣AT∣? 解 ∣ ∣ A ∣ A T ∣ ∣ A ∣ n ∣ A T ∣ ∣ A ∣ n 1 3 n 1 ||A|A^{T}||A|^{n}|A^{T}||A|^{n1}3^{n1} ∣∣A∣AT∣∣A∣n∣AT∣∣A∣n13n1
11.伴随矩阵
设 A 是一个 n×n 的方阵其元素为 aij。伴随矩阵 adj(A)或A* 是一个 n×n的矩阵其第 i 行第 j 列的元素是 A 的余子式 Mji 的代数余子式 Cji即 ( A ∗ ) i j C j i ( − 1 ) i j M j i (A^{*})_{ij}C^{ji}(−1)^{ij}M_{ji} (A∗)ijCji(−1)ijMji 其中 Mji是 A 的第j 行第i 列元素的余子式即去掉第 j 行和第 i 列后剩下的 (n−1)×(n−1) 矩阵的行列式。
简单理解
1.先按行求出每个元素的代数余子式
2.将每行元素的代数余子式按列组成一个矩阵该矩阵就是伴随矩阵。
例如 A ( 1 1 1 2 1 3 1 1 4 ) A\begin{pmatrix} 1 1 1 \\ 2 1 3 \\ 1 1 4\end{pmatrix} A 121111134 求A的伴随矩阵A*
解
按行求出每个元素的代数余子式 C 11 ( − 1 ) 1 1 ∣ 1 3 1 4 ∣ 1 , C 12 ( − 1 ) 1 2 ∣ 2 3 1 4 ∣ − 5 , C 13 ( − 1 ) 1 3 ∣ 2 1 1 1 ∣ 1 C 21 − 3 , C 22 3 , C 23 0 C 31 2 , C 32 − 1 , C 33 − 1 C_{11}(-1)^{11}\begin{vmatrix} 1 3 \\ 1 4 \end{vmatrix}1,C_{12}(-1)^{12}\begin{vmatrix} 2 3 \\ 1 4 \end{vmatrix}-5,C_{13}(-1)^{13}\begin{vmatrix} 2 1 \\ 1 1 \end{vmatrix}1\\ C_{21}-3,C_{22}3,C_{23}0\\ C_{31}2,C_{32}-1,C_{33}-1 C11(−1)11 1134 1,C12(−1)12 2134 −5,C13(−1)13 2111 1C21−3,C223,C230C312,C32−1,C33−1 然后将每行元素的代数余子式按列组成矩阵 C ( 1 − 3 2 − 5 3 − 1 1 0 − 1 ) C\begin{pmatrix} 1 -3 2 \\ -5 3 -1 \\ 1 0 -1\end{pmatrix} C 1−51−3302−1−1 性质 A A ∗ A ∗ A ∣ A ∣ E AA^{*}A^{*}A|A|E AA∗A∗A∣A∣E 证明 ( a 11 C 11 a 12 C 12 . . . a 1 n C 1 n 0 . . . 0 0 a 21 C 21 a 22 C 22 . . . a 2 n C 2 n . . . 0 ⋮ 0 0 . . . a n 1 C n 1 a n 2 C n 2 . . . a n n C n n ) ( ∣ A ∣ 0 . . . 0 0 ∣ A ∣ . . . 0 ⋮ 0 0 . . . ∣ A ∣ ) ∣ A ∣ E \begin{pmatrix} a_{11}C_{11}a_{12}C_{12}...a_{1n}C_{1n} 0 ... 0 \\ 0 a_{21}C_{21}a_{22}C_{22}...a_{2n}C_{2n} ... 0 \\ \vdots \\ 0 0 ... a_{n1}C_{n1}a_{n2}C_{n2}...a_{nn}C_{nn}\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}|A| 0 ... 0 \\ 0 |A| ... 0 \\ \vdots \\ 0 0 ... |A| \end{pmatrix}|A|E a11C11a12C12...a1nC1n000a21C21a22C22...a2nC2n⋮0.........00an1Cn1an2Cn2...annCnn ∣A∣000∣A∣⋮0.........00∣A∣ ∣A∣E 性质2 ∣ A ∗ ∣ ∣ A ∣ n − 1 |A^{*}||A|^{n-1} ∣A∗∣∣A∣n−1 证明 ∣ A A ∗ ∣ ∣ A ∣ ∣ A ∗ ∣ ∣ ∣ A ∣ E ∣ ∣ A ∣ n ∣ E ∣ ∣ A ∣ n |AA^{*}||A||A^{*}|||A|E||A|^{n}|E||A|^{n} ∣AA∗∣∣A∣∣A∗∣∣∣A∣E∣∣A∣n∣E∣∣A∣n 所以 ∣ A ∣ ∣ A ∗ ∣ ∣ A ∣ n ∣ A ∣ ( ∣ A ∣ n − 1 − ∣ A ∗ ∣ ) 0 |A||A^{*}||A|^{n}|A|(|A|^{n-1}-|A^{*}|)0 ∣A∣∣A∗∣∣A∣n∣A∣(∣A∣n−1−∣A∗∣)0 得出 ∣ A ∣ 0 或 ∣ A ∗ ∣ ∣ A ∣ n − 1 |A|0 或 |A^{*}||A|^{n-1} ∣A∣0或∣A∗∣∣A∣n−1 如果|A|0则A中两行元素相等或成比例或一行元素为0则其代数余子式必有一行元素为0所以 ∣ A ∗ ∣ 0 0 n − 1 ∣ A ∣ n − 1 |A^{*}|00^{n-1}|A|^{n-1} ∣A∗∣00n−1∣A∣n−1 所以等式成立。
12.逆矩阵
对于一个 n×n 的方阵 A如果存在另一个 n×n的方阵 B使得 ABBAE其中 E 是 n×n 的单位矩阵那么 B 称为 A 的逆矩阵记作 A − 1 A^{−1} A−1 逆矩阵的存在条件
一个矩阵 A 有逆矩阵的充分必要条件是 A 是可逆的即 det(A)≠0。如果 det(A)0则 A 是奇异矩阵没有逆矩阵。
思考如果A可逆则可逆矩阵是唯一的
证明
假设可逆矩阵不是唯一的存在两个可逆矩阵B1和B2则由可逆矩阵定义可知 A B 1 B 1 A E A B 2 B 2 A E AB_{1}B_{1}AE\\ AB_{2}B_{2}AE AB1B1AEAB2B2AE 则 B 1 B 1 E B 1 ( A B 2 ) ( B 1 A ) B 2 E B 2 B 2 B_{1}B_{1}EB_{1}(AB_{2})(B_{1}A)B_{2}EB_{2}B_{2} B1B1EB1(AB2)(B1A)B2EB2B2 所以可逆矩阵唯一。
性质
1.n阶方阵A可逆的充要条件为 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\neq 0 ∣A∣0 且当A可逆时 A − 1 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}\dfrac{1}{|A|}A^{*} A−1∣A∣1A∗ 证明
充分性
因为 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\neq 0 ∣A∣0 则 A A ∗ A ∗ A ∣ A ∣ E A ( 1 ∣ A ∣ A ∗ ) ( 1 ∣ A ∣ A ∗ ) A E AA^{*}A^{*}A|A|EA(\dfrac{1}{|A|}A^{*})(\dfrac{1}{|A|}A^{*})AE AA∗A∗A∣A∣EA(∣A∣1A∗)(∣A∣1A∗)AE 所以A可逆并且 A − 1 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}\dfrac{1}{|A|}A^{*} A−1∣A∣1A∗ 必要性
因为A可逆则 A B B A E ∣ A B ∣ ∣ A ∣ ∣ B ∣ ∣ E ∣ 1 ABBAE|AB||A||B||E|1 ABBAE∣AB∣∣A∣∣B∣∣E∣1 所以 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\neq 0 ∣A∣0 例子
有矩阵A A ( 1 0 1 2 1 0 − 3 2 − 5 ) A\begin{pmatrix} 1 0 1 \\ 2 1 0 \\ -3 2 -5\end{pmatrix} A 12−301210−5 问矩阵A是否可逆如果可逆求可逆矩阵
解 ∣ A ∣ ∣ 1 0 1 2 1 0 − 3 2 − 5 ∣ − 5 4 3 2 ≠ 0 |A|\begin{vmatrix} 1 0 1 \\ 2 1 0 \\ -3 2 -5\end{vmatrix}-5432\neq 0 ∣A∣ 12−301210−5 −54320 所以A可逆 A − 1 1 ∣ A ∣ A ∗ 1 2 ( − 5 2 − 1 10 − 2 2 7 − 2 1 ) A^{-1}\dfrac{1}{|A|}A^{*}\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -5 2 -1 \\ 10 -2 2 \\ 7 -2 1\end{pmatrix} A−1∣A∣1A∗21 −51072−2−2−121
2.设A、B 和 C 是 n×n 的可逆矩阵那么它们的乘积 ABC的逆矩阵为 ( A B C ) − 1 C − 1 B − 1 A − 1 (ABC)^{−1}C^{−1}B^{−1}A^{−1} (ABC)−1C−1B−1A−1
13.初等变换
初等变换一般可以分为两种类型行变换、列变换。
初等行变换 交换两行将矩阵的第 i 行和第 j 行交换位置 如矩阵第二行和第三行交换 ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) − ( 1 2 3 7 8 9 4 5 6 ) \begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 4 5 6 \\ 7 8 9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 2 3\\ 7 8 9 \\ 4 5 6 \end{pmatrix} 147258369 − 174285396 某一行乘以非零常数将矩阵的第i 行乘以一个非零常数 k 如第二行乘以非零整数k ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) − ( 1 2 3 4 k 5 k 6 k 7 8 9 ) \begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 4 5 6 \\ 7 8 9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 4k 5k 6k \\ 7 8 9\end{pmatrix} 147258369 − 14k725k836k9 某一行加上另一行的倍数将矩阵的第 i行加上第 j 行的 k 倍 如矩阵第一行乘以-4加到第二行 ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) − ( 1 2 3 0 − 3 − 6 7 8 9 ) \begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 4 5 6 \\ 7 8 9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 0 -3 -6 \\ 7 8 9\end{pmatrix} 147258369 − 1072−383−69
初等列变换
交换两列将矩阵的第 i 列和第 j 列交换位置某一列乘以非零常数将矩阵的第 i 列乘以一个非零常数 k某一列加上另一列的倍数将矩阵的第 i 列加上第 j 列的 k 倍
14.矩阵的标准形
常见的矩阵标准形包括行阶梯形矩阵、简化行阶梯形矩阵等。
14.1 行阶梯形矩阵
行阶梯形矩阵是一种特殊的矩阵形式具有以下特征
非零行在零行之上所有非零行都在零行之上。主元每一行的第一个非零元素主元在上一行主元的右边。主元下方元素为零每一行的主元下方元素都为零。
例如以下矩阵是一个行阶梯形矩阵 ( 1 2 3 0 5 6 0 0 9 ) , ( 1 2 3 4 0 5 6 7 0 0 0 9 ) \begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 0 5 6 \\ 0 0 9\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 2 3 4 \\ 0 5 6 7\\ 0 0 0 9\end{pmatrix} 100250369 , 100250360479 简单理解为用折线表示竖线只过一个数横线可过多个数
下边的矩阵不是行阶梯形矩阵
14.2 简化行阶梯形矩阵
简化行阶梯形矩阵是行阶梯形矩阵的一种特殊形式具有以下特征
非零行在零行之上所有非零行都在零行之上。主元为 1每一行的第一个非零元素主元为 1。主元下方元素为零每一行的主元下方元素都为零。主元上方元素为零每一行的主元上方元素都为零。
即
1.是行阶梯形矩阵2.非0行的首非0元是13.非0行的首非0元所在列的其它元素都是0
红色折线表示矩阵为行阶梯形矩阵蓝色圆圈表示首非0元是1黄色竖线表示首非0元所在列的其它元素都是0
例子
有矩阵A ( 2 − 1 − 1 1 2 1 1 − 2 1 4 4 − 6 2 − 2 4 3 6 − 9 7 9 ) \begin{pmatrix} 2 -1 -1 1 2 \\ 1 1 -2 1 4\\ 4 -6 2 -2 4\\ 3 6 -9 7 9\end{pmatrix} 2143−11−66−1−22−911−272449 求该矩阵的行阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵
解
1.第1行和第2行交换得到 ( 1 1 − 2 1 4 2 − 1 − 1 1 2 4 − 6 2 − 2 4 3 6 − 9 7 9 ) \begin{pmatrix} 1 1 -2 1 4\\ 2 -1 -1 1 2 \\ 4 -6 2 -2 4\\ 3 6 -9 7 9\end{pmatrix} 12431−1−66−2−12−911−274249 2.第1行乘以-2加到第2行第1行乘以-4加到第3行第1行乘以-3加到第4行得到 ( 1 1 − 2 1 4 0 − 3 3 − 1 − 6 0 − 10 10 − 6 − 12 0 3 − 3 4 − 3 ) \begin{pmatrix} 1 1 -2 1 4\\ 0 -3 3 -1 -6 \\ 0 -10 10 -6 -12\\ 0 3 -3 4 -3\end{pmatrix} 10001−3−103−2310−31−1−644−6−12−3 3.第2行乘以-10/3加到第3行第2行加到第4行得到 ( 1 1 − 2 1 4 0 − 3 3 − 1 − 6 0 0 0 − 8 3 8 0 0 0 3 − 9 ) \begin{pmatrix} 1 1 -2 1 4\\ 0 -3 3 -1 -6 \\ 0 0 0 -\dfrac{8}{3} 8\\ 0 0 0 3 -9\end{pmatrix} 10001−300−23001−1−3834−68−9 4.第3三行乘以3/8得到 ( 1 1 − 2 1 4 0 − 3 3 − 1 − 6 0 0 0 − 1 3 0 0 0 3 − 9 ) \begin{pmatrix} 1 1 -2 1 4\\ 0 -3 3 -1 -6 \\ 0 0 0 -1 3\\ 0 0 0 3 -9\end{pmatrix} 10001−300−23001−1−134−63−9 5.第3行乘以3加到第4行得到一个阶梯形矩阵 ( 1 1 − 2 1 4 0 − 3 3 − 1 − 6 0 0 0 − 1 3 0 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix} 1 1 -2 1 4\\ 0 -3 3 -1 -6 \\ 0 0 0 -1 3\\ 0 0 0 0 0\end{pmatrix} 10001−300−23001−1−104−630 6.第三行乘以-1得到 ( 1 1 − 2 1 4 0 − 3 3 − 1 − 6 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix} 1 1 -2 1 4\\ 0 -3 3 -1 -6 \\ 0 0 0 1 -3\\ 0 0 0 0 0\end{pmatrix} 10001−300−23001−1104−6−30 7.第3行乘以-1加到第1行第3行加到第2行 ( 1 1 − 2 0 7 0 − 3 3 0 − 9 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix} 1 1 -2 0 7\\ 0 -3 3 0 -9 \\ 0 0 0 1 -3\\ 0 0 0 0 0\end{pmatrix} 10001−300−230000107−9−30 8.第2行乘以1/3加到第1行得到 ( 1 0 − 1 0 4 0 − 3 3 0 − 9 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix} 1 0 -1 0 4\\ 0 -3 3 0 -9 \\ 0 0 0 1 -3\\ 0 0 0 0 0\end{pmatrix} 10000−300−130000104−9−30 9.第2行乘以-1/3得到一个行简化阶梯形矩阵 ( 1 0 − 1 0 4 0 1 − 1 0 3 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix} 1 0 -1 0 4\\ 0 1 -1 0 3 \\ 0 0 0 1 -3\\ 0 0 0 0 0\end{pmatrix} 10000100−1−100001043−30 思考行阶梯形矩阵是唯一的吗行简化阶梯形矩阵是唯一的吗
行阶梯形矩阵不是唯一的上边例子中第5、6、7步得到的矩阵都是行阶梯形矩阵
如果只做初等行变换行简化阶梯形矩阵是唯一的因为不能再简化了
