不用dw怎么做网站,新手做网站,网络销售代理加盟,常用网站推广方法及资源文章目录 1. A X 0 AX0 AX02. A T Y 0 A^TY0 ATY03. A X 0 AX0 AX0和 A T Y 0 A^TY0 ATY0的关系 1. A X 0 AX0 AX0
一个图可以由节点和边组成#xff0c;假设我们有一个节点notes #xff1a;n4,边edges#xff1a;m5的有向图#xff0c;表示如下
通过以上电路… 文章目录 1. A X 0 AX0 AX02. A T Y 0 A^TY0 ATY03. A X 0 AX0 AX0和 A T Y 0 A^TY0 ATY0的关系 1. A X 0 AX0 AX0
一个图可以由节点和边组成假设我们有一个节点notes n4,边edgesm5的有向图表示如下
通过以上电路图可以得到关联矩阵(incident matrix),我们定义边开始端用-1表示结束端用1表示用行表示边用列表示节点。可得如下 比如edge1是由从节点1出发到节点2 用行向量表示可得 [ − 1 1 0 0 ] ⇒ e d g e 1 (1) \begin{bmatrix}-1100\end{bmatrix}\Rightarrow edge1\tag{1} [−1100]⇒edge1(1)所以矩阵A根据上图可得如下 A [ − 1 1 0 0 0 − 1 1 0 − 1 0 1 0 − 1 0 0 1 0 0 − 1 1 ] (2) A\begin{bmatrix}-1 1 0 0\\\\ 0 -1 1 0\\\\ -1 0 1 0\\\\ -1 0 0 1\\\\ 0 0-1 1\end{bmatrix}\tag{2} A −10−1−101−10000110−100011 (2) 我们可以看到由边123组成一个子图那么看看由123组成的矩阵表示如下 [ − 1 1 0 0 0 − 1 1 0 − 1 0 1 0 ] ⇒ r o w 1 r o w 2 r o w 3 (3) \begin{bmatrix}-1 1 0 0\\\\ 0 -1 1 0\\\\ -1 0 1 0 \end{bmatrix}\Rightarrow row_1row_2row_3\tag{3} −10−11−10011000 ⇒row1row2row3(3) 也就是说如果在矩阵中3行能达到等式关系可以等效与在图上形成一个子图。 那么矩阵A的零空间代表什么呢我们将AX0 用列的形式表示如下 A X [ − 1 1 0 0 0 − 1 1 0 − 1 0 1 0 − 1 0 0 1 0 0 − 1 1 ] [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] [ x 2 − x 1 x 3 − x 2 x 3 − x 1 x 4 − x 3 ] (4) AX\begin{bmatrix}-1 1 0 0\\\\ 0 -1 1 0\\\\ -1 0 1 0\\\\ -1 0 0 1\\\\ 0 0-1 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\\\x_2\\\\x_3\\\\x_4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_2-x_1\\\\x_3-x_2\\\\x_3-x_1\\\\x_4-x_3\end{bmatrix}\tag{4} AX −10−1−101−10000110−100011 x1x2x3x4 x2−x1x3−x2x3−x1x4−x3 (4) A X [ − 1 0 − 1 − 1 0 ] x 1 [ 1 − 1 0 0 0 ] x 2 [ 0 1 1 0 − 1 ] x 3 [ 0 0 0 1 1 ] x 4 (5) AX\begin{bmatrix}-1\\\\0\\\\-1\\\\-1\\\\0\end{bmatrix}x_1\begin{bmatrix}1\\\\-1\\\\0\\\\0\\\\0\end{bmatrix}x_2\begin{bmatrix}0\\\\1\\\\1\\\\0\\\\-1\end{bmatrix}x_3\begin{bmatrix}0\\\\0\\\\0\\\\1\\\\1\end{bmatrix}x_4\tag{5} AX −10−1−10 x1 1−1000 x2 0110−1 x3 00011 x4(5) AX0的零空间X表示的是列向量的线性组合。X的物理意义表示的每个节点的电势值[potential at the node ]那么 x 2 − x 1 x_2-x_1 x2−x1表示的是edge1的电势差那什么时候可以保证电势差为0呢那只有每个结点的电势相同即可所以可以得到解如下所以 dim N ( A ) 1 R a n k ( A ) 4 − 1 3 N(A)1Rank(A)4-13 N(A)1Rank(A)4−13 X c [ 1 1 1 1 ] (6) Xc\begin{bmatrix}1\\\\1\\\\1\\\\1\end{bmatrix}\tag{6} Xc 1111 (6)
2. A T Y 0 A^TY0 ATY0
矩阵表示形式如下 dim N ( A T ) m − r ( A T ) 5 − 3 2 N(A^T)m-r(A^T)5-32 N(AT)m−r(AT)5−32,物理上表示 y 1 … y 5 y_1\dots y_5 y1…y5为每个边edge上的电流大小 A T Y [ − 1 0 − 1 − 1 0 1 − 1 0 0 0 0 1 1 0 − 1 0 0 0 1 1 ] [ y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 ] [ − y 1 − y 3 − y 4 y 1 − y 2 y 2 y 3 − y 5 y 4 y 5 ] [ 0 0 0 0 ] (7) A^TY\begin{bmatrix}-1 0 -1 -10\\\\ 1 -1 0 00\\\\ 0 1 1 0-1\\\\ 0 0 0 11 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\\\y_2\\\\y_3\\\\y_4\\\\y_5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-y_1-y_3-y_4\\\\y_1-y_2\\\\y_2y_3-y_5\\\\y_4y_5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\\\0\\\\0\\\\0\end{bmatrix}\tag{7} ATY −11000−110−1010−100100−11 y1y2y3y4y5 −y1−y3−y4y1−y2y2y3−y5y4y5 0000 (7)函数物理意义: − y 1 − y 3 − y 4 0 ⇒ y 1 y 3 − y 4 (8) -y_1-y_3-y_40\Rightarrow y_1y_3-y_4\tag{8} −y1−y3−y40⇒y1y3−y4(8) 表示的对于节点1来说流入的电流为 − y 4 -y_4 −y4,流出的电流为 y 1 y 3 y_1y_3 y1y3所以可以得到基尔霍夫电流定律流入节点电流和等于流出节点的电流和 N( A T A^T AT)m-r5-32我们看由123组成的节点环1,如果想成为闭环可以得到如下 y 1 y 2 − y 3 0 (9) y_1y_2-y_30\tag{9} y1y2−y30(9) A T Y 0 A^TY0 ATY0的特解中当 y 1 1 , y 2 1 , y 3 − 1 , y 4 0 , y 5 0 y_11,y_21,y_3-1,y_40,y_50 y11,y21,y3−1,y40,y50表示 L o o p 123 Loop_{123} Loop123 A T Y 0 A^TY0 ATY0的特解中当 y 1 0 , y 2 0 , y 3 1 , y 4 − 1 , y 5 1 y_10,y_20,y_31,y_4-1,y_51 y10,y20,y31,y4−1,y51表示 L o o p 345 Loop_{345} Loop345 A T Y 0 A^TY0 ATY0的特解中当 y 1 1 , y 2 1 , y 3 0 , y 4 − 1 , y 5 1 y_11,y_21,y_30,y_4-1,y_51 y11,y21,y30,y4−1,y51表示 L o o p 1234 Loop_{1234} Loop1234线性无关组表示不形成环时的边组合。这样可以看出来矩阵和图的对应关系。很直观。矩阵的相关就是表示图形中的环矩阵的不相关就是表示不成环形成树。 矩阵的秩和图之间的关系 D i m { N ( A T ) } Dim \{N(A^T)\} Dim{N(AT)}#loops;m#edges;rn-1,节点的数量-1 D i m { N ( A T ) } m − r (10) Dim \{N(A^T)\} m-r\tag{10} Dim{N(AT)}m−r(10) 综上所述可以得到如下 # n o d e s − # e d g e s # L o o p s 1 (11) \#{nodes}-\#{edges}\#{Loops}1\tag{11} #nodes−#edges#Loops1(11)
3. A X 0 AX0 AX0和 A T Y 0 A^TY0 ATY0的关系 在 A X 0 AX0 AX0 的方程中我们定义每个边两端的电势差E E A X (12) EAX\tag{12} EAX(12) 在 A T Y 0 A^TY0 ATY0的方程中我们定义每个边中的电流为y,通过欧姆定理定义电势差E和常数C电流Y之间的关系如下 Y C E (13) YCE\tag{13} YCE(13) 电流方程如下 A T Y 0 (14) A^TY0\tag{14} ATY0(14) 将方程12,13 代入到方程14中可得如下 A T C A X 0 (15) A^TCAX0\tag{15} ATCAX0(15) 我们定义外部电流从原来的0变为f,整理公式15可得平衡方程并且 A T C A A^TCA ATCA对称 A T C A X f (16) A^TCAXf\tag{16} ATCAXf(16)
