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剑指 Offer 62. 圆圈中最后剩下的数字
一、约瑟夫环解析
题目中的要求可以表述为#xff1a;给定一个长度为 n 的序列#xff0c;每次向后数 m 个元素并删除#xff0c;那么最终留下的是第几个元素#xff1f;这个问题很难快速给出答案。但是同时也要看到#xff…摘要
剑指 Offer 62. 圆圈中最后剩下的数字
一、约瑟夫环解析
题目中的要求可以表述为给定一个长度为 n 的序列每次向后数 m 个元素并删除那么最终留下的是第几个元素这个问题很难快速给出答案。但是同时也要看到这个问题似乎有拆分为较小子问题的潜质如果我们知道对于一个长度n - 1 的序列留下的是第几个元素那么我们就可以由此计算出长度为 n 的序列的答案。
我们将上述问题建模为函数 f(n, m)该函数的返回值为最终留下的元素的序号。
首先长度为n的序列会先删除第m% n 个元素然后剩下一个长度为n - 1的序列。那么我们可以递归地求解 f(n - 1, m)就可以知道对于剩下的 n - 1 个元素最终会留下第几个元素我们设答案为 x f(n - 1, m)。
由于我们删除了第 m % n 个元素将序列的长度变为 n - 1。当我们知道了 f(n - 1, m) 对应的答案 x 之后我们也就可以知道长度为 n 的序列最后一个删除的元素应当是从 m % n 开始数的第 x 个元素。因此有 f(n, m) (m % n x) % n (m x) % n。 我们递归计算 f(n, m), f(n - 1, m), f(n - 2, m), ... 直到递归的终点 f(1, m)。当序列长度为 1 时一定会留下唯一的那个元素它的编号为 0。
class Solution {public int lastRemaining(int n, int m) {return f(n, m);}public int f(int n, int m) {if (n 1) {return 0;}int x f(n - 1, m);return (m x) % n;}
}
复杂度分析
时间复杂度O(n)需要求解的函数值有n个。空间复杂度O(n)函数的递归深度为n需要使用 O(n)的栈空间。
二、数学 迭代
class Solution {public int lastRemaining(int n, int m) {int f 0;for (int i 2; i ! n 1; i) {f (m f) % i;}return f;}
}
复杂度分析 时间复杂度O(n)需要求解的函数值有n个。 空间复杂度O(1)只使用常数个变量。
博文参考
《leetcode》
