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系统由一辆具有动力的小车和安装在小车上的倒立摆组成#xff0c;系统是不稳定#xff0c;我们需要通过控制移动小车使得倒立摆保持平衡。
具体地#xff0c;考虑二维情形如下图#xff0c;控制力为水平力FFF#xff0c;输出为角度θ\thetaθ以及小车的位置xxx。 力…前言
系统由一辆具有动力的小车和安装在小车上的倒立摆组成系统是不稳定我们需要通过控制移动小车使得倒立摆保持平衡。
具体地考虑二维情形如下图控制力为水平力FFF输出为角度θ\thetaθ以及小车的位置xxx。 力分析和系统方程
设两个物体在水平和竖直方向上的相互作用力分别为NNN和PPP。 将小车水平方向上的力相加得到牛顿力学方程 Mx¨bx˙NFM\ddot{x}b\dot{x}NFMx¨bx˙NF 将倒立摆水平方向上的力相加得到 Nmx¨mlθ¨cosθ−mlθ˙2sinθNm\ddot{x}ml\ddot{\theta}cos\theta-ml\dot{\theta}^2sin\thetaNmx¨mlθ¨cosθ−mlθ˙2sinθ 将NNN消去得 Mx¨bx˙mx¨mlθ¨cosθ−mlθ˙2sinθFM\ddot{x}b\dot{x}m\ddot{x}ml\ddot{\theta}cos\theta-ml\dot{\theta}^2sin\thetaFMx¨bx˙mx¨mlθ¨cosθ−mlθ˙2sinθF 将垂直于摆的力相加得 PsinθNcosθ−mgsinθmlθ¨mx¨cosθ(a)Psin\thetaNcos\theta-mgsin\thetaml\ddot{\theta}m\ddot{x}cos\theta(a)PsinθNcosθ−mgsinθmlθ¨mx¨cosθ(a) 为了消去P,NP,NP,N两项将两个物体质心的力矩相加得 Plsinθ−NlcosθIθ¨(b)Plsin\theta-Nlcos\thetaI\ddot{\theta}(b)Plsinθ−NlcosθIθ¨(b) (a)×l(b)(a)\times l(b)(a)×l(b)得 (Iml2)θ¨mglsinθ−mlx¨cosθ(Iml^2)\ddot{\theta}mglsin\theta-ml\ddot{x}cos\theta(Iml2)θ¨mglsinθ−mlx¨cosθ
线性化
将上述方程线性化θπ\theta\piθπ并假设系统保持在这个平衡的小邻域内。设ϕ\phiϕ为摆对平衡位置的偏差满足θπϕ\theta\pi\phiθπϕ若偏差十分小使用以下近似 cosθcos(πϕ)≈−1sinθsin(πϕ)≈−ϕθ¨2ϕ˙2≈0cos\thetacos(\pi\phi)\approx-1 \\ sin\thetasin(\pi\phi)\approx-\phi \\ \ddot{\theta}^2\dot{\phi}^2\approx0cosθcos(πϕ)≈−1sinθsin(πϕ)≈−ϕθ¨2ϕ˙2≈0
将上述近似公式应用至前面的非线性控制方程得到两个线性化的方程并使用uuu替代FFF得 (Iml2)ϕ¨−mglϕmlx¨(Mm)x¨bx˙−mlϕ¨u(Iml^2)\ddot{\phi}-mgl\phiml\ddot{x} \\ (Mm)\ddot{x}b\dot{x}-ml\ddot{\phi}u(Iml2)ϕ¨−mglϕmlx¨(Mm)x¨bx˙−mlϕ¨u
传递函数
假设初始条件为0对系统方程应用拉普拉斯变换
todo
