网站建设维护 知乎,临沂网站设计,启东市住房建设局网站,电脑培训学校课程#x1f680;#x1f680;#x1f680;大家觉不错的话#xff0c;就恳求大家点点关注#xff0c;点点小爱心#xff0c;指点指点#x1f680;#x1f680;#x1f680; 目录 第四章 向量组的线性相关性
5#xff09;向量空间
第五章 相似矩阵及二次型
大家觉不错的话就恳求大家点点关注点点小爱心指点指点 目录 第四章 向量组的线性相关性
5向量空间
第五章 相似矩阵及二次型
1向量的内积、长度及正交性 第四章 向量组的线性相关性
5向量空间 定义6:设V为n维向量的集合如果集合V非空且集合V对于向量的加法及数乘运算封闭那么就称集合V为向量空间性质n元齐次线性方程组的解集S|x|Ax0|是一个向量空间称为齐次线性方程组的解空间因为由齐次线性方程组的解的性质1和性质2即知其解集S对向量的线性运算封闭同理的S|x|Axb|不是向量空间(集合S对于向量的加法及数乘运算不封闭)定义8:设V为向量空间如果r个向量a[1],a[2],…,a[r]∈V,且满足ia[1],a[2],…,a[r]线性无关极大无关组iiV中任一向量都可由a[1],a[2],…,a[r]线性表示那么向量组a[1],a[2],…,a[r]就称为向量空间V的一个基极大无关组r称为向量空间V的维数并称V为r维向量空间定义9:如果在向量空间V中取一个基a[1],a[2],…,a[r]那么V中任一向量x可惟一地表示为x[1]a[1][2]a[2]…[r]a[r]数组[1],[2],…,[r]称为向量x在基a[1],a[2],…,a[r]的坐标过渡矩阵PA^-1·B BPA这里的P是矩阵A到B的过渡矩阵这里可以用初等变换第五章 相似矩阵及二次型 1向量的内积、长度及正交性
定义1:设有n维向量[x,y]称为向量x与y的内积其实就是向量的点乘内积是两个向量之间的一种运算其结果是一个实数用矩阵记号表示当x与y都是列向量时有[x,y](x^T)·y内积具有下列性质其中x,y,z为n维向量为实数i[x,y][y,x];ii[x,y][x,y];iii[xy,z][x,z][y,z]iv当x0时[x,x]0;当x!0时[x,x]0施瓦茨不等式[x,x]^2[x,x][y,y]定义2令||x||([x,x])^(1/2)(x[1]^2x[2]^2..x[n]^2)||x||称为n维向量x的长度或范数向量长度具有下述性质i非负性 当x!0||x||0;当x0时||x||0;ii齐次性 ||x||||·||x||当||x||1时称x为单位向量若a!0取xa/||a||则x是一个单位向量由向量a得到x的过程称为把向量a单位化正交向量组是指一组两两正交的非零向量注零和任何向量都正交定理1 若n维向量a[1],a[2],…,a[r]是一组两两正交的非零向量则a[1],a[2],…,a[r]线性无关定义3:设n维向量e[1],e[2],…,e[r]是向量空间的V(V⊆R^nn是维数)的一个基如果e[1],e[2],…,e[r]两两正交且都是单位向量则称e[1],e[2],…,e[r]是V的一个标准正交基例如施密特正交化定义4:如果n阶矩阵A满足A^T·AE(即A^-1A^T)那么称A为正交矩阵简称正交阵正交矩阵的性质I若A为正交阵则A^-1A^T也是正交阵且|A|1或-1ii若A和B都是正交阵则AB也是正交阵定义5若P为正交矩阵则线性变换yPx称为正交变换则有||y||(y^T·y)^(1/2)(x^T·P^T·P·x)^(1/2)(x^T·x)^(1/2)||x||正交变换的长度保持不变如果大家还有不懂或者建议都可以发在评论区我们共同探讨共同学习共同进步。谢谢大家
