做网站办公室图片,做网站需要营业执照嘛,html5制作网页的步骤,c 网站开发连接mysql部分和 s ∑ i 1 n u i s \sum_{i1}^{n} u _{i} si1∑nui
注意#xff1a;部分和不是数列的一部分之和#xff0c;而是一个极限的概念#xff0c;此处的n是一个极限值#xff0c; n 趋于正无穷#xff01; \color{red}n趋于正无穷#xff01; n趋于正无穷#x…部分和 s ∑ i 1 n u i s \sum_{i1}^{n} u _{i} si1∑nui
注意部分和不是数列的一部分之和而是一个极限的概念此处的n是一个极限值 n 趋于正无穷 \color{red}n趋于正无穷 n趋于正无穷一定要注意。
调和级数 1 1 2 1 3 1 4 1 5 . . . 1 n − 2 1 n − 1 1 n (1.1) 1 \frac{1}{2} \frac{1}{3} \frac{1}{4} \frac{1}{5} ... \frac{1}{n-2} \frac{1}{n-1} \frac{1}{n} \tag{1.1} 121314151...n−21n−11n1(1.1)
调和级数可以化为如下积分式 ∫ 1 ∞ 1 x d x ln x ∣ 1 ∞ ∞ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}dx \ln x |_{1}^{\infty} \infty ∫1∞x1dxlnx∣1∞∞
可见调和级数发散。
调和级数是一个重要级数是判断其他级数收敛的参考。若一个级数大于调和级数则必定发散若一个级数是调和级数的无穷小则一定收敛。
级数收敛的必要非充分条件
若级数 ∑ i 1 ∞ u i \sum_{i 1}^{\infty} u_{i} ∑i1∞ui收敛则一般项 u i u_{i} ui的极限为0。
此条件是级数收敛的必要条件而非充分条件。比如调和级数的一般项为0但是并不收敛。
达朗贝尔判别法 正向级数 ∑ i 1 ∞ u i 若 lim i → ∞ u i 1 u i 1 则级数发散 若 lim i → ∞ u i 1 u i 1 则级数收敛 若 lim i → ∞ u i 1 u i 1 则无法判别敛散性 \color{red}正向级数\sum_{i 1}^{\infty} u_{i} \\ 若\lim_{i \to \infty} \frac{u_{i1}}{u_{i}} 1则级数发散\\ 若\lim_{i \to \infty} \frac{u_{i1}}{u_{i}} 1则级数收敛\\ 若\lim_{i \to \infty} \frac{u_{i1}}{u_{i}} 1则无法判别敛散性 正向级数i1∑∞ui若i→∞limuiui11则级数发散若i→∞limuiui11则级数收敛若i→∞limuiui11则无法判别敛散性
证明 1若 lim i → ∞ u i 1 u i ρ 1 , 即 u i 1 u i , 即 u i 1 k u i , k 1 \lim_{i \to \infty} \frac{u_{i1}}{u_{i}} \rho 1, 即u_{i1} u_{i}, 即u_{i1} ku_{i},k 1 limi→∞uiui1ρ1,即ui1ui,即ui1kui,k1
2若 lim i → ∞ u i 1 u i ρ 1 , 即 u i 1 u i , 即 u i 1 k u i , k 1 \lim_{i \to \infty} \frac{u_{i1}}{u_{i}} \rho 1, 即u_{i1} u_{i}, 即u_{i1} ku_{i},k 1 limi→∞uiui1ρ1,即ui1ui,即ui1kui,k1
通过考察等比数列几何级数的求和公式 a 1 1 − q n 1 − q a_{1}\frac{1-q^{n}}{1- q} a11−q1−qn 当公比q大于1时几何级数发散当q小于1时几何级数收敛于 a 1 1 1 − q a_{1} \frac{1}{1-q} a11−q1。
故达朗贝尔判别法得证。
柯西判别法 正向级数 ∑ i 1 ∞ u i 若 lim i → ∞ n n 1 则级数发散 若 lim i → ∞ n n 1 则级数收敛 若 lim i → ∞ n n 1 则无法判别敛散性 \color{red}正向级数\sum_{i 1}^{\infty} u_{i} \\ 若\lim_{i \to \infty} \sqrt [n] n 1则级数发散\\ 若\lim_{i \to \infty}\sqrt [n] n 1则级数收敛\\ 若\lim_{i \to \infty} \sqrt [n] n 1则无法判别敛散性 正向级数i1∑∞ui若i→∞limnn 1则级数发散若i→∞limnn 1则级数收敛若i→∞limnn 1则无法判别敛散性
证明方式也参考达朗贝尔判别法。
5. 极限审敛法 正向级数 ∑ i 1 ∞ u i 若 lim i → ∞ n u i l 0 则级数发散 若 lim i → ∞ n p u i l 0 ( p 1 ) 则级数收敛 \color{red}正向级数\sum_{i 1}^{\infty} u_{i} \\ 若\lim_{i \to \infty} n u_{i} l 0则级数发散\\ 若\lim_{i \to \infty} n^p u_{i} l 0(p 1)则级数收敛 正向级数i1∑∞ui若i→∞limnuil0则级数发散若i→∞limnpuil0(p1)则级数收敛
例题
讨论p级数的敛散性 1 1 2 p 1 3 p 1 4 p . . . 1 ( n − 1 ) p 1 n p 1 \frac{1}{2^p} \frac{1}{3^p} \frac{1}{4^p} ... \frac{1}{(n-1)^p} \frac{1}{n^p} 12p13p14p1...(n−1)p1np1
