网站建设客户确认单,儿童ppt模板 免费版 可爱,wordpress中联系表,网站功能介绍文章目录多项式求和式乘法应用代数学基本定理相关证明高次方程其他关于多项式的参考多项式求和式乘法 S∏j1(∑k1ajk) j∏j1m(∑k1njajk) jS\prod_{j1}\left(\sum\limits_{k1}a_{jk}\right)_{\!\!\!j} \\\prod_{j1}^{m}\left(\sum\limits_{k1}^{n_j}a_{jk}\r…
文章目录多项式求和式乘法应用代数学基本定理相关证明高次方程其他关于多项式的参考多项式求和式乘法 S∏j1(∑k1ajk) j∏j1m(∑k1njajk) jS\prod_{j1}\left(\sum\limits_{k1}a_{jk}\right)_{\!\!\!j} \\\prod_{j1}^{m}\left(\sum\limits_{k1}^{n_j}a_{jk}\right)_{\!\!\!j} Sj1∏(k1∑ajk)jj1∏m(k1∑njajk)j 分析这个表达式,可以从以下几个方面入手 S展开后具有多少项?(不做任何合并项操作和值为零的项的省略) 首先,乘法对加法满足分配律关系:a(bc)abaca(bc)abaca(bc)abac 利用该规律展开多项式之间的乘法 S(a1a2)(b1b2)S(a_1a_2)(b_1b_2)S(a1a2)(b1b2) 可以记Bb1b2Bb_1b_2Bb1b2Sa1Ba2Ba1(b1b2)a2(b1b2)a1b1a1b2a2b1a2b2Sa_1Ba_2Ba_1(b_1b_2)a_2(b_1b_2)a_1b_1a_1b_2a_2b_1a_2b_2Sa1Ba2Ba1(b1b2)a2(b1b2)a1b1a1b2a2b1a2b2共有4项 S(a1⋯am)(b1⋯bn)(∑i1mai)(∑i1nbi)S(a_1\cdotsa_m)(b_1\cdotsb_n)(\sum_{i1}^{m}a_i)(\sum_{i1}^{n}b_i)S(a1⋯am)(b1⋯bn)(∑i1mai)(∑i1nbi) 记B∑i1nbiB\sum_{i1}^{n}b_iB∑i1nbiS(∑i1mai)B∑imBaiS(\sum_{i1}^{m}a_i)B\sum_{i}^{m}Ba_iS(∑i1mai)B∑imBai 其中Bai∑j1nbjaiBa_i\sum_{j1}^{n}b_ja_iBai∑j1nbjaiS∑im(∑jnbjai)S\sum_i^m(\sum_{j}^{n}b_ja_i)S∑im(∑jnbjai) 共有n×mn\times{m}n×m项把这个结果记为SABS_{AB}SAB,反复运用这个阶段的结论,可以得到下面的结论 S(a1⋯an1)(b1⋯bn2)(c1⋯cn3)(∑i1n1ai)(∑i1n2bi)(∑i1n3ci)S(a_1\cdotsa_{n_1})(b_1\cdotsb_{n_2})(c_1\cdotsc_{n_3})(\sum_{i1}^{n_1}a_i)(\sum_{i1}^{n_2}b_i)(\sum_{i1}^{n_3}c_i)S(a1⋯an1)(b1⋯bn2)(c1⋯cn3)(∑i1n1ai)(∑i1n2bi)(∑i1n3ci) SABC(AB)CSABC(AB)CSABC(AB)C S∑i1n1∑i2n2∑i3n3a1i1a2i2a3i3S\sum_{i_1}^{n_1}\sum_{i_2}^{n_2}\sum_{i_3}^{n_3}a_{1i_1}a_{2i_2}a_{3i_3} Si1∑n1i2∑n2i3∑n3a1i1a2i2a3i3 因此有S有(n1×n2)×n3(n_1\times{n_2})\times{n_3}(n1×n2)×n3项 更一般的: S(∑k1n1a1k)(∑k1n2a2k)⋯(∑k1nmamk)S(\sum\limits_{k1}^{n_1}a_{1k})(\sum\limits_{k1}^{n_2}a_{2k}) \cdots(\sum\limits_{k1}^{n_m}a_{mk}) S(k1∑n1a1k)(k1∑n2a2k)⋯(k1∑nmamk) 由结合律可知 S∏j1m(∑k1njajk) j∑i1n1∑i2n2⋯∑imnma1i1a2i2⋯amim∑i1n1∑i2n2⋯∑imnm(∏k1mak,ik)记号说明:ak,ik其中k表示第k组求和式,k1,2,⋯,m(比如前面说的A,B,⋯)ik表示第k组求和式中的第ik个元素(ik1,2,⋯,nk)S\prod_{j1}^{m}\left(\sum\limits_{k1}^{n_j}a_{jk}\right)_{\!\!\!j} \\\sum_{i_1}^{n_1}\sum_{i_2}^{n_2}\cdots\sum_{i_m}^{n_m}a_{1i_1}a_{2i_2}\cdots{a_{mi_m}} \\\sum_{i_1}^{n_1}\sum_{i_2}^{n_2}\cdots\sum_{i_m}^{n_m}(\prod_{k1}^{m}a_{k,i_k}) \\ 记号说明:\large{a_{k,i_k}}其中 \\k表示第k组求和式,k1,2,\cdots,m(比如前面说的A,B,\cdots) \\i_{k}表示第k组求和式中的第i_k个元素(i_k{1,2,\cdots},n_k) \\ Sj1∏m(k1∑njajk)ji1∑n1i2∑n2⋯im∑nma1i1a2i2⋯amimi1∑n1i2∑n2⋯im∑nm(k1∏mak,ik)记号说明:ak,ik其中k表示第k组求和式,k1,2,⋯,m(比如前面说的A,B,⋯)ik表示第k组求和式中的第ik个元素(ik1,2,⋯,nk) S的项数为∏j1mnj\prod\limits_{j1}^{m}n_jj1∏mnj 每一项由多少基本因子(即aija_{ij}aij)构成,又是如何构成的? 根据上一问的讨论,可以知道每一项由m个元素构成 并且任意2组中的任意2个元素都一定有且只有相乘(构成一个项), 项(∏k1mak,ik)(\prod_{k1}^{m}a_{k,i_k})(∏k1mak,ik)的构成中可以看出项的m个因子一定来自不同的求和组
应用 可以用来确定m此项的系数 例如 f(x)∑in(xai)f(x)\sum_{i}^{n}(xa_i) f(x)i∑n(xai) 将f(x)f(x)f(x)展开合并同类项后 那么xn−1x^{n-1}xn−1的系数是多少? f(x)f(x)f(x)是一个n次多项式在合并同类项之前,包含xn−1x^{n-1}xn−1的项有(nn−1)(1n)\binom{n}{n-1}\binom{1}{n}(n−1n)(n1)项它们的系数分别是a1,⋯,ana_1,\cdots,a_na1,⋯,an x3x^{3}x3的系数又是多少? (n3)\binom{n}{3}(3n),这些项的系数分别是∏i∈P3ai\prod_{i\in{P_3}}a_i∏i∈P3ai 其中PrP_rPr表示对a1,⋯,ana_1,\cdots,a_na1,⋯,an做(nn−r)\binom{n}{n-r}(n−rn)的排列(本例中r3) 一般的,xrx^{r}xr的系数是 ∑inr(∏i∈Prai)其中:nr(nr)\large\sum_i^{n_r}{(\prod_{i\in{P_{r}}}a_i)} \\ 其中:n_r\binom{n}{r} i∑nr(i∈Pr∏ai)其中:nr(rn) 例如(x1)(x2)(x3)(x23x2)(x3)x36x211x6(x1)(x2)(x3)(x^23x2)(x3)x^36x^211x6(x1)(x2)(x3)(x23x2)(x3)x36x211x6 xxx的系数 nr3n_r3nr3(2×3)(1×3)(1×2)11(2\times3)(1\times3)(1\times2)11(2×3)(1×3)(1×2)11 x2x^2x2的系数为 nr3n_r3nr3312631263126
代数学基本定理 代数基本定理 (wikipedia.org) 代数基本定理说明任何一个一元复系数多项式方程都至少有一个复数根。 也就是说复数域是代数封闭的。 有时这个定理表述为任何一个非零的一元n次复系数多项式都正好有n个复数根重根视为多个根。 这似乎是一个更强的命题但实际上是“至少有一个根”的直接结果因为不断把多项式除以它的线性因子即可从有一个根推出有n个根。也就是说任何一个n次多项式都可以因式分解为n个复系数一次多项式的乘积。 尽管这个定理被命名为“代数基本定理”但它还没有纯粹的代数证明(需要结合其他方法证明)许多数学家都相信这种证明不存在。[1] 另外它也不是最基本的代数定理因为在那个时候代数基本上就是关于解实系数或复系数多项式方程所以才被命名为代数基本定理。
相关证明
高斯一生总共对这个定理给出了四个证明 其中第一个是在他22岁时1799年的博士论文中给出的。高斯给出的证明既有几何的也有函数的还有积分的方法。高斯关于这一命题的证明方法是去证明其根的存在性开创了关于研究存在性命题的新途径。
高次方程
同时高次代数方程的求解仍然是一大难题。 伽罗瓦理论指出对于一般五次以及五次以上的方程不存在一般的代数解。
其他关于多项式的参考
1定义 1.1次数1.2多项式的升幂及降幂排列 2多项式的运算 2.1多项式的加法2.2多项式的减法2.3多项式乘法2.4多项式除法 3多项式的矩阵算法 3.1乘法3.2除法 4因式分解5多项式函数 5.1多项式方程 6字典排列法7多项式的分析特性8任意环上的多项式
1Etymology2Notation and terminology3Definition4Classification5Arithmetic 5.1Addition and subtraction5.2Multiplication5.3Composition5.4Division5.5Factoring5.6Calculus 6Polynomial functions 6.1Graphs 7Equations 7.1Solving equations 8Polynomial expressions 8.1Trigonometric polynomials8.2Matrix polynomials8.3Exponential polynomials 9Related concepts 9.1Rational functions9.2Laurent polynomials9.3Power series 10Polynomial ring 10.1Divisibility 11Applications 11.1Positional notation11.2Interpolation and approximation11.3Other applications 12History 12.1History of the notation 13See also14Notes15References
