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Minimum Detectable Signal (MDS) Minimum Detectable Signal#xff08;最小可检测信号#xff09;是指当信号-噪声比#xff08;Signal-to-Noise Ratio, SNR#xff09;等于1时的输入信号水平。简单来说#xff0c;MDS 是一个系统能够分辨出信号存在的最低输入信号…讲义
Minimum Detectable Signal (MDS) Minimum Detectable Signal最小可检测信号是指当信号-噪声比Signal-to-Noise Ratio, SNR等于1时的输入信号水平。简单来说MDS 是一个系统能够分辨出信号存在的最低输入信号强度。
幻灯片展示了一个典型的传感器系统信号处理流程图其中包含了以下几个关键部分 传感器Sensor 传感器缩放因子Sensor Scale Factor这是传感器将物理现象转换为电信号时的转换比例。传感器噪声Sensor Noise这是传感器本身所产生的噪声。这种噪声可以来源于各种物理现象如热噪声、机械振动等。 信号调理电路Signal Conditioning Circuit 电路增益Circuit Gain这是信号调理电路对传感器信号进行放大的部分。增益的作用是将微弱的传感器信号放大到适合后续处理的电平。电路输出噪声Circuit Output Noise这是信号调理电路自身产生的噪声。这些噪声会叠加到放大后的信号上。 输出Output输出信号包含了期望的信号以及各种噪声的叠加。
关键点
传感器缩放因子由传感器类型决定。噪声的影响通过对系统的等效电路分析来确定。
将噪声源移动到共同点 为了简化噪声分析我们可以将所有噪声源传感器噪声和电路噪声移到一个共同点进行分析这个共同点通常是放大电路的输入端即传感元件的输出端。
通过将所有噪声源移到放大器输入端可以直接比较检测信号与此节点处的噪声从而得到MDS。这样处理使得噪声分析更加简化和直观有助于更好地理解系统噪声的贡献和MDS的计算。
等效噪声源引入 Gyro Readout Equivalent Circuit (for a single tine)
通过将所有实际噪声源替换为等效输入噪声源简化了噪声分析。这些等效噪声源反映了整个系统的总噪声影响而无需单独分析每个噪声源。 未引入等效噪音源时 该图分为两个主要部分陀螺传感元件输出电路和信号调理电路跨阻放大器。 陀螺传感元件输出电路Gyro Sense Element Output Circuit F ⃗ c m a ⃗ c m ⋅ ( 2 x ˙ ⃗ d × Ω ⃗ ) \vec{F}_c m \vec{a}_c m \cdot (2\vec{\dot{x}}_d \times \vec{\Omega}) F cma cm⋅(2x˙ d×Ω )这个公式表示感知到的科里奥利力反映了陀螺仪如何通过质量 m m m 和角速度 Ω ⃗ \vec{\Omega} Ω 来感知线速度 x ˙ ⃗ d \vec{\dot{x}}_d x˙ d。电路元件图中包含电感 L x L_x Lx、电容 C x C_x Cx、电阻 R x R_x Rx 以及与之串联的元件模拟传感元件的机械特性。噪声源标识了传感元件噪声 v i a 2 ‾ \overline{v_{ia}^2} via2 和电流噪声 i i a 2 ‾ \overline{i_{ia}^2} iia2这些噪声会影响信号的精确度。 η : 1 \eta:1 η:1这个标记表示变压器的变压比将初级线圈的电流转换到次级线圈方便后续的信号处理。 信号调理电路Signal Conditioning Circuit 跨阻放大器Transresistance Amplifier利用反馈电阻 R f R_f Rf 将输入电流 i o i_o io 转换为输出电压 V 0 V_0 V0。噪声源电路中还标识了反馈电阻噪声 i f 2 ‾ \overline{i_{f}^2} if2 和运算放大器输入噪声 v i a 2 ‾ \overline{v_{ia}^2} via2。输出电压 V 0 V_0 V0这是经过信号放大和调理后的最终输出包含了所有噪声源的影响。
关键点
该电路图显示了如何将机械信号通过传感元件转换为电信号并通过跨阻放大器进行放大和调理。 这页幻灯片是前一页等效电路图的扩展通过引入等效输入噪声源进一步简化了噪声分析过程。
引入等效噪音源后 陀螺传感元件输出电路Gyro Sense Element Output Circuit 这部分与前一页类似包含了表示科里奥利力的公式以及各种电路元件。唯一的不同是增加了等效电压噪声源 v e q 2 ‾ \overline{v_{eq}^2} veq2 和等效电流噪声源 i e q 2 ‾ \overline{i_{eq}^2} ieq2。 信号调理电路Signal Conditioning Circuit 仍然是跨阻放大器但这次假设它是无噪声的即没有额外噪声源。增加了等效输入噪声源分别是等效输入电压噪声 v e q 2 ‾ \overline{v_{eq}^2} veq2 和等效输入电流噪声 i e q 2 ‾ \overline{i_{eq}^2} ieq2。
2. Noise
2.1 功率谱密度Power Spectral Density, PSD 噪声的定义
噪声Noise被定义为给定参数 I ( t ) I(t) I(t) 的随机波动。这个参数 I ( t ) I(t) I(t) 可能代表电流、电压或其他电气量。在图中平均值 I D I_D ID 代表该参数的直流分量而随机波动部分则为噪声成分。
噪声特性
零平均值噪声波形的平均值为零这意味着在长期内噪声的正负波动会相互抵消。瞬时噪声处理困难我们无法在瞬时处理噪声因为它是随机且不可预测的。
平均处理噪声
为了处理噪声的平均效应我们可以使用功率谱密度Power Spectral Density, PSD来表示噪声。这样做可以将噪声的随机特性转换为一个可以分析的频率域表示。
通过均方值表示噪声
我们使用噪声的均方值来表示噪声强度。定义 i ( t ) I ( t ) − I D i(t) I(t) - I_D i(t)I(t)−ID则均方值 i 2 ‾ \overline{i^2} i2 表示为 i 2 ‾ ( I − I D ) 2 ‾ lim T → ∞ 1 T ∫ 0 T ∣ I − I D ∣ 2 d t \overline{i^2} \overline{(I - I_D)^2} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T |I - I_D|^2 \, dt i2(I−ID)2T→∞limT1∫0T∣I−ID∣2dt
这个公式说明了在长时间内噪声的平均平方值是如何计算的。
噪声谱密度
我们可以绘制噪声的谱密度来表示其均方值。噪声谱密度 i 2 ‾ Δ f \frac{\overline{i^2}}{\Delta f} Δfi2 的单位是 units 2 / Hz \text{units}^2/\text{Hz} units2/Hz表示在单位频率内的噪声功率。
单边谱密度与双边谱密度
单边谱密度One-sided spectral density在电路设计中常用并且通过频谱分析仪测量。它表示从0到 f max f_{\max} fmax 的频率范围内的噪声功率。双边谱密度Two-sided spectral density通常在系统课程中使用它是单边谱密度的一半表示从 − f max -f_{\max} −fmax 到 f max f_{\max} fmax 的频率范围内的噪声功率。
积分均方噪声密度
积分均方噪声密度 i 2 ‾ \overline{i^2} i2 是噪声谱密度在所有频率上的积分表示整个频率范围内的噪声功率总和。图中显示了一个典型的噪声谱密度曲线及其积分区域。
关键点总结
噪声是随机波动的表现其平均值为零难以在瞬时进行处理。通过使用均方值和噪声谱密度我们可以在频域内分析和处理噪声。单边谱密度和双边谱密度是分析噪声时常用的两种表示方法分别适用于不同的应用场景。
2.2 Circuit Noise Calculations
这张幻灯片详细介绍了如何通过LTI系统进行电路噪声计算展示了确定性信号和随机信号在系统中的传递关系并给出了关键公式。
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线性时不变系统LTI
LTI系统可以将输入信号 v i ( j ω ) v_i(j\omega) vi(jω) 和噪声谱密度 S i ( ω ) S_i(\omega) Si(ω) 转换为输出信号 v o ( j ω ) v_o(j\omega) vo(jω) 和输出噪声谱密度 S o ( ω ) S_o(\omega) So(ω)通过系统的传递函数 H ( j ω ) H(j\omega) H(jω)。
确定性输入与输出
输入 v i ( j ω ) v_i(j\omega) vi(jω)输出 v o ( j ω ) v_o(j\omega) vo(jω) 时间域输出信号 v o ( t ) v_o(t) vo(t) 是一个确定性的信号可以通过傅里叶变换转换为频率域 v o ( j ω ) v_o(j\omega) vo(jω)。确定性系统关系 v o ( j ω ) H ( j ω ) v i ( j ω ) v_o(j\omega) H(j\omega)v_i(j\omega) vo(jω)H(jω)vi(jω)
随机性输入与输出
输入 S i ( ω ) S_i(\omega) Si(ω)输出 S o ( ω ) S_o(\omega) So(ω) 时间域输出噪声 S o ( t ) S_o(t) So(t) 是随机信号的均方值可以通过傅里叶变换转换为频率域 S o ( j ω ) S_o(j\omega) So(jω)。随机系统关系 S o ( ω ) ∣ H ( j ω ) ∣ 2 S i ( ω ) S_o(\omega) |H(j\omega)|^2 S_i(\omega) So(ω)∣H(jω)∣2Si(ω)
关键公式 确定性系统关系 v o ( j ω ) H ( j ω ) v i ( j ω ) v_o(j\omega) H(j\omega)v_i(j\omega) vo(jω)H(jω)vi(jω) 随机系统关系 S o ( ω ) ∣ H ( j ω ) ∣ 2 S i ( ω ) S_o(\omega) |H(j\omega)|^2 S_i(\omega) So(ω)∣H(jω)∣2Si(ω) 这个公式说明了输出噪声谱密度 S o ( ω ) S_o(\omega) So(ω) 是输入噪声谱密度 S i ( ω ) S_i(\omega) Si(ω) 经过系统传递函数 H ( j ω ) H(j\omega) H(jω) 的幅度平方放大后的结果。 均方根振幅 S o ( ω ) ∣ H ( j ω ) ∣ S i ( ω ) \sqrt{S_o(\omega)} |H(j\omega)| \sqrt{S_i(\omega)} So(ω) ∣H(jω)∣Si(ω) 这个公式解释了如何通过系统的传递函数 H ( j ω ) H(j\omega) H(jω) 对输入噪声的均方根振幅进行计算。
重要概念
传递函数 H ( j ω ) H(j\omega) H(jω)这是一个表示系统响应的函数描述了输入与输出之间的关系。噪声的随机相位噪声具有随机相位因此在计算时无需考虑相位只需要考虑幅度。均方根值的计算通过计算均方根值我们可以更直观地理解噪声在系统中的传递和放大情况。
2.3 Handling Noise Deterministically
这张幻灯片详细介绍了如何在确定性情况下处理小带宽内的噪声通过将频域噪声近似为时间域的正弦信号简化了复杂的噪声分析过程。这种方法不仅提高了分析的直观性还为振荡器等电路的设计提供了理论支持。 图解
频域表示
噪声谱密度 v n 1 2 ‾ Δ f S 1 ( f ) \frac{\overline{v_{n1}^2}}{\Delta f} S_1(f) Δfvn12S1(f) 频率 ω o \omega_o ωo 附近的噪声谱密度 S 1 ( f ) S_1(f) S1(f) 可以通过带宽 B B B 进行积分。在带宽 B B B 内的噪声电压 v n 1 v_{n1} vn1 可以表示为 v n 1 S 1 ( f ) ⋅ B v_{n1} \sqrt{S_1(f) \cdot B} vn1S1(f)⋅B
时间域近似
可以将这种频域的噪声电压近似为一个正弦电压源特别是在带宽很小如1 Hz时。这种近似有效地简化了分析使其类似于分析一个确定性的正弦信号。
信号调理
信号通过LTI系统 噪声谱密度 S n ( j ω ) S_n(j\omega) Sn(jω) 经过线性时不变系统LTI系统其输出噪声谱密度 S o ( j ω ) S_o(j\omega) So(jω) 受系统传递函数的影响。传递函数 S o S i \frac{S_o}{S_i} SiSo 在带宽 B B B 内可以看作一个常数。
输出信号
输出信号 v o ( t ) v_o(t) vo(t) 经过系统后输出信号在时间域上表现为一个正弦波 v o ( t ) ∣ A ∣ cos ( ω o t ) v_o(t) |A| \cos(\omega_o t) vo(t)∣A∣cos(ωot)时间常数 τ \tau τ 与带宽 B B B 相关 τ ≈ 1 B \tau \approx \frac{1}{B} τ≈B1
关键点 频域到时间域的近似 通过频域噪声谱密度 S 1 ( f ) S_1(f) S1(f) 和带宽 B B B 的关系我们可以将频域噪声近似为时间域的正弦电压源。这种近似特别适用于带宽非常小的情况使得复杂的随机噪声分析变得简单而直观。 LTI系统中的噪声传递 在通过LTI系统时输入噪声谱密度 S n ( j ω ) S_n(j\omega) Sn(jω) 经过系统传递函数的影响得到输出噪声谱密度 S o ( j ω ) S_o(j\omega) So(jω)。传递函数在小带宽内可以近似为常数简化了计算。 时间常数与带宽的关系 输出信号的时间常数 τ \tau τ 与带宽 B B B 成反比关系即带宽越小时间常数越大。这一关系表明在小带宽内信号的幅度和相位在一个时间周期内不会显著变化。
应用与原理
振荡器的工作原理 这实际上也是振荡器工作的基本原理。振荡器是通过一个窄带滤波器使噪声通过后形成稳定的振荡信号。振荡器利用噪声在窄带内的确定性特征生成具有稳定频率和相位的输出信号。
2.4 Systematic Noise Calculation Procedure
这两张幻灯片系统性地展示了如何计算电路中多个噪声源的总输出噪声通过假设噪声源非相关、使用确定性替换以及传递函数分析的方法
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图示部分 General Circuit with Several Noise Sources 该电路包含多个噪声源 v n 2 2 ‾ , v n 3 2 ‾ , i n 5 2 ‾ , i n 4 2 ‾ , v n 6 2 ‾ , i n 1 2 ‾ \overline{v_{n2}^2}, \overline{v_{n3}^2}, \overline{i_{n5}^2}, \overline{i_{n4}^2}, \overline{v_{n6}^2}, \overline{i_{n1}^2} vn22,vn32,in52,in42,vn62,in12。噪声源通过系统的传递函数 H 1 ( j ω ) , H 2 ( j ω ) , H 5 ( j ω ) H_1(j\omega), H_2(j\omega), H_5(j\omega) H1(jω),H2(jω),H5(jω) 对总输出噪声 v o n 2 ‾ \overline{v_{on}^2} von2 产生影响。 Assume Noise Sources are Uncorrelated 假设各噪声源之间是非相关的这样可以简化计算过程。
步骤部分 为 i n 1 2 ‾ \overline{i_{n1}^2} in12 替换为确定性源 将随机噪声电流源 i n 1 2 ‾ \overline{i_{n1}^2} in12 替换为一个确定性的电流源 i n 1 i_{n1} in1其值为 i n 1 i n 1 2 ‾ Δ f ⋅ ( 1 Hz ) i_{n1} \sqrt{\frac{\overline{i_{n1}^2}}{\Delta f} \cdot (1 \text{Hz})} in1Δfin12⋅(1Hz) 计算 v o n 1 ( ω ) i n 1 ( ω ) H ( j ω ) v_{on1}(\omega) i_{n1}(\omega) H(j\omega) von1(ω)in1(ω)H(jω) 将 i n 1 ( ω ) i_{n1}(\omega) in1(ω) 视为确定性信号通过系统传递函数 H ( j ω ) H(j\omega) H(jω) 计算输出噪声 v o n 1 ( ω ) v_{on1}(\omega) von1(ω)。 确定 v o n 1 2 ‾ \overline{v_{on1}^2} von12 计算均方值 v o n 1 2 ‾ i n 1 2 ‾ ⋅ ∣ H ( j ω ) ∣ 2 \overline{v_{on1}^2} \overline{i_{n1}^2} \cdot |H(j\omega)|^2 von12in12⋅∣H(jω)∣2 对每个噪声源重复上述步骤 依次对 i n 1 2 ‾ , v n 2 2 ‾ , v n 3 2 ‾ , i n 4 2 ‾ , i n 5 2 ‾ , v n 6 2 ‾ \overline{i_{n1}^2}, \overline{v_{n2}^2}, \overline{v_{n3}^2}, \overline{i_{n4}^2}, \overline{i_{n5}^2}, \overline{v_{n6}^2} in12,vn22,vn32,in42,in52,vn62 重复步骤2和3计算每个噪声源的输出噪声。 将噪声功率相加 将所有噪声源的均方值相加得到总输出噪声功率 v o n T O T 2 ‾ v o n 1 2 ‾ v o n 2 2 ‾ v o n 3 2 ‾ v o n 4 2 ‾ v o n 5 2 ‾ v o n 6 2 ‾ … \overline{v_{onTOT}^2} \overline{v_{on1}^2} \overline{v_{on2}^2} \overline{v_{on3}^2} \overline{v_{on4}^2} \overline{v_{on5}^2} \overline{v_{on6}^2} \ldots vonTOT2von12von22von32von42von52von62…最终的总均方根值RMS v o n T O T v o n 1 2 ‾ v o n 2 2 ‾ v o n 3 2 ‾ v o n 4 2 ‾ v o n 5 2 ‾ v o n 6 2 ‾ … v_{onTOT} \sqrt{\overline{v_{on1}^2} \overline{v_{on2}^2} \overline{v_{on3}^2} \overline{v_{on4}^2} \overline{v_{on5}^2} \overline{v_{on6}^2} \ldots} vonTOTvon12von22von32von42von52von62…
关键点总结
非相关噪声源假设各噪声源之间是非相关的这使得可以独立处理每个噪声源的影响。确定性替换将随机噪声源替换为确定性信号源以简化计算。传递函数使用系统的传递函数 H ( j ω ) H(j\omega) H(jω) 将输入噪声转换为输出噪声。均方值相加通过计算每个噪声源的均方值并将它们相加得到总输出噪声的均方值。
3. Noise sources
3.1 Thermal Noise
这两页幻灯片详细介绍了热噪声的概念、性质以及其在电子学和机械学中的表现形式并提供了如何在电路中表示热噪声的具体方法。
热噪声的类型
电子学中的热噪声Thermal Noise in Electronics
定义也称为约翰逊噪声Johnson Noise或奈奎斯特噪声Nyquist Noise。产生原因由于导电介质中自由电子的热激励随机运动所产生的噪声。电子路径由于碰撞的原因电子的运动路径是随机定向的。
机械学中的热噪声Thermal Noise in Mechanics
定义布朗运动噪声Brownian Motion Noise。关联过程与所有耗散过程相关这些过程与热域耦合。任何阻尼任何阻尼都会产生热噪声包括气体阻尼、内部损耗等。
热噪声的性质
白噪声热噪声是白噪声即频率恒定。与温度成正比噪声强度与温度成正比。不与电流关联热噪声与电流无关。存在于任何真实的物理电阻器中任何实际的物理电阻器都会产生热噪声。
热噪声的电路表示
热噪声可以表示为一个串联电压源 v R 2 ‾ \overline{v_R^2} vR2 或一个并联电流源 i R 2 ‾ \overline{i_R^2} iR2。
电路图解释
实际电阻器图中左侧显示了一个实际电阻器 R R R。噪声表示 串联电压源表示一个无噪声电阻器 R R R 串联一个电压源 v R 2 ‾ \overline{v_R^2} vR2。并联电流源表示一个无噪声电阻器 R R R 并联一个电流源 i R 2 ‾ \overline{i_R^2} iR2。
关键公式
电流噪声谱密度 i R 2 ‾ Δ f 4 k T R \frac{\overline{i_R^2}}{\Delta f} \frac{4kT}{R} ΔfiR2R4kT电压噪声谱密度 v R 2 ‾ Δ f 4 k T R \frac{\overline{v_R^2}}{\Delta f} 4kTR ΔfvR24kTR 其中 4 k T 1.66 × 1 0 − 20 V ⋅ C 4kT 1.66 \times 10^{-20} \text{V} \cdot \text{C} 4kT1.66×10−20V⋅C 表示噪声谱密度常数。
关键点总结
单边谱密度这些表示都是单边均方谱密度要使其成为双边谱密度必须除以2。热噪声的电路表示可以通过串联电压源或并联电流源来表示热噪声这两种表示方式在实际电路设计和分析中都有重要的应用 这张幻灯片通过比较理想LC电路和实际含有电阻的LC电路说明了电容器和电感器本身不产生噪声但电阻的存在会引入热噪声。这符合热力学定律解释了在有限温度下系统必须经历能量耗散的原因。
电阻、电容和电感的噪声特性
电阻产生热噪声
电阻器在电路中会产生热噪声热噪声这是因为自由电子的随机热运动导致的。该现象在前面的幻灯片中已经详细解释过。
电容器和电感器为何没有噪声
电容器和电感器通常被认为是无噪声的这一点需要解释清楚。 无电阻时的LC电路 图中显示了一个由电感 L L L 和电容 C C C 组成的LC电路没有电阻的情况下这个电路可以无限振荡。振荡现象电压 v v v 随时间 t t t 的变化显示了一个正弦波形这意味着电路可以永远振荡下去只要不考虑损耗。物理解释由于没有任何能量损耗理想情况下这种振荡可以持续无限时间。 加入电阻后的LC电路 图中显示了在LC电路中加入一个电阻 R R R 的情况。衰减现象电压 v v v 随时间 t t t 的变化显示了一个逐渐衰减的正弦波形这意味着振荡最终会因为能量损失而衰减到零。物理解释这符合热力学定律因为在有限温度下系统必须经历能量耗散。
强迫函数和噪声电压源
为了维持振荡必须加入一个强迫函数如噪声电压源 v R 2 ‾ \overline{v_R^2} vR2这个噪声源与电阻 R R R 相关。
关键点总结
电容器和电感器的噪声尽管理想情况下电容器和电感器本身不产生噪声但在实际电路中电阻的存在会引入噪声。振荡与能量耗散没有电阻的LC电路可以无限振荡但在实际电路中电阻的存在导致能量耗散使振荡最终衰减。热力学定律在有限温度下系统的能量必须耗散这需要考虑噪声源的影响特别是电阻产生的热噪声。
Why 4kTR?
热噪声公式 v R 2 ‾ Δ f 4 k T R \frac{\overline{v_R^2}}{\Delta f} 4kTR ΔfvR24kTR 是一个关键的公式用于描述电阻器中的热噪声电压谱密度。为了理解这个公式的来源我们需要结合统计热力学和电路理论。下面我们逐步解析这个公式的推导过程。
统计热力学基础
等分定理
等分定理Equipartition Theorem是统计热力学中的一个基本定理它指出在热平衡状态下每个自由度所具有的平均能量是 1 2 k B T \frac{1}{2}k_BT 21kBT其中 k B k_B kB 是玻尔兹曼常数 T T T 是绝对温度。
自由度与能量
对于一个电子电路存在两个自由度电流 i i i 和电压 v v v。这些自由度对应的能量可以分别表示为 电感 L L L 中的电流 i i i 1 2 L i 2 ‾ 1 2 k B T \frac{1}{2} L \overline{i^2} \frac{1}{2} k_B T 21Li221kBT 电容 C C C 中的电压 v v v 1 2 C v 2 ‾ 1 2 k B T \frac{1}{2} C \overline{v^2} \frac{1}{2} k_B T 21Cv221kBT
具体推导过程
RC 电路分析
为了具体推导出 v R 2 ‾ Δ f 4 k T R \frac{\overline{v_R^2}}{\Delta f} 4kTR ΔfvR24kTR我们考虑一个简单的RC电路如下图所示
电路中的总能量 电容器中的能量为 E 1 2 C v C 2 ‾ 1 2 k B T E \frac{1}{2} C \overline{v_C^2} \frac{1}{2} k_B T E21CvC221kBT
因此可以得到 v C 2 ‾ k B T C \overline{v_C^2} \frac{k_B T}{C} vC2CkBT 噪声电压谱密度的计算 假设噪声是白噪声我们计算噪声电压谱密度 v C 2 ‾ ∫ 0 ∞ ∣ 1 1 j ω R C ∣ 2 v R 2 ‾ Δ f d ω \overline{v_C^2} \int_0^\infty \left| \frac{1}{1j\omega RC} \right|^2 \frac{\overline{v_R^2}}{\Delta f} d\omega vC2∫0∞ 1jωRC1 2ΔfvR2dω 傅里叶变换与积分 将上述积分展开考虑滤波器传递函数 H ( j ω ) 1 1 j ω R C H(j\omega) \frac{1}{1j\omega RC} H(jω)1jωRC1
将其代入积分式 v C 2 ‾ 1 2 π v R 2 ‾ Δ f ∫ 0 ∞ 1 1 ( ω R C ) 2 d ω \overline{v_C^2} \frac{1}{2\pi} \frac{\overline{v_R^2}}{\Delta f} \int_0^\infty \frac{1}{1(\omega RC)^2} d\omega vC22π1ΔfvR2∫0∞1(ωRC)21dω
由于白噪声的假设积分结果为 v C 2 ‾ 1 2 π v R 2 ‾ Δ f ⋅ π R C 1 2 π v R 2 ‾ Δ f ⋅ π τ 1 4 ω b v R 2 ‾ Δ f k B T C \overline{v_C^2} \frac{1}{2\pi} \frac{\overline{v_R^2}}{\Delta f} \cdot \frac{\pi}{RC} \frac{1}{2\pi} \frac{\overline{v_R^2}}{\Delta f} \cdot \pi \tau \frac{1}{4} \omega_b \frac{\overline{v_R^2}}{\Delta f} \frac{k_B T}{C} vC22π1ΔfvR2⋅RCπ2π1ΔfvR2⋅πτ41ωbΔfvR2CkBT
其中 τ R C \tau RC τRC是电路的时间常数。
最后一步推导 因此可以得到 v R 2 ‾ Δ f 4 k T R \frac{\overline{v_R^2}}{\Delta f} 4kTR ΔfvR24kTR
公式 v R 2 ‾ Δ f 4 k T R \frac{\overline{v_R^2}}{\Delta f} 4kTR ΔfvR24kTR 反映了热噪声的谱密度它表明在单位频率范围内电阻器产生的噪声电压平方值与温度和电阻成正比。这一结果在实际电路设计和噪声分析中具有重要意义帮助工程师估算和控制电路中的噪声水平。
3.2 Shot Noise
详细介绍了散粒噪声产生机制和特性
散粒噪声与直流电流流动有关是白噪声独立于温度噪声功率与直流电流和带宽成正比。 Shot Noise散粒噪声与二极管和双极结晶体管BJT中的直流电流流动有关。它源于电子和空穴在pn结处克服势垒的随机过程。
产生机制
随机性散粒噪声起源于电子和空穴克服pn结势垒的随机过程。直流电流在正向偏置二极管中直流电流由p区的空穴和n区的电子组成这些载流子具有足够的能量克服结处的势垒。噪声过程噪声过程应该与直流电流成正比。
图示解释
pn结图中展示了pn结中的载流子流动空穴从p区流向n区电子从n区流向p区。电流和电压二极管电流 I D I_D ID 和电压 V D V_D VD 驱动载流子克服势垒。
属性
与直流电流相关散粒噪声与克服势垒的直流电流相关。独立于温度散粒噪声不受温度影响。白噪声散粒噪声是白噪声即频率恒定。噪声功率噪声功率与直流电流 I D I_D ID 和带宽成正比。
关键公式 i n 2 ‾ Δ f 2 q I D \frac{\overline{i_n^2}}{\Delta f} 2qI_D Δfin22qID 其中 q q q 是电子电荷1.6×10⁻¹⁹库仑 I D I_D ID 是直流电流。
3.3 Flicker (1/f) Noise 闪烁噪声与载流子的随机捕获和释放有关频谱密度在低频处较高表现为1/f特性。
Flicker Noise闪烁噪声也称为1/f噪声与载流子从“慢态”中随机捕获和释放相关。
产生机制
捕获和释放闪烁噪声通常与载流子从慢态中随机捕获和释放有关。时间常数这个过程的时间常数使得噪声信号的能量集中在低频。频谱密度通常闪烁噪声的均方噪声谱密度随频率变化如图所示。
图示解释
频谱图图中展示了1/f噪声的频谱特性显示出低频处的高能量特性。角频率 ω b \omega_b ωb 是1/f噪声的角频率。
关键公式 i n 2 ‾ Δ f 2 q I D K ( I D a f b ) \frac{\overline{i_n^2}}{\Delta f} 2qI_D K\left(\frac{I_D^a}{f^b}\right) Δfin22qIDK(fbIDa) 其中 I D I_D ID 是直流电流。 K K K 是一个特定设备的常数。 a a a 和 b b b 是设备特性参数通常 a a a 介于0.5到2之间 b b b 约为1。
3.4 Example: Typical Noise Numbers
通过这个例子我们详细解析了如何通过简单的RC电路测量和计算典型的噪声值。通过使用低噪声放大器和频谱分析仪可以准确测量和分析电路中的噪声。 电路连接与测量
电路示例
电路由以下组件组成
电阻 R R R1 kΩ电容 C C C1 pF低噪声放大器具有100倍增益
在这个电路中电阻和电容会产生热噪声而低噪声放大器将这个噪声信号放大使得我们可以更容易地测量和分析。
噪声源及其计算
热噪声电压谱密度
热噪声的电压谱密度由下式给出 v R 2 ‾ Δ f 4 k T R \frac{\overline{v_R^2}}{\Delta f} 4kTR ΔfvR24kTR 其中 k k k 是玻尔兹曼常数约为 1.38 × 1 0 − 23 J/K 1.38 \times 10^{-23} \text{J/K} 1.38×10−23J/K T T T 是绝对温度假设为300 K R R R 是电阻值这里为1 kΩ
将这些值代入公式中 4 k T 4 × 1.38 × 1 0 − 23 × 300 ≈ 1.66 × 1 0 − 20 V 2 / Hz 4kT 4 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300 \approx 1.66 \times 10^{-20} \text{V}^2/\text{Hz} 4kT4×1.38×10−23×300≈1.66×10−20V2/Hz
所以 v R 2 ‾ Δ f 1.66 × 1 0 − 20 × 1 kΩ 1.66 × 1 0 − 17 V 2 / Hz \frac{\overline{v_R^2}}{\Delta f} 1.66 \times 10^{-20} \times 1 \text{kΩ} 1.66 \times 10^{-17} \text{V}^2/\text{Hz} ΔfvR21.66×10−20×1kΩ1.66×10−17V2/Hz
为了使结果更加直观我们通常将结果转换为 nV/√Hz 单位 v R 2 ‾ Δ f 1.656 × 1 0 − 17 V/√Hz \sqrt{\frac{\overline{v_R^2}}{\Delta f}} \sqrt{1.656 \times 10^{-17}} \text{V/√Hz} ΔfvR2 1.656×10−17 V/√Hz v R 2 ‾ Δ f ≈ 4.07 × 1 0 − 9 V/√Hz \sqrt{\frac{\overline{v_R^2}}{\Delta f}} \approx 4.07 \times 10^{-9} \text{V/√Hz} ΔfvR2 ≈4.07×10−9V/√Hz
由于 1 nV 1 0 − 9 10^{-9} 10−9 V因此 v R 2 ‾ Δ f ≈ 4.07 nV/√Hz \sqrt{\frac{\overline{v_R^2}}{\Delta f}} \approx 4.07 \text{nV/√Hz} ΔfvR2 ≈4.07nV/√Hz
这个结果表明每个1 kΩ电阻在室温下对应的热噪声电压谱密度约为 4.07 nV/√Hz。为了简化表示我们通常会将小数部分省略因此常说为 4 nV/√Hz。
电容的噪声电压
对于电容 C C C 的热噪声电压可以用以下公式计算 v C 2 ‾ k T C \overline{v_C^2} \frac{kT}{C} vC2CkT
将值代入公式 v C 2 ‾ 1.38 × 1 0 − 23 × 300 1 × 1 0 − 12 4.14 × 1 0 − 21 1 0 − 12 4.14 × 1 0 − 9 V 2 \overline{v_C^2} \frac{1.38 \times 10^{-23} \times 300}{1 \times 10^{-12}} \frac{4.14 \times 10^{-21}}{10^{-12}} 4.14 \times 10^{-9} \text{V}^2 vC21×10−121.38×10−23×30010−124.14×10−214.14×10−9V2
因此电容的热噪声电压为 v C 4.14 × 1 0 − 9 ≈ 64 μ V rms v_C \sqrt{4.14 \times 10^{-9}} \approx 64 \mu \text{V rms} vC4.14×10−9 ≈64μV rms
RMS均方根值用于表征噪声信号的有效电压。它是平方值的均值的平方根。
总结
在这个电路中每个1kΩ电阻对应的热噪声电压为4 nV/√Hz而1 pF电容的热噪声电压为64 μV rms。
噪声测量 使用交流电压表测量 低噪声放大器的增益为100倍因此输出噪声电压为 V o 100 × 64 μ V rms 6.4 mV rms V_o 100 \times 64 \mu \text{V rms} 6.4 \text{mV rms} Vo100×64μV rms6.4mV rms 使用频谱分析仪测量 频谱分析仪测量的是频谱密度。假设频谱密度 S S S 为400 nV/√Hz。频率范围 f 1 2 π R C 1 2 π × 1 k Ω × 1 p F ≈ 60 MHz f \frac{1}{2\pi RC} \frac{1}{2\pi \times 1kΩ \times 1pF} \approx 60 \text{MHz} f2πRC12π×1kΩ×1pF1≈60MHz
假设我们测量的频率范围为60 MHz频谱分析仪可以显示出一侧谱密度图其中
在400 nV/√Hz下积分噪声电压平方值可以通过频率范围内的积分来计算 v R 2 ‾ ∫ 0 60 MHz ( 400 × 1 0 − 9 Hz ) 2 d ω \overline{v_R^2} \int_0^{60 \text{MHz}} \left( \frac{400 \times 10^{-9}}{\sqrt{\text{Hz}}} \right)^2 d\omega vR2∫060MHz(Hz 400×10−9)2dω
由于频谱是平的因此 v R 2 ‾ ( 400 × 1 0 − 9 ) 2 × 60 × 1 0 6 \overline{v_R^2} (400 \times 10^{-9})^2 \times 60 \times 10^6 vR2(400×10−9)2×60×106 v R 2 ‾ 1.6 × 1 0 − 19 × 60 × 1 0 6 \overline{v_R^2} 1.6 \times 10^{-19} \times 60 \times 10^6 vR21.6×10−19×60×106 v R 2 ‾ 9.6 × 1 0 − 12 V 2 \overline{v_R^2} 9.6 \times 10^{-12} \text{V}^2 vR29.6×10−12V2
所以 v R 9.6 × 1 0 − 12 ≈ 3.1 μ V rms v_R \sqrt{9.6 \times 10^{-12}} \approx 3.1 \mu \text{V rms} vR9.6×10−12 ≈3.1μV rms
高斯分布与概率
高斯分布噪声信号通常遵循高斯分布其幅度分布具有平均值为0标准差为1的特性。概率在高斯分布中68%的值落在±σ范围内99.7%的值落在±3σ范围内。
频谱分析仪的结果
频谱分析仪显示的是单侧谱密度one-sided spectral density通过积分得到总噪声电压。在400 nV/√Hz的密度下积分结果为60 MHz范围内的总噪声电压平方值。
4. Equivalent Input-Referred Voltage and Current Noise Sources
4.1 等效输入噪声源模型
在电子系统中噪声是一个不可避免的问题它影响了系统的性能和精度。为了分析和减小噪声的影响我们常常会使用等效噪声源模型来简化和理解复杂的噪声问题。这张图示提供了如何用等效输入电压和电流噪声源来表示一个含噪的二端口网络two-port network以便于分析和处理。
4.1.1 基本原理
图示描述了一个带有噪声的二端口网络通过等效噪声源模型将其转换为一个等效的无噪声网络。等效噪声源包括等效输入电压噪声( v_{\text{eq}} )和等效输入电流噪声( i_{\text{eq}} )这些噪声源产生的总输出噪声与原始噪声网络相同。 带噪网络Noisy Network这是一个含有噪声的实际网络其噪声来自于各种内部和外部的干扰源。 等效噪声源Equivalent Noise Sources通过分析原网络中的噪声可以简化为两个等效的噪声源一个是电压噪声源( v_{\text{eq}} )另一个是电流噪声源( i_{\text{eq}} )。 无噪声网络Noiseless Network这是一个理想的无噪声网络通过引入等效噪声源来保持原网络的噪声特性。 适用于线性时不变网络Linear Time-Invariant Networks这种等效模型的前提条件是网络必须是线性且时不变的。线性意味着系统的输出是输入的线性函数时不变则意味着系统的特性不会随时间变化。 电压和电流噪声源通常是相关的Correlated( v_{\text{eq}} ) 和 ( i_{\text{eq}} ) 通常是相关的因为它们往往源于相同的噪声源。例如热噪声和器件噪声都可能同时影响电压和电流。 在许多实际电路中电压或电流噪声源会占主导地位Dominates在一些实际应用中可能一个噪声源例如电压噪声比另一个噪声源例如电流噪声更为显著这时可以只关注主要的噪声源简化分析。 如果相关性很重要更容易返回到原始网络进行分析Original Network Analysis在某些情况下噪声源之间的相关性非常重要这时可以通过回到原始的含噪网络来进行更准确的分析。
4.1.2 等效输入噪声源 v eq 2 v_{\text{eq}}^2 veq2 和 i eq 2 i_{\text{eq}}^2 ieq2 的计算 a) 计算等效输入电压噪声源 v eq 2 v_{\text{eq}}^2 veq2
为了得到二端口网络的等效输入电压噪声源 v eq 2 v_{\text{eq}}^2 veq2我们可以按以下步骤进行 短路输入测量输出噪声 v 0 I 2 v_{0I}^2 v0I2 或 i 0 I 2 i_{0I}^2 i0I2首先将原含噪声网络的输入端短路测量输出端的噪声电压或噪声电流。记下此时的噪声电压为 v 0 I 2 v_{0I}^2 v0I2。 Short input, find v 0 I 2 (or i 0 I 2 ) \text{Short input, find } v_{0I}^2 \text{ (or } i_{0I}^2 \text{)} Short input, find v0I2 (or i0I2) 对于等效网络短路输入测量输出噪声 v 0 I I 2 v_{0II}^2 v0II2 或 i 0 I I 2 i_{0II}^2 i0II2然后在等效网络中也将输入端短路测量输出端的噪声电压或噪声电流。记下此时的噪声电压为 v 0 I I 2 v_{0II}^2 v0II2。 For eq. network, short input, find v 0 I I 2 (or i 0 I I 2 ) \text{For eq. network, short input, find } v_{0II}^2 \text{ (or } i_{0II}^2 \text{)} For eq. network, short input, find v0II2 (or i0II2) 设定 v 0 I 2 v 0 I I 2 v_{0I}^2 v_{0II}^2 v0I2v0II2求解 v eq 2 v_{\text{eq}}^2 veq2 或 i eq 2 i_{\text{eq}}^2 ieq2最后将测得的两个输出噪声电压设为相等求解出等效输入电压噪声源 v eq 2 v_{\text{eq}}^2 veq2。 v 0 I 2 v 0 I I 2 ⇒ solve for v eq 2 (or i eq 2 ) v_{0I}^2 v_{0II}^2 \Rightarrow \text{solve for } v_{\text{eq}}^2 \text{ (or } i_{\text{eq}}^2 \text{)} v0I2v0II2⇒solve for veq2 (or ieq2)
b) 计算等效输入电流噪声源 i eq 2 i_{\text{eq}}^2 ieq2
类似地为了得到二端口网络的等效输入电流噪声源 i eq 2 i_{\text{eq}}^2 ieq2可以按照以下步骤进行 开路输入测量输出噪声 v 0 I 2 v_{0I}^2 v0I2 或 i 0 I 2 i_{0I}^2 i0I2首先将原含噪声网络的输入端开路测量输出端的噪声电压或噪声电流。记下此时的噪声电压为 v 0 I 2 v_{0I}^2 v0I2。 Open input, find v 0 I 2 (or i 0 I 2 ) \text{Open input, find } v_{0I}^2 \text{ (or } i_{0I}^2 \text{)} Open input, find v0I2 (or i0I2) 对于等效网络开路输入测量输出噪声 v 0 I I 2 v_{0II}^2 v0II2 或 i 0 I I 2 i_{0II}^2 i0II2然后在等效网络中也将输入端开路测量输出端的噪声电压或噪声电流。记下此时的噪声电压为 v 0 I I 2 v_{0II}^2 v0II2。 Open input for eq. circuit, find v 0 I I 2 (or i 0 I I 2 ) \text{Open input for eq. circuit, find } v_{0II}^2 \text{ (or } i_{0II}^2 \text{)} Open input for eq. circuit, find v0II2 (or i0II2) 设定 v 0 I 2 v 0 I I 2 v_{0I}^2 v_{0II}^2 v0I2v0II2求解 i eq 2 i_{\text{eq}}^2 ieq2最后将测得的两个输出噪声电压设为相等求解出等效输入电流噪声源 i eq 2 i_{\text{eq}}^2 ieq2。 v 0 I 2 v 0 I I 2 ( i eq ) ⇒ solve for i eq 2 (or i 0 I 2 i 0 I I 2 ( i eq ) ) v_{0I}^2 v_{0II}^2 \left( i_{\text{eq}} \right) \Rightarrow \text{solve for } i_{\text{eq}}^2 \text{ (or } i_{0I}^2 i_{0II}^2 \left( i_{\text{eq}} \right) \text{)} v0I2v0II2(ieq)⇒solve for ieq2 (or i0I2i0II2(ieq))
4.1.3 在不需要考虑相关性的情况下进行噪声分析 在电子电路设计中等效噪声源模型可以帮助我们简化复杂的噪声分析。然而某些情况下噪声源之间的相关性可以被忽略从而简化计算过程。这种情况下我们只需要考虑主要的噪声源而无需处理复杂的相关性问题。以下是两种常见的可以忽略相关性的情况。
1. 源阻抗 R s R_s Rs 较小的情况
当源阻抗 R s R_s Rs 相对于输入阻抗 R i R_i Ri 较小时理想情况下为零例如理想的电压源我们可以忽略电流噪声源 i eq 2 i_{\text{eq}}^2 ieq2 的影响只考虑电压噪声源 v eq 2 v_{\text{eq}}^2 veq2。
分析步骤
短路电流源由于 R s R_s Rs 很小等效输入电流噪声源的影响几乎可以忽略。电流源的电流会被短路掉等效为没有电流噪声。只考虑电压噪声源此时电压噪声源 v eq 2 v_{\text{eq}}^2 veq2 成为主要的噪声贡献者。因此我们只需要考虑等效输入电压噪声源的影响。
图中展示了当 R s R_s Rs 较小时的情况电流噪声被短路因而可以忽略只考虑电压噪声。 R s small ⇒ i eq 2 can be neglected ⇒ only v eq 2 is important R_s \text{ small} \Rightarrow i_{\text{eq}}^2 \text{ can be neglected} \Rightarrow \text{only } v_{\text{eq}}^2 \text{ is important} Rs small⇒ieq2 can be neglected⇒only veq2 is important
2. 源阻抗 R s R_s Rs 较大的情况
当源阻抗 R s R_s Rs 相对于输入阻抗 R i R_i Ri 较大时理想情况下为无穷大例如理想的电流源我们可以忽略电压噪声源 v eq 2 v_{\text{eq}}^2 veq2 的影响只考虑电流噪声源 i eq 2 i_{\text{eq}}^2 ieq2。
分析步骤
开路电压源由于 R s R_s Rs 很大等效输入电压噪声源的影响几乎可以忽略。电压源的电压会被开路掉等效为没有电压噪声。只考虑电流噪声源此时电流噪声源 i eq 2 i_{\text{eq}}^2 ieq2 成为主要的噪声贡献者。因此我们只需要考虑等效输入电流噪声源的影响。
图中展示了当 R s R_s Rs 较大时的情况电压噪声被开路因而可以忽略只考虑电流噪声。 R s large ⇒ v eq 2 can be neglected ⇒ only i eq 2 is important R_s \text{ large} \Rightarrow v_{\text{eq}}^2 \text{ can be neglected} \Rightarrow \text{only } i_{\text{eq}}^2 \text{ is important} Rs large⇒veq2 can be neglected⇒only ieq2 is important
4.2 跨阻放大器Transresistance Amplifier, TransR分析示例
跨阻放大器Transresistance Amplifier, TransR是一种常见的放大器类型通常用于将电流信号转换为电压信号。在分析跨阻放大器的噪声特性时我们通常会采用等效输入噪声源模型来简化分析。 4.3 陀螺仪最小可检测信号Gyro MDS分析实例 一、陀螺仪传感的等效电路模型
如图所示陀螺仪的等效电路模型中包括以下部分 传感元件的力 F c F_c Fc F ⃗ c m a ⃗ c m ⋅ ( 2 x ⃗ d × Ω ⃗ ) \vec{F}_c m \vec{a}_c m \cdot (2 \vec{x}_d \times \vec{\Omega}) F cma cm⋅(2x d×Ω ) 其中 m m m 为质量 a ⃗ c \vec{a}_c a c 为科里奥利加速度 x ⃗ d \vec{x}_d x d 为位移 Ω ⃗ \vec{\Omega} Ω 为角速度。 电感 L x L_x Lx、电容 C x C_x Cx、电阻 R x R_x Rx 组成的传感器元件 这些元件组合形成了传感器的基本响应特性。 转换系数 η e \eta_e ηe 该系数将机械运动转换为电信号。 等效输入噪声源 v e q 2 v_{eq}^2 veq2 和 i e q 2 i_{eq}^2 ieq2** 将各种噪声源等效为输入噪声源便于与信号进行比较。
二、计算输出电流和旋转速度的传递函数 确定传递函数 首先需要找到旋转速度 Ω \Omega Ω 到输出电流 i o i_o io 的传递函数 x ˙ s ω s Q s k s H s ( j ω d ) F s ω s Q s k s ⋅ 2 ω d x d Ω m ⋅ H s ( j ω d ) ⋅ 1 ω s 2 \dot{x}_s \frac{\omega_s Q_s}{k_s} H_s(j\omega_d) F_s \frac{\omega_s Q_s}{k_s} \cdot 2 \omega_d x_d \Omega m \cdot H_s(j\omega_d) \cdot \frac{1}{\omega_s^2} x˙sksωsQsHs(jωd)FsksωsQs⋅2ωdxdΩm⋅Hs(jωd)⋅ωs21 其中 H s ( j ω d ) H_s(j\omega_d) Hs(jωd) 是系统的频率响应函数 ω s \omega_s ωs 是固有频率 Q s Q_s Qs 是品质因数 k s k_s ks 是弹簧常数 F s F_s Fs 是输入力。 于是有 x ˙ s 2 ω d ω s Q s x d H s ( j ω d ) Ω \dot{x}_s 2 \frac{\omega_d}{\omega_s} Q_s x_d H_s(j\omega_d) \Omega x˙s2ωsωdQsxdHs(jωd)Ω 输出电流 i o i_o io 的计算 将位移转换为电流 i o η e x ˙ s 2 ω d ω s Q s x d η e H s ( j ω d ) Ω i_o \eta_e \dot{x}_s 2 \frac{\omega_d}{\omega_s} Q_s x_d \eta_e H_s(j\omega_d) \Omega ioηex˙s2ωsωdQsxdηeHs(jωd)Ω 这里 η e \eta_e ηe 是电转换系数。 令 A 2 ω d ω s Q s x d η e H s ( j ω d ) A 2 \frac{\omega_d}{\omega_s} Q_s x_d \eta_e H_s(j\omega_d) A2ωsωdQsxdηeHs(jωd)则有 i o A Ω i_o A \Omega ioAΩ
三、确定最小可检测信号MDS 输入参照噪声电流 输入参照噪声电流 i e q T O T i_{eqTOT} ieqTOT 表示进入放大器的总噪声电流。需要将各种噪声源的贡献累加起来 i e q T O T i s i e q i_{eqTOT} i_s i_{eq} ieqTOTisieq 其中 i s i_s is 是传感元件的噪声 i e q i_{eq} ieq 是放大器的等效输入噪声。 总噪声电流的计算 i e q T O T 2 ‾ i s 2 ‾ i f 2 ‾ N a 2 ‾ R f 2 f R x 2 ‾ Δ f 4 k T R x \overline{i_{eqTOT}^2} \overline{i_s^2} \overline{i_f^2} \frac{\overline{N_a^2}}{R_f^2} \frac{\overline{f_{R_x}^2}}{\Delta f} 4 k T R_x ieqTOT2is2if2Rf2Na2ΔffRx24kTRx 其中 f R x 2 ‾ \overline{f_{R_x}^2} fRx2 是电阻的热噪声 R x R_x Rx 是电阻值。 计算MDS 当旋转角速度 Ω \Omega Ω 等于最小可检测信号 Ω min \Omega_{\text{min}} Ωmin 时输出电流 i o i_o io 等于总的输入参照噪声电流 i e q T O T i_{eqTOT} ieqTOT即 i o i e q T O T i_o i_{eqTOT} ioieqTOT 因此可以解得最小可检测信号 Ω min i e q T O T A \Omega_{\text{min}} \frac{i_{eqTOT}}{A} ΩminAieqTOT
四、示例计算 计算比例因子 A A A 根据给定的系统参数计算比例因子 A A A。例如 A 2 ω d ω s Q s x d η e H s ( j ω d ) A 2 \frac{\omega_d}{\omega_s} Q_s x_d \eta_e H_s(j\omega_d) A2ωsωdQsxdηeHs(jωd) 假设 ω d 2000 rad/s \omega_d 2000 \, \text{rad/s} ωd2000rad/s、 ω s 1500 rad/s \omega_s 1500 \, \text{rad/s} ωs1500rad/s、 Q s 100 Q_s 100 Qs100、 x d 0.01 m x_d 0.01 \, \text{m} xd0.01m、 η e 0.5 \eta_e 0.5 ηe0.5、 H s ( j ω d ) 1 H_s(j\omega_d) 1 Hs(jωd)1则 A 2 2000 1500 ⋅ 100 ⋅ 0.01 ⋅ 0.5 ⋅ 1 1.33 A 2 \frac{2000}{1500} \cdot 100 \cdot 0.01 \cdot 0.5 \cdot 1 1.33 A215002000⋅100⋅0.01⋅0.5⋅11.33 计算最小可检测信号 Ω min \Omega_{\text{min}} Ωmin 假设输入参照噪声电流 i e q T O T 10 pA / Hz i_{eqTOT} 10 \, \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}} ieqTOT10pA/Hz 则 Ω min 10 pA / Hz 1.33 7.52 pA / Hz \Omega_{\text{min}} \frac{10 \, \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}}}{1.33} 7.52 \, \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}} Ωmin1.3310pA/Hz 7.52pA/Hz
五、角随机游走ARW的计算
角随机游走Angle Random Walk, ARW表示为 ARW 1 60 Ω min ( ° hr ) \text{ARW} \frac{1}{60} \Omega_{\text{min}} \left( \frac{\degree}{\sqrt{\text{hr}}} \right) ARW601Ωmin(hr °)
例如根据前述 Ω min \Omega_{\text{min}} Ωmin 计算ARW 为 ARW 1 60 × 7.52 ( ° hr ) 0.125 ° hr \text{ARW} \frac{1}{60} \times 7.52 \left( \frac{\degree}{\sqrt{\text{hr}}} \right) 0.125 \, \frac{\degree}{\sqrt{\text{hr}}} ARW601×7.52(hr °)0.125hr °
通过上述详细的计算步骤我们可以清晰地理解陀螺仪最小可检测信号MDS和角随机游走ARW的计算过程。
LF356运算放大器数据表 低输入噪声电流 如数据表中所示LF356的输入噪声电流为0.01 pA/√Hz。这意味着在每赫兹的带宽内噪声电流的均方根值为0.01 pA。这对于高精度的陀螺仪应用非常重要因为低噪声电流有助于提高系统的信噪比SNR。 低输入噪声电压 LF356的输入噪声电压为12 nV/√Hz。这表明在每赫兹的带宽内噪声电压的均方根值为12 nV。这同样有助于保持高信噪比尤其是在需要高精度信号测量的情况下。 高输入阻抗 10^12 Ω的高输入阻抗使得LF356能够有效地处理高阻抗源信号减少信号源阻抗对放大器性能的影响。
4.4 示例角随机游走ARW计算 角随机游走ARW是衡量陀螺仪性能的一个重要指标它描述了陀螺仪在单位时间内由于随机噪声引起的角度漂移。
一、传感元件参数分析
我们首先了解传感元件的具体参数这些参数决定了系统的基本特性和响应行为。 质量 m m m m ( 100 μ m ) ( 100 μ m ) ( 20 μ m ) ( 2300 kg/m 3 ) 4.6 × 1 0 − 10 kg m (100 \, \mu m)(100 \, \mu m)(20 \, \mu m)(2300 \, \text{kg/m}^3) 4.6 \times 10^{-10} \, \text{kg} m(100μm)(100μm)(20μm)(2300kg/m3)4.6×10−10kg 这表示传感元件的有效质量。 固有频率 ω s \omega_s ωs ω s 2 π × 15 kHz \omega_s 2\pi \times 15 \, \text{kHz} ωs2π×15kHz 这表示传感元件的固有振荡频率。 驱动频率 ω d \omega_d ωd ω d 2 π × 10 kHz \omega_d 2\pi \times 10 \, \text{kHz} ωd2π×10kHz 这表示外部驱动信号的频率。 弹簧常数 k s k_s ks k s ω s 2 m ( 2 π × 15 kHz ) 2 × 4.6 × 1 0 − 10 kg 4.09 N/m k_s \omega_s^2 m (2\pi \times 15 \, \text{kHz})^2 \times 4.6 \times 10^{-10} \, \text{kg} 4.09 \, \text{N/m} ksωs2m(2π×15kHz)2×4.6×10−10kg4.09N/m 弹簧常数表示传感元件的刚度。 位移 x d x_d xd x d 20 μ m x_d 20 \, \mu m xd20μm 这是传感元件的最大位移。 品质因数 Q s Q_s Qs Q s 50 , 000 Q_s 50,000 Qs50,000 品质因数表示系统的阻尼特性数值越高表示阻尼越小。 激励电压 V p V_p Vp V p 5 V V_p 5 \, \text{V} Vp5V 这是施加在传感元件上的电压。 电极几何参数 h 20 μ m , d 1 μ m h 20 \, \mu m, \quad d 1 \, \mu m h20μm,d1μm 这些参数用于计算电容变化。
二、感测电路参数分析
感测电路决定了信号处理的性能。 反馈电阻 R f R_f Rf R f 100 k Ω R_f 100 \, \text{k}\Omega Rf100kΩ 反馈电阻用于控制放大器的增益。 输入噪声电流 i i a i_{ia} iia i i a 0.01 pA / Hz i_{ia} 0.01 \, \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}} iia0.01pA/Hz 输入噪声电流表示放大器的电流噪声。 输入噪声电压 v i a v_{ia} via v i a 12 nV / Hz v_{ia} 12 \, \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}} via12nV/Hz 输入噪声电压表示放大器的电压噪声。
三. 输出电流的比例因子计算 旋转速率到输出电流的比例因子 A A A A 2 ω d ω s Q s x d η e ∣ H s ( j ω d ) ∣ A 2 \frac{\omega_d}{\omega_s} Q_s x_d \eta_e \left| H_s(j\omega_d) \right| A2ωsωdQsxdηe∣Hs(jωd)∣ 其中 ∣ H s ( j ω d ) ∣ ∣ ( j ω d ) ( ω s / Q s ) − ω d 2 j ω d ω s / Q s ω s 2 ∣ \left| H_s(j\omega_d) \right| \left| \frac{(j\omega_d)(\omega_s/Q_s)}{-\omega_d^2 j\omega_d\omega_s/Q_s \omega_s^2} \right| ∣Hs(jωd)∣ −ωd2jωdωs/Qsωs2(jωd)(ωs/Qs) 代入具体数值 ∣ H s ( j ω d ) ∣ ( j × 10 , 000 × ( 2 π × 15 , 000 ) / 50 , 000 ) − ( 2 π × 10 , 000 ) 2 j ( 2 π × 10 , 000 ) ( 2 π × 15 , 000 ) / 50 , 000 ( 2 π × 15 , 000 ) 2 \left| H_s(j\omega_d) \right| \frac{(j \times 10,000 \times (2\pi \times 15,000)/50,000)}{-(2\pi \times 10,000)^2 j(2\pi \times 10,000)(2\pi \times 15,000)/50,000 (2\pi \times 15,000)^2} ∣Hs(jωd)∣−(2π×10,000)2j(2π×10,000)(2π×15,000)/50,000(2π×15,000)2(j×10,000×(2π×15,000)/50,000) 经过计算 ∣ H s ( j ω d ) ∣ 3 , 000 j ( 1.25 × 1 0 8 ) 2 ( 3 , 000 ) 2 0.000024 \left| H_s(j\omega_d) \right| \frac{3,000j}{\sqrt{(1.25 \times 10^8)^2 (3,000)^2}} 0.000024 ∣Hs(jωd)∣(1.25×108)2(3,000)2 3,000j0.000024 所以 A 2 10 , 000 15 , 000 ( 50 , 000 ) ( 20 μ m ) ( 5 ) ( 2000 ϵ 0 ) ( 0.000024 ) 2.83 × 1 0 − 12 C A 2 \frac{10,000}{15,000} (50,000) (20 \mu m) (5) (2000 \epsilon_0) (0.000024) 2.83 \times 10^{-12} \, \text{C} A215,00010,000(50,000)(20μm)(5)(2000ϵ0)(0.000024)2.83×10−12C 电容变化率 ∂ C ∂ x \frac{\partial C}{\partial x} ∂x∂C ∂ C ∂ x ϵ 0 h w p d ϵ 0 ( 20 μ m ) ( 100 μ m ) ( 1 μ m ) 2000 ϵ 0 \frac{\partial C}{\partial x} \frac{\epsilon_0 h w_p}{d} \frac{\epsilon_0 (20 \mu m) (100 \mu m)}{(1 \mu m)} 2000 \epsilon_0 ∂x∂Cdϵ0hwp(1μm)ϵ0(20μm)(100μm)2000ϵ0 这里假设电极覆盖整个侧壁。
四. 噪声计算 等效输入噪声电流 i e q T O T i_{eqTOT} ieqTOT i e q T O T 2 ‾ 4 k T R x ∣ H s ( j ω d ) ∣ 2 4 k T R f i i a 2 ‾ Δ f v i a 2 ‾ Δ f ( 1 R f ) 2 \overline{i_{eqTOT}^2} \frac{4 k T}{R_x} \left| H_s(j\omega_d) \right|^2 \frac{4 k T}{R_f} \frac{\overline{i_{ia}^2}}{\Delta f} \frac{\overline{v_{ia}^2}}{\Delta f} \left( \frac{1}{R_f} \right)^2 ieqTOT2Rx4kT∣Hs(jωd)∣2Rf4kTΔfiia2Δfvia2(Rf1)2 计算 R x R_x Rx R x ω s m Q s η e 2 2 π ( 15 , 000 ) ( 4.6 × 1 0 − 10 ) ( 50 , 000 ) ( 2000 ϵ 0 ) 2 110.6 k Ω R_x \frac{\omega_s m}{Q_s \eta_e^2} \frac{2\pi (15,000) (4.6 \times 10^{-10})}{(50,000)(2000 \epsilon_0)^2} 110.6 \text{k}\Omega RxQsηe2ωsm(50,000)(2000ϵ0)22π(15,000)(4.6×10−10)110.6kΩ 计算各个噪声分量 i e q T O T 2 ‾ 1.66 × 1 0 − 20 110 , 600 ( 0.000024 ) 2 1.66 × 1 0 − 26 1 , 000 , 000 ( 0.01 pA ) 2 ( 12 nV 1 , 000 , 000 ) 2 \overline{i_{eqTOT}^2} \frac{1.66 \times 10^{-20}}{110,600} (0.000024)^2 \frac{1.66 \times 10^{-26}}{1,000,000} (0.01 \text{pA})^2 \left( \frac{12 \text{nV}}{1,000,000} \right)^2 ieqTOT2110,6001.66×10−20(0.000024)21,000,0001.66×10−26(0.01pA)2(1,000,00012nV)2 具体计算得到 i e q T O T 2 ‾ 1.68 × 1 0 − 26 A 2 / Hz \overline{i_{eqTOT}^2} 1.68 \times 10^{-26} \text{A}^2/\text{Hz} ieqTOT21.68×10−26A2/Hz 最小可检测信号 Ω min \Omega_{\text{min}} Ωmin Ω min i e q T O T A ( 3600 s/hr 180 / π ) 1.30 × 1 0 − 13 A / Hz 2.83 × 1 0 − 12 C ( 3600 ) ( 180 π ) 9448 % / hr \Omega_{\text{min}} \frac{i_{eqTOT}}{A} \left( \frac{3600 \text{s/hr}}{180/\pi} \right) \frac{1.30 \times 10^{-13} \text{A}/\sqrt{\text{Hz}}}{2.83 \times 10^{-12} \text{C}} \left( 3600 \right) \left( \frac{180}{\pi} \right) 9448 \%/\sqrt{\text{hr}} ΩminAieqTOT(180/π3600s/hr)2.83×10−12C1.30×10−13A/Hz (3600)(π180)9448%/hr 计算ARW ARW 1 60 Ω min 157 % / hr \text{ARW} \frac{1}{60} \Omega_{\text{min}} 157 \%/\sqrt{\text{hr}} ARW601Ωmin157%/hr
4.5 当 ω d ω s \omega_d \omega_s ωdωs 的角随机游走ARW计算详解 在这个特定情况下我们假设驱动频率 ω d \omega_d ωd 等于固有频率 ω s \omega_s ωs即 ω d ω s \omega_d \omega_s ωdωs。这种情况下系统的响应特性将发生显著变化我们需要重新计算系统的比例因子和噪声影响。
一、假设条件
假设 ω d ω s 15 kHz \omega_d \omega_s 15 \text{kHz} ωdωs15kHz因此频率响应函数的模值 ∣ H s ( j ω d ) ∣ |H_s(j\omega_d)| ∣Hs(jωd)∣ 将等于1 ∣ H s ( j ω d ) ∣ 1 |H_s(j\omega_d)| 1 ∣Hs(jωd)∣1
二、比例因子 A A A 的计算
在 ω d ω s \omega_d \omega_s ωdωs 的情况下比例因子 A A A 的计算简化为 A 2 Q s x d η e ∣ H s ( j ω d ) ∣ A 2 Q_s x_d \eta_e |H_s(j\omega_d)| A2Qsxdηe∣Hs(jωd)∣ 由于 ∣ H s ( j ω d ) ∣ 1 |H_s(j\omega_d)| 1 ∣Hs(jωd)∣1我们有 A 2 Q s x d η e 2 × 50 , 000 × 20 μ m × 5 × 2000 ϵ 0 1.77 × 1 0 − 7 C A 2 Q_s x_d \eta_e 2 \times 50,000 \times 20 \mu m \times 5 \times 2000 \epsilon_0 1.77 \times 10^{-7} \text{C} A2Qsxdηe2×50,000×20μm×5×2000ϵ01.77×10−7C
三、噪声计算 等效输入噪声电流 i e q T O T i_{eqTOT} ieqTOT 的各个分量计算如下 传感器元件噪声 4 k T R x ∣ H s ( j ω d ) ∣ 2 4 × 1.38 × 1 0 − 23 × 300 110.6 × 1 0 3 1.51 × 1 0 − 25 A 2 / Hz \frac{4 k T}{R_x} |H_s(j\omega_d)|^2 \frac{4 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300}{110.6 \times 10^3} 1.51 \times 10^{-25} \text{A}^2/\text{Hz} Rx4kT∣Hs(jωd)∣2110.6×1034×1.38×10−23×3001.51×10−25A2/Hz 反馈电阻噪声 4 k T R f 4 × 1.38 × 1 0 − 23 × 300 100 × 1 0 3 1.66 × 1 0 − 26 A 2 / Hz \frac{4 k T}{R_f} \frac{4 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300}{100 \times 10^3} 1.66 \times 10^{-26} \text{A}^2/\text{Hz} Rf4kT100×1034×1.38×10−23×3001.66×10−26A2/Hz 输入电流噪声 i i a 2 Δ f ( 0.01 pA ) 2 1 × 1 0 − 28 A 2 / Hz \frac{i_{ia}^2}{\Delta f} (0.01 \text{pA})^2 1 \times 10^{-28} \text{A}^2/\text{Hz} Δfiia2(0.01pA)21×10−28A2/Hz 输入电压噪声 v i a 2 Δ f ( 1 R f ) 2 ( 12 nV 1 M Ω ) 2 1.44 × 1 0 − 28 A 2 / Hz \frac{v_{ia}^2}{\Delta f} \left( \frac{1}{R_f} \right)^2 \left( \frac{12 \text{nV}}{1 \text{M}\Omega} \right)^2 1.44 \times 10^{-28} \text{A}^2/\text{Hz} Δfvia2(Rf1)2(1MΩ12nV)21.44×10−28A2/Hz 总的等效输入噪声电流 i e q T O T 2 ‾ 1.51 × 1 0 − 25 1.66 × 1 0 − 26 1 × 1 0 − 28 1.44 × 1 0 − 28 1.67 × 1 0 − 25 A 2 / Hz \overline{i_{eqTOT}^2} 1.51 \times 10^{-25} 1.66 \times 10^{-26} 1 \times 10^{-28} 1.44 \times 10^{-28} 1.67 \times 10^{-25} \text{A}^2/\text{Hz} ieqTOT21.51×10−251.66×10−261×10−281.44×10−281.67×10−25A2/Hz 等效输入噪声电流均方根值 i e q T O T i e q T O T 2 ‾ 1.67 × 1 0 − 25 4.08 × 1 0 − 13 A / Hz i_{eqTOT} \sqrt{\overline{i_{eqTOT}^2}} \sqrt{1.67 \times 10^{-25}} 4.08 \times 10^{-13} \text{A}/\sqrt{\text{Hz}} ieqTOTieqTOT2 1.67×10−25 4.08×10−13A/Hz
四、最小可检测信号 Ω min \Omega_{\text{min}} Ωmin 的计算
最小可检测信号 Ω min i e q T O T A ( 3600 s/hr 180 / π ) 4.08 × 1 0 − 13 A / Hz 1.77 × 1 0 − 7 C ( 3600 ) ( 180 π ) \Omega_{\text{min}} \frac{i_{eqTOT}}{A} \left( \frac{3600 \text{s/hr}}{180/\pi} \right) \frac{4.08 \times 10^{-13} \text{A}/\sqrt{\text{Hz}}}{1.77 \times 10^{-7} \text{C}} \left( 3600 \right) \left( \frac{180}{\pi} \right) ΩminAieqTOT(180/π3600s/hr)1.77×10−7C4.08×10−13A/Hz (3600)(π180) 计算得到 Ω min 0.476 % / hr \Omega_{\text{min}} 0.476 \%/\sqrt{\text{hr}} Ωmin0.476%/hr
五、角随机游走ARW计算
ARW ARW 1 60 Ω min 1 60 × 0.476 % / hr 0.0079 % / hr \text{ARW} \frac{1}{60} \Omega_{\text{min}} \frac{1}{60} \times 0.476 \%/\sqrt{\text{hr}} 0.0079 \%/\sqrt{\text{hr}} ARW601Ωmin601×0.476%/hr 0.0079%/hr
通过上述详细的步骤我们可以看到在 ω d ω s \omega_d \omega_s ωdωs 的情况下系统的最小可检测信号和角随机游走ARW显著降低这意味着系统的精度和稳定性显著提高。这种情况下传感器元件噪声占主导地位反馈电阻噪声的影响被减小从而使得整体噪声水平降低。这样的计算和分析有助于在实际应用中优化系统设计提升系统性能。
