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线性代数的本质的学习笔记。 向量是什么
可以是一个箭头#xff0c;可以是一组实数#xff0c;即一个坐标对。
箭头在高维#xff08;4维#xff0c;甚至更高#xff09;空间… 抽象向量空间 向量是什么函数什么是线性推论向量空间 这是关于3Blue1Brown
线性代数的本质的学习笔记。 向量是什么
可以是一个箭头可以是一组实数即一个坐标对。
箭头在高维4维甚至更高空间概念比较模糊。
坐标对用数值表示相对清晰。但数值对依赖于选取的基向量。而且线性代数的核心话题比如行列式、特征向量等又和所选坐标系没有关系。
行列式说的是一个变换对面积的缩放比例特征向量则是在变换中留在它所张成的空间中的向量。坐标系怎么选都不会改变这二者最根本的值。
函数
从某种意义上说函数实际上只是另一种向量。 ( f g ) ( x ) f ( x ) g ( x ) ( 2 f ) ( x ) 2 f ( x ) (fg)(x)f(x)g(x) \\ (2f)(x)2f(x) (fg)(x)f(x)g(x)(2f)(x)2f(x) 用箭头表示的向量的线性代数的所有特征比如线性变换、数乘、点积等等都能原封不动地用在函数上。
比如函数的变换是输入一个函数并把它变成另一个函数这的一个例子就是导数它将函数变换到另一个函数。这在函数中一般称为算子而不是变换。这是函数的变换但怎么算是“线性”的
什么是线性
满足以下两条性质的变换是线性的
可加性对两个向量进行相加然后对它们的和进行变换得到的结果和将变换后的两个向量相加一致。成比例性将一个向量与某个数相乘然后对其进行变换得到的结果和变换后的向量与这个数相乘一致
即线性变换保持向量加法运算和数乘运算。
前面讨论的网格线平行且等距分布是这两条性质在二维平面这一特殊情况下的体现。
图1 线性的严格定义 因此求导是线性运算。满足可加性和数乘性成比例质。
推论
一个向量可以表示为基向量以某种方式进行线性组合所以求一个向量变换后的结果实际上就是求出变换后的基向量以相同方式进行线性组合的结果。
向量空间
箭头、一组数、函数等它们构成的集合被称为“向量空间”。 向量空间中的对象满意以下规则公理 图2 向量加法和数乘规则
