网站内页做几个词,陕西做网站公司,wordpress秀主题,建筑工程项目17.1 命题和联结词
命题#xff1a;可以判定真假的陈述句。#xff08;则悖论#xff0c;祈使句#xff0c;疑问句都不是命题#xff09;
原子命题#xff1a;不能被分割为更小的命题的命题
例如#xff1a; 2既是素数又是偶数 可以由$p: 2 是素数#xff0c;…17.1 命题和联结词
命题可以判定真假的陈述句。则悖论祈使句疑问句都不是命题
原子命题不能被分割为更小的命题的命题
例如 2既是素数又是偶数 可以由$p: 2 是素数 2是素数 2是素数q: 2 是偶数由 2是偶数由 2是偶数由p\land q$联结得来 只有在天晴时我们才去郊游 可以有 p : p: p:天晴 q : q: q:去郊游由 q → p q\rightarrow p q→p联结得来(q蕴含p郊游时一定天晴但天晴时不一定去郊游)
常用的联结词
非 ¬ \neg ¬,表示否定合取 ∧ \land ∧表示并且析取 ∨ \lor ∨表示或蕴含 → \rightarrow →,表示“如果…,则…”的意思等价 ↔ \leftrightarrow ↔表示当且仅当
命题
形式化的递归定义
命题是一个符号串满足
字母集中每个元素都是命题如果 P , Q P,Q P,Q是命题那么 ¬ P , P ∧ Q , P ∨ Q , P → Q , P ↔ Q \neg P,P\land Q,P\lor Q,P\rightarrow Q,P\leftrightarrow Q ¬P,P∧Q,P∨Q,P→Q,P↔Q也是命题有限次使用1和2
但我们注意到如此定义会出现形如 P ¬ , ∧ Q P\neg ,\land Q P¬,∧Q的命题这在日常生活中是不存在的但从代数的角度是可以的为此需要引入泛代数的概念
17.2 泛代数
困难的一节。
元在群论中我们指出集合 A A A上的 n n n元运算实际上就是一个 n n n元单值函数 t : A n → A t: A^n\rightarrow A t:An→A,其中 n n n在之后就称为 t t t的元。
在群G中定义一个一元运算 i : G → G i:G\rightarrow G i:G→G求逆元即 i ( a ) a − 1 i(a)a^{-1} i(a)a−1
对于0元运算实际上是从集合 A 0 A^0 A0(只有一个元素通常记为 ∅ \varnothing ∅到A上的函数),即 t 0 : ∅ → A t_0:\varnothing\rightarrow A t0:∅→A,因此0元运算实质上是唯一对应了 A A A上的某个元素故0元运算通常可视为 A A A中的一个特殊元素。
在群论中定义0元运算 e ∗ : ∅ → G , e ∗ ( ∅ ) e e^*:\varnothing \rightarrow G,e^*(\varnothing) e e∗:∅→G,e∗(∅)e,其中 e e e为单位元实际上 e ∗ e^* e∗给出了群G的单位元之后我们将 e ∗ e^* e∗看作单位元 e e e也可以把 e e e看作0元运算。
定义1 类型
设 a r ar ar为集合 T T T到非负整数集 N N N的函数则称集合 T T T和函数 a r ar ar为一个类型记为 T ( T , a r ) T(T,ar) T(T,ar),简记为 T T T。此外令 T n { t ∈ T ∣ a r ( t ) n } T_n\{t\in T| ar(t) n\} Tn{t∈T∣ar(t)n}
定义2 T-代数
A是一个集合T是一个类型T中每个元素 t t t对应于 A A A上的一个函数 t A : A a r ( t ) → A t_A:A^{ar(t)}\rightarrow A tA:Aar(t)→A则称集合 A A A和 { t A ∣ t ∈ T } \{t_A|t\in T\} {tA∣t∈T}构成类型 T T T的一个代数 A A A,称为T-代数元素 t ∈ T n t\in T_n t∈Tn称为 n n n元T-代数运算
定义3 T-代数相等
T-代数A,B相等 ⟺ ∀ t ∈ T , t A t B \Longleftrightarrow \forall t\in T,t_At_B ⟺∀t∈T,tAtB记为 T A T B T_AT_B TATB
定义4 T-子代数
设A是一个T-代数B为A的子集如果将A上的运算限制在B上仍然构成一个T-代数即对任意的非负整数n任意的 t ∈ T n . b 1 , b 2 , ⋯ , b n ∈ B t\in T_n.b_1,b_2,\cdots,b_n\in B t∈Tn.b1,b2,⋯,bn∈B有 t A ( b 1 , ⋯ , b n ) ∈ B t_A(b_1,\cdots,b_n)\in B tA(b1,⋯,bn)∈B成立(封闭的)则称B是A的一个T-子代数
定义5 T-代数同态
设A,B是T-代数 φ \varphi φ是从A到B的映射若对任意 t ∈ T , a 1 , ⋯ , a n ∈ A ( n a r ( t ) ) t\in T,a_1,\cdots,a_n\in A(nar(t)) t∈T,a1,⋯,an∈A(nar(t)),有 φ ( t A ( a 1 , ⋯ , a n ) ) t B ( φ ( a 1 ) , ⋯ , φ ( a n ) ) \varphi(t_A(a_1,\cdots,a_n))t_B(\varphi(a_1),\cdots,\varphi(a_n)) φ(tA(a1,⋯,an))tB(φ(a1),⋯,φ(an))则称 φ \varphi φ为从 A A A到 B B B的同态映射当 φ \varphi φ是满射时称A和B市同态的。
特别地当 φ \varphi φ是同态映射且可逆时称 φ \varphi φ为同构映射称 A , B A,B A,B是同构的此时逆函数 φ − 1 \varphi ^{-1} φ−1是从B到A的同构映射。
定义6 自由T代数
设X是集合G是一个T-代数 σ \sigma σ为X到G的函数若对每个T-代数A和X到A的函数 τ \tau τ,都存在唯一的G到A的同态映射 φ \varphi φ使得 φ σ τ \varphi \sigma \tau φστ,则称 G G G(更严格地说是 ( G , σ ) (G,\sigma) (G,σ))是生成集X上的自由T-代数。X中的元素为生成元。 引理1 自由T-代数中的内射
若 ( G , σ ) (G,\sigma) (G,σ)是X上的自由T-代数则 σ \sigma σ是内射
定理1 自由T-代数存在性
对任何集合X和类型T存在X上的自由T-代数并且这种T-代数在同构意义下是唯一的。
证明是复杂的 P227
其中出现了T-代数的构造方式
T-代数的构造方式 G 0 T 0 ∪ X G_0 T_0\cup X G0T0∪X,假定 T 0 ∩ X ∅ T_0\cap X \varnothing T0∩X∅假定 G r G_r Gr已经确定则 G n { ( t , a 1 , ⋯ , a k ) ∣ t ∈ T k , k 0 , a i ∈ G r i , ∑ k r i n − 1 } G_n\{(t,a_1,\cdots,a_k)|t\in T_k,k0,a_i\in G_{r_i},\sum ^k r_i n-1\} Gn{(t,a1,⋯,ak)∣t∈Tk,k0,ai∈Gri,∑krin−1}
其中 G 0 G_0 G0可理解为原子命题 G n G_n Gn可理解为做了一些逻辑运算的若干个命题。
例如
p , q ∈ G 0 , ¬ p ∈ G 1 , p ∧ q ∈ G 2 p,q\in G_0,\neg p \in G_1,p\land q \in G_2 p,q∈G0,¬p∈G1,p∧q∈G2
一个例子 注意第一个元素为运算例子中的 → \rightarrow →为二元运算所以后面要选择两个元素而由于 F F F是零元的所以在 n 0 n0 n0时不能取F
由这种构造方式我们可以自然地得到一个推论
推论1
设G是可列集 X { x 1 , x 2 , ⋯ } X\{x_1,x_2,\cdots\} X{x1,x2,⋯}上地自由T-代数则G中每个元素都是某个有限子集 X n { x 1 , ⋯ , x n } X_n\{x_1,\cdots,x_n\} Xn{x1,⋯,xn}所生成地自由T-代数中的元素。
定义 7 T-代数变量
一个T-代数变量是一个自由T-代数的自由生成集的元素。
