建设宠物网站的可行性,算命网站该怎样做,现在中美关系最新消息,网站式登录页面模板下载熵(Entropy)
信息论中熵的概念首次被香农提出#xff0c;目的是寻找一种高效/无损地编码信息的方法#xff1a;以编码后数据的平均长度来衡量高效性#xff0c;平均长度越小越高效#xff1b;同时还需满足“无损”的条件#xff0c;即编码后不能有原始信息的丢失。这样目的是寻找一种高效/无损地编码信息的方法以编码后数据的平均长度来衡量高效性平均长度越小越高效同时还需满足“无损”的条件即编码后不能有原始信息的丢失。这样香农提出了熵的定义无损编码事件信息的最小平均编码长度。
香农信息熵 Shannon entropy
香农信息熵是由香农提出的一个概念它描述了信息源各可能事件发生的不确定性。这个概念在信息论中扮演着重要的角色解决了对信息的量化度量问题。 一条信息的信息量大小和它的不确定性有直接的关系。比如说我们要搞清楚一件非常非常不确定的事或是我们一无所知的事情就需要了解大量的信息。相反如果我们对某件事已经有了较多的了解我们不需要太多的信息就能把它搞清楚。所以从这个角度我们可以认为信息量的度量就等于不确定性的多少。 信息量是对信息的度量我们考虑一个离散的随机变量 x 当我们观察到这个变量的具体值的时候我们接收到了多少信息呢 多少信息用信息量来衡量我们接受到的信息量跟具体发生的事件有关。 信息的大小跟随机事件的概率有关。越小概率的事情发生了产生的信息量越大如湖南地震越大概率的事情发生了产生的信息量越小如太阳从东边升起来了肯定发生 没什么信息量。 因此一个具体事件的信息量应该是随着其发生概率而递减的。
香农借鉴了热力学的概念把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”并给出了计算信息熵的数学表达式。 H ( x ) − ∑ p ( x i ) l o g 2 ( p ( x i ) ) , i 1 , 2 , . . , n H(x)-∑p(x_i)log_2(p(x_i)),i1,2,..,n H(x)−∑p(xi)log2(p(xi)),i1,2,..,n。
其中x表示信息 x i ( i 1 , 2 , . . , n ) x_i(i1,2,..,n) xi(i1,2,..,n)表示x的各种可能取值 p ( x i ) p(x_i) p(xi)表示x取值为 x i x_i xi的概率H的单位是比特。这个公式可以用来计算信息的不确定性即信息熵。信息熵的提出解决了对信息的量化度量问题。 香农熵在生物信息领域基因表达分析中也有广泛的应用如一些或一个基因在不同组织材料中表达情况己知但如何确定这些基因是组织特异性表达还是广泛表达的那我们就来计算这些基因在N个样本中的香农熵结果越趋近于log2(N)则表明它是一个越广泛表达的基因结果越趋近于0则表示它是一个特异表达的基因。
排列熵Permutation Entropy
是用于衡量时间序列复杂程度的指标 对于某个长度为n的排列x其元素分别为 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn 规定一个嵌入维度m即m-neighborhood和时间延迟t进行相空间重构 得到k个子序列 k n − ( m − 1 ) t kn-(m-1)t kn−(m−1)t每个子序列分别为
(1) x 1 , x 1 t , . . . , x 1 ( m − 1 ) t x_1, x_{1t}, ... , x_{1(m-1)t} x1,x1t,...,x1(m−1)t
(2) x 2 , x 2 t , . . . , x 2 ( m − 1 ) t x_2, x_{2t}, ... , x_{2(m-1)t} x2,x2t,...,x2(m−1)t
(3) …
(4) x k , x k t , . . . , x k ( m − 1 ) t x_k, x_{kt}, ... , x_{k(m-1)t} xk,xkt,...,xk(m−1)t 并把其转换为大小关系的排列k个共有m!种可能性 计算每种大小关系排列的概率PP(排列)该排列出现次数/k 计算这些概率的信息熵
按照步骤举个例子便于理解
x{2,4,5,6,3,7,1}其长度n7 设嵌入维度m33-neightborhood时间延迟t1没有skip 得到kn-(m-1)t5个子序列即
(1) 2,4,5
(2) 4,5,6
(3) 5,6,3
(4) 6,3,7
(5) 3,7,1
转换为大小关系的排列分别为
(1) 1,2,3
(2) 1,2,3
(3) 2,3,1
(4) 2,1,3
(5) 2,3,1
以上排列共有3种分别为2次(1,2,3)2次(2,3,1和1次(2,1,3)这些排列的概率分别为
(1) P(1,2,3) 2/5
(2) P(2,3,1) 2/5
(3) P(2,1,3) 1/5
计算信息熵得到 H p e ( 3 ) 0.4 × l o g 2 2.5 0.4 × l o g 2 2.5 0.2 l o g 2 5 1.5219 Hpe(3) 0.4×log_22.5 0.4×log_22.5 0.2log_25 1.5219 Hpe(3)0.4×log22.50.4×log22.50.2log251.5219
排列熵作为衡量时间序列复杂程度的指标越规则的时间序列它对应的排列熵越小越复杂的时间序列它对应的排列熵越大。但是这样的结果是建立在合适的 m的选择的基础上的如果 m 的选取很小如1或者2的话那么它的排列空间就会很小1!、2!。经过研究表明这个 m 的选取还是要根据实际情况来决定一般而言Bandt and Pompe 建议的取值是m 3 , . . . , 7
多元排列熵Multivariate Permutation Entropy,MPE或MvPE)
多元排列熵Multivariate Permutation Entropy,MPE或MvPE)是排列熵的扩展由于 EEG 每个通道的数据并非独立这样的扩展非常必要。 考虑EEG通道的时间窗口大小为T秒其采样频率为 f s 1 T f_s\frac{1}{T} fsT1因此每个窗口将包括 f s T f_sT fsT个样本即数据点。 对于每个通道 i ∈ [ 1 , m ] i\in [1,m] i∈[1,m]每个 h ∈ [ 1 , n d ! ] h\in [1,nd!] h∈[1,nd!]即对于每个“基序”计数所有时间 s ∈ [ 1 , f s T − d ] s\in [1,f_sT−d] s∈[1,fsT−d]其中通道时间对 ( i , s ) (i,s) (i,s)提供基序j。 将计数除以mT后获得的频率 p i , j p_{i,j} pi,j是矩阵的项 P t ( m , n ) p i , j P_t(m,n){p_{i,j}} Pt(m,n)pi,j反映了基序在长度为T的时间片中的分布。 它保持 ∑ i 1 m ∑ j 1 d p i , j 1 \sum ^m_{i1}\sum ^{d}_{j1}p_{i,j}1 ∑i1m∑j1dpi,j1。 根据该程序原始多元时间序列被转换为一个时间相关矩阵相关统计数据和可以容易地提取熵。 特别地计算边际相对值很容易描述基序分布的频率如 p j ∑ i 1 m p i , j , j 1 , . . . , d ! p_j\sum ^m_{i1}p_{i,j},j1,...,d! pj∑i1mpi,j,j1,...,d!d表示多变量排列熵的跨通道复杂性可以是计算为 p j p_j pj的排列熵 H M P E ( s ) − ∑ j 1 d ! p j log 2 p j H_{MPE}(s)-\sum_{j1}^{d!} p_j\log_2p_j HMPE(s)−∑j1d!pjlog2pj
通过相同的矩阵也可以计算单通道多元排列熵如下所示 H E ( i , s ) − ∑ j 1 d ! m p i , j log 2 ( m p i , j ) , i 1 , 2 , . . . , m H_E(i,s)-\sum_{j1}^{d!} mp_{i,j}\log_2(mp_{i,j}),i1,2,...,m HE(i,s)−∑j1d!mpi,jlog2(mpi,j),i1,2,...,m
可计算出的一个有趣的量是多元排列熵和通过平均m个单通道排列熵得到的曲线之间的均方差。这个量被称为偶然性。当且仅当单通道分布重合时它消失。如果它们是高度“相似”的那么时间序列的整体复杂度有时是两项的总和信道的平均复杂度和依赖于信道之间的不均匀性的休息。然而对突发性对多元排列熵的影响的彻底分析超出了目前工作的范围。排列熵是一种对噪声特别是高频噪声稳健的测量方法作为多元排列熵的平均操作实质上的轻微变化它可以帮助吸收数据采集的一些不确定性。
多元排列熵在脑电图信号处理中很有用因为如果它是在“遥远的”通道上计算的即在不同的半球和/或不同的区域它可以通过突出长期空间非线性相关性来提取跨通道的规律。
